Giáo trình Xác suất thống kê: Phần 2 Thống kê cung cấp cho người học những kiến thức như: Mẫu ngẫu nhiên; Ứớc lượng tham số; Kiểm định giả thiết thống kê; Lý thuyết tương quan và hàm hồi quy. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM PHẦN II THỐNG KÊ TOÁN CHƯƠNG III MẪU NGẪU NHIÊN 3.1 TỔNG THỂ VÀ MẪU I Tổng thể Khi ta nghiên cứu vấn đề kinh tế – xã hội, vấn đề thuộc lĩnh vực khác, người ta phải khảo sát dấu hiệu Các dấu hiệu thể nhiều phần tử Tập hợp tất phần tử theo mục đích phạm vi vấn đề nghiên cứu gọi tập hợp hay tổng thể đám đơng Ví dụ: Tổng thể tập hợp sinh viên lớp, dấu hiệu ta khảo sát điểm thi môn Xác suất thống kê Giả sử tổng thể có N phần tử Gọi X* dấu hiệu mà ta khảo sát xi ( i = 1, k ) giá trị X* đo phần tử tổng thể ni ( i = 1, k ) tần số xi ; pi ( i = 1, k ) tần suất xi Ta lập bảng cấu tổng thể theo dấu hiệu X* Giá trị X* x1 x2 … xi … xk Tần suất (pi) p1 p2 … pi … pk * Để phân tích dấu hiệu X người ta tóm tắt bảng số đặc trưng sau Trung bình tổng thể ký hiệu m: k m = ∑ pi xi i =1 Phương sai tổng thể ký hiệu σ2 : k σ = ∑ ( xi − m ) pi i =1 86 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Độ lệch tiêu chuẩn tổng thể ký hiệu BỘ MƠN TỐN σ = σ2 Tỷ lệ tổng thể ký hiệu p Giả sử tổng thể có N phần tử, có M phần tử có tính chất M A Gọi p = tỷ lệ phần tử có tính chất A tổng thể N Ví dụ Một cơng ty có 40 cơng nhân, khảo sát dấu hiệu X suất lao động (số sản phẩm/ đơn vị thời gian) ta bảng số liệu sau Năng suất 50 55 60 65 70 75 Số công nhân 10 12 Nếu ta gọi người có suất lớn 65 người có suất cao tỷ lệ người có suất 22 = 55% cao p = 40 II Mẫu Giả sử tổng thể có N phần tử Khi nghiên cứu số lý do, ta nghiên cứu tất phần tử tập hợp mà lấy tập hợp gồm n phần tử để nghiên cứu Phương pháp gọi phương pháp mẫu.Các lý là: Phải chịu chi phí lớn tiền, thời gian, nhân lực phương tiện, … Có trường hợp điều tra làm phá hủy phần tử điều tra Ví dụ: Kiểm tra chất lượng đồ hộp Có trường hợp khơng xác định hết tồn N phần tử tổng thể Ví dụ Số sinh viên nghiện thuốc ký túc xá Từ tổng thể ta lấy n phần tử để nghiên cứu ta gọi mẫu cỡ n Từ phương pháp tốn học, phân tích nghiên cứu kỹ n phần tử ta đưa kết luận chung cho tồn tổng thể Do mẫu phải đảm bảo tính ngẫu nhiên phản ánh chất tổng thể 87 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MÔN TỐN Có nhiều cách lấy mẫu sau Lấy mẫu ngẫu nhiên Ta đánh số phần tử tổng thể từ đến N Để lấy mẫu n phần tử, ta dùng bảng số ngẫu nhiên dùng cách bốc thăm lấy đủ n phần tử Chọn mẫu giới Là phần tử tổng thể đưa vào mẫu cách khoảng xác định Ví dụ: Trên dây chuyền sản xuất, sau khoảng thời gian t lại lấy phần tử cho vào mẫu Chọn mẫu cách phân lớp (hoặc phân nhóm) Là chia tổng thể thành số lớp theo tiêu chí Sau lấy ngẫu nhiên lớp số phần tử đưa vào mẫu Lấy mẫu tiến hành theo hai phương thức: - Lấy mẫu có hoàn lại từ tổng thể lấy phần tử nghiên cứu, sau lại trả lại phần tử vào tập lấy phần tử nhiên cứu.Như phần tử lấy lần sau trùng với phần tử lần lấy trước đó.Cứ mẫu cỡ n - Lấy mẫu khơng hồn lại từ tổng thể lấy phần tử nghiên cứu, sau lại khơng trả lại phần tử vào tập lấy phần tử nhiên cứu.Như phần tử lấy lần sau trùng với phần tử lần lấy trước Cứ mẫu cỡ n Theo định lý giới hạn xác suất, người ta chứng minh rằng: số phần tử tổng thể đủ lớn coi hai cách lấy mẫu theo hai phương thức 88 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM 3.2 MƠ HÌNH XÁC SUẤT CỦA TỔNG THỂ VÀ MẪU I Đại lượng ngẫu nhiên gốc Ta mơ hình hóa dấu hiệu X* đại lượng ngẫu nhiên Thật vậy, lấy ngẫu nhiên từ tổng thể phần tử gọi X giá trị dấu hiệu X* đo phần tử lấy Do giá trị X thay đổi từ phần tử qua phần tử khác tổng thể nên X đại lượng ngẫu nhiên hay cịn gọi đại lượng ngẫu nhiên đám đơng, có phân phối xác suất sau X x1 x2 … xi … xk P p1 P2 … pi … pk Đại lượng X gọi đại lượng ngẫu nhiên gốc Quy luật phân phối xác suất X gọi quy luật phân phối gốc Do đám đông lần ta xét dấu hiệu X, nên đặc trưng đám đông theo dấu hiệu X mang thông tin tổng hợp đám đông Ta có tham số đại lượng ngẫu nhiên gốc k Kì vọng tốn: E ( X ) = ∑ pi xi i =1 Như trung bình tổng thể kì vọng tốn đại lượng ngẫu nhiên X k Phương sai tổng thể: Var ( X ) = ∑ ( xi − E ( X ) ) pi i =1 Như phương sai Var(X) phương sai tổng thể Var(X)= σ2 II Mẫu ngẫu nhiên Từ tổng thể lấy n phần tử Gọi Xi giá trị dấu hiệu X* đo phần tử thứ i ( i = 1, n ) Các đại lượng Xi đại lượng ngẫu nhiên độc lập có quy luật phân phối xác suất với đại lượng X Một mẫu có kích thước n thành lập từ đại lượng ngẫu nhiên X n đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân phối 89 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN xác suất với X, gọi mẫu ngẫu nhiên Kí hiệu WX=(X1, X2, …, Xn) Khi đại lượng Xi nhận giá trị cụ thể xi, ta có mẫu cụ thể kí hiệu wx=(x1, x2,…, xn) Ví dụ Một lớp có 100 sinh viên tổng thể Để nghiên cứu kết điểm thi môn Xác suất thống kê ta lấy mẫu cỡ n=8 chưa có tên sinh viên cụ thể WX=(X1, X2, …, X8) mẫu ngẫu nhiên.Khi lấy ngẫu nhiên tên cụ thể sinh viên lớp ta có mẫu cụ thể Giả sử có điểm wx=(5, 8,3,7,9,6,8,10) Khi nghiên cứu lý thuyết ta xét mẫu tổng qt cịn làm tốn ta xét với mẫu cụ thể Ta nói rằng: xác suất nghiên cứu đám đơng nhờ ta hiểu mẫu, cịn thống kê nghiên cứu mẫu nhờ mà ta hiểu đám đông Phân phối thực nhiệm luật phân phối mẫu xét cho mẫu cụ thể III Sai số quan sát Trong việc lấy mẫu, nhiều nguyên nhân khác nhau, không tránh khỏi sai số số liệu mẫu Vì trước dùng thống kê để phân tích, xử lý ta cần loại bỏ sai số khơng đáng có mẫu cho Giả sử X kết quan sát a giá trị đại lượng quan sát Khi Z = x − a sai số Vì a chưa biết nên Z chưa biết Ta phân loại sai số sau Sai số thô Là sai số vi phạm điều kiện việc lấy mẫu sơ suất người thực hiện, chẳng hạn người kiểm tra cố ý chọn sản phẩm tốt để kiểm tra đánh giá chất lượng, kỹ thuật viên ghi nhầm kết thu Sai số hệ thống Là sai số không điều chỉnh xác dụng cụ khơng thống với cách xác định đại lượng đó, dẫn đến loạt kết quan sát lệch tỷ lệ định 90 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN Sai số ngẫu nhiên Là sai số phát sinh số lớn nguyên nhân mà tác dụng chúng nhỏ đến mức khơng thể tách riêng tính riêng biệt cho nguyên nhân Trong loại sai số trên, sai số thô sai số hệ thống cần phát sớm khử bỏ ngay, sai số ngẫu nhiên khử bỏ lần quan sát Việc khử bỏ sai số thô sai số hệ thống thực tốt ta phát chúng trình thu thập mẫu Người thu nhập mẫu cảm thấy khác thường số liệu đó, tự họ kiểm tra câu trả lời xác dễ tìm Cịn nhà thống kê phát nghi ngờ câu trả lời khó tìm ra, sai số hệ thống Luật phân phối sai số ngẫu nhiên Sau bỏ sai số thơ sai số hệ thống cịn sai số ngẫu nhiên Z=X- a thơng thường Z ∼ N (0, σ ) với σ độ xác dụng cụ đo đạc Ta có b a P ( a < Z < b) = Φ ( ) − Φ ( ) σ σ P( Z < kσ ) = Φ ( k ) − Φ ( −k ) = 2Φ ( k ) Khi k=1 P( Z < σ ) = 2Φ (1) ≈ 0, 68 Khi k=2 P( Z < 2σ ) = 2Φ (2) ≈ 0,95 Khi k=3 P( Z < 3σ ) = 2Φ (3) ≈ 0,9974 suy P( Z > 3σ ) = − 0, 9974 ≈ 0,0026 Xác suất 0,0026 bé, thực tế ta xem sai số ngẫu nhiên không vượt q giới hạn ± 3σ 91 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM 3.3 CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA MẪU I Các tham số đặc trưng mẫu Xét mẫu ngẫu nhiên kí hiệu WX=(X1, X2, …, Xn) Trung bình mẫu ngẫu nhiên n X = ∑ Xi n i =1 Các đại lượng Xi đại lượng ngẫu nhiên độc lập có quy luật phân phối xác suất với đại lượng X nên X đại lượng ngẫu nhiên Giả sử E(X) =a Var(X)= σ E(X i ) = a ; Var(X i ) = σ Ta chứng minh a) Kỳ vọng trung bình mẫu ngẫu nhiên: E( X ) = a b) Phương sai trung bình mẫu ngẫu nhiên: Var(X) = σ2 n Từ mẫu cụ thể wx=(x1, x2,…, xn) ta tính giá trị X ký hiệu x Phương sai mẫu ngẫu nhiên Sx = n Xi − X ∑ n i =1 ( ) Các đại lượng Xi đại lượng ngẫu nhiên độc lập có quy luật phân phối xác suất với đại lượng X nên Sx đại lượng ngẫu nhiên n −1 Kỳ vọng phương sai mẫu ngẫu nhiên E(S ) = σ n Từ mẫu cụ thể wx=(x1, x2,…, xn) ta tính giá trị Sx ký hiệu s 92 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM n ^2 S Phương sai mẫu ngẫu nhiên có hiệu chỉnh S = n −1 Cách khác S = ⎡ n ⎤ X i − n( X ) ⎥ ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ Kỳ vọng phương sai mẫu có hiệu chỉnh E(S2 ) = σ2 Độ lệch chuẩn mẫu ký hiệu S = S Từ mẫu cụ thể wx=(x1, x2,…, xn) ta tính giá trị s Hệ số tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên ký hiệu Fn F Giả sử đám đông chia thành loại phần tử: phần tử có tính chất A phần tử khơng có tính chất A Tỉ lệ phần tử có tính chất A đám đông chưa biết Lấy mẫu cỡ n Gọi V số phần tử đánh dấu mẫu W Do mẫu ngẫu v nhiên nên V đại lượng ngẫu nhiên Khi F = gọi n hệ số tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên Trên đám đông xét đại lượng ngẫu nhiên X phần tử đám đông đánh dấu phần tử đám đông không đánh dấu Khi p tỷ lệ phần tử đánh dấu đám đơng X có bảng phân phối sau X P q p V = X1 + + X n F = v n = ∑ x i suy hệ số tỷ lệ n n i =1 mẫu ngẫu nhiên F trung bình mẫu ngẫu nhiên X Do nói, hệ số tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên F trường hợp riêng trung bình mẫu ngẫu nhiên X Kỳ vọng hệ số tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên F: E(F)= p. Phương sai hệ số tỷ lệ mẫu ngẫu nhiên F: D( F ) = pq n 93 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Từ mẫu cỡ n cụ thể ta tính giá trị F ký hiệu Với n A tổng số f= nA n phần tử có tính chất A mẫu cỡ n cụ thể Chú ý: Từ mẫu cụ thể wx=(x1, x2,…, xn) Tính giá trị thống kê mẫu * Khi X nhận giá trị xi với số lần ni =1 Ta có x= n ∑ xi ; n i =1 ∧ sx = ( ) n xi − x ; ∑ n i=1 Phương sai mẫu hiệu chỉnh Tính trực tiếp ⎡ n ⎤ s = xi − n( x ) ⎥ ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ k * Khi X nhận giá trị xi với số lần ni ta có ∑n i =1 k x = ∑ ni xi ; n i =1 ∧ sx i = n ; Thì ( ) k = ∑ nixi2 − x n i=1 Phương sai mẫu hiệu chỉnh ⎡ k ⎤ ni xi2 − n ( x ) ⎥ Tính trực tiếp s = ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ II Cách tính đặc trưng mẫu 1.Trường hợp X nhận giá trị xi với số lần ni mẫu cỡ n nhỏ Ví dụ Điều tra suất lúa diện tích 100ha trồng lúa vùng, ta thu bảng số liệu sau 94 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Năng suất(tạ/ha) 41 44 45 46 48 52 54 Diện tích (ha) 10 20 30 15 10 10 Tính giá trị trung bình phương sai mẫu hiệu chỉnh suất lúa BÀI GIẢI Ta lập bảng tính sau: xi ni xi ni xi2 ni 41 10 410 16.810 44 20 880 38.720 45 30 1.350 60.750 46 15 690 31.740 48 10 480 23.040 52 10 520 27.040 54 270 14.580 Tổng n = 100 4.600 212.680 Từ kết tính bảng ta có: Năng suất trung bình x = k 4600 xi ni = = 46 (tạ/ha) ∑ n i =1 100 Phương sai suất sx = () k ∑ xi ni − x n i =1 = 212680 − ( 46 ) = 10,8 100 Phương sai mẫu hiệu chỉnh S = n ^2 100 S = 10,8 = 10,9 n −1 100 − Cách khác ⎡ k ⎤ ⎡⎣ 212680 − 100.(46)2 ⎤⎦ ≈ 10,9 s = ni xi2 − n( x )2 ⎥ = ∑ ⎢ n − ⎣ i =1 ⎦ 99 95 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN 20 8.10 5.85 4.94 4.43 4.10 3.87 3.70 3.56 3.46 3.37 3.23 3.09 2.94 2.86 2.78 2.69 2.61 2.52 2.42 21 8.02 5.78 4.87 4.37 4.04 3.81 3.64 3.51 3.40 3.31 3.17 3.03 2.88 2.80 2.72 2.64 2.55 2.46 2.36 22 7.95 5.72 4.82 4.31 3.99 3.76 3.59 3.45 3.35 3.26 3.12 2.98 2.83 2.75 2.67 2.58 2.50 2.40 2.31 23 7.88 5.66 4.76 4.26 3.94 3.71 3.54 3.41 3.30 3.21 3.07 2.93 2.78 2.70 2.62 2.54 2.45 2.35 2.26 24 7.82 5.61 4.72 4.22 3.90 3.67 3.50 3.36 3.26 3.17 3.03 2.89 2.74 2.66 2.58 2.49 2.40 2.31 2.21 25 7.77 5.57 4.68 4.18 3.85 3.63 3.46 3.32 3.22 3.13 2.99 2.85 2.70 2.62 2.54 2.45 2.36 2.27 2.17 30 7.56 5.39 4.51 4.02 3.70 3.47 3.30 3.17 3.07 2.98 2.84 2.70 2.55 2.47 2.39 2.30 2.21 2.11 2.01 40 7.31 5.18 4.31 3.83 3.51 3.29 3.12 2.99 2.89 2.80 2.66 2.52 2.37 2.29 2.20 2.11 2.02 1.92 1.8 60 7.08 4.98 4.13 3.65 3.34 3.12 2.95 2.82 2.72 2.63 2.50 2.35 2.20 2.12 2.03 1.94 1.84 1.73 1.6 120 6.85 4.79 3.95 3.48 3.17 2.96 2.79 2.66 2.56 2.47 2.34 2.19 2.03 1.95 1.86 1.76 1.66 1.53 1.38 ∞ 6.63 4.61 3.78 3.32 3.02 2.80 2.64 2.51 2.41 2.32 2.18 2.04 1.88 1.79 1.70 1.59 1.47 1.32 1.00 Tương tự phân phối chi-bình phương, với X ∼ F ( n, m ) , giá trị x cho P ( X ≥ x ) = α tính sẵn với số α , m, n cho trước Ví dụ: X ∼ F ( 5,10 ) , để tìm x cho P ( X ≥ x ) = 0.05 , ta tra bảng (Trường hợp α = 0,05 ), hàng 10, cột nhận giá trị x 3.33 Để tìm x cho P ( X ≥ x ) = 0.01 , tra bảng (Trường hợp α = 0,01 ), hàng 10, cột 5, ta giá trị x 5.64 171 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM PHỤ LỤC HƯỚNG DẪN DÙNG CÁC BẢNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT Các bảng phân phối xác suất quan trọng gồm phân phối Gauss, Chi-Bình phương, Student Fisher Các giá trị xác suất đặc biệt chúng tính sẵn liệt kê thành bảng sau BẢNG Phân phối Gauss N ( 0,1) Với X ∼ N ( 0,1) , ta có hai tốn xác suất quan trọng : − Tìm P ( a ≤ X ≤ b ) , với a, b ∈ − Tìm giá trị t α cho P ( −t α ≤ X ≤ t α ) = P X ≤ t α = γ , , a ≤ b cho trước, ( ) với γ cho trước I Tìm P ( a ≤ X ≤ b ) Do f (x) = − x2 / e hàm mật độ X nên từ tính chất tích 2π phân, ta có P ( a ≤ X ≤ b) = ∫ b a ∫ f (x)dx = b f (x)dx − ≡ Φ (b) − Φ (a), Φ(x) = ∫ x f (t)dt ≡ 2π ∫ x e− t / 2dt ∫ a f (x)dx gọi hàm Laplace Các giá trị hàm Laplace tính sẵn liệt kê thành bảng gọi bảng phân phối Gauss Ngoài ra, Φ(x) hàm lẻ: Φ (− x) = −Φ(x) , ∀x ∈ cần liệt kê giá trị Φ(x) với x > , nên người ta Bảng phân phối Gauss gồm 400 giá trị Φ(x) , với x thay đổi từ 0.00, 0.01, 0.02, , 3.99 bố trí sau 172 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM − Các hàng bảng, trừ hàng đầu, đánh số từ 0.0, 0.1, đến 3.9 − Các cột bảng, trừ cột đầu, đánh số từ 0.00, 0.01 tới 0.09 Khi đó, ứng với giá trị x khoảng từ 0.00 đến 3.99 với hai số lẻ thập phân dạng x = a.bc , giá trị Φ(x) nằm hàng đánh số a.b cột đánh số 0.0c Chẳng hạn, với x = 1.52 , Φ(x) ≡ Φ (1.52) nằm hàng 1.5, cột 0.02, nghĩa Φ(1.52) = 0.4357 1.4 1.5 1.6 Ngồi ra, Φ (+∞) ≡ ≤ x ≤ +∞ 0.01 0.4207 0.4345 0.4463 2π ∫ +∞ 0.02 0.4222 0.4357 0.4474 0.03 0.4236 0.4370 0.4484 e− t / 2dt = 0.5 nên Φ (x) = 0.5 , với Tóm lại, X ∼ N ( 0,1) P ( a ≤ X ≤ b ) = Φ (b) − Φ (a) , (1) với Φ(x) tính sau − Khi ≤ x ≤ 3.99 , giá trị Φ(x) tìm thấy bảng, − Khi ≤ x ≤ +∞ , Φ(x) = 0.5 , − Khi x < , ta dùng công thức Φ (− x) = −Φ(x) Chú ý: Công thức (1) cho trường hợp a = −∞ hay b = +∞ Chẳng hạn P ( −∞ < X ≤ b ) = Φ (b) − Φ (−∞) = Φ (b) + 0, , Φ (−∞) = −Φ (+∞) = −0, , 173 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM P ( a ≤ X < +∞ ) = Φ (+∞) − Φ (a) = 0, − Φ (a) Hơn nữa, tính chất tích phân, ta có P ( a ≤ X ≤ b) = P ( a < X ≤ b) = P ( a ≤ X < b) = P ( a < X < b) ( ) II Tìm t α cho P ( − t α ≤ X ≤ t α ) = P X ≤ t α = γ , với γ cho trước Xuất phát từ đẳng thức γ = P ( −t α ≤ X ≤ t α ) = 2Φ ( t α ) , ta Φ ( tα ) = γ Do đó, ứng với giá trị γ cho trước, tính Φ ( t α ) = γ tìm vị trí số hạng bảng Bấy giờ, t α tổng số hàng số cột Chẳng hạn, với γ = 0.95 , Φ ( t α ) = γ = 0.475 Tra bảng, ta thấy giá trị 0.475 nằm hàng 1.9, cột 0.06, điều có nghĩa Φ(1.96) = 0.475 Do t α = 1.96 0.05 0.06 0.07 1.8 0.4678 0.4686 0.4693 1.9 0.4744 0.4750 0.4756 2.0 0.4798 0.4803 0.4808 ( ) Chú ý: Ta cịn gặp tốn tìm t α cho P X > t α = α , với α cho trước Khi ( ) ( ) P X ≤ tα = − P X > tα = − α = γ 174 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM ta nhận trở lại tốn vừa khảo sát Thơng thường, γ α gọi độ tin cậy nguy sai lầm Hoặc dùng BẢNG CHO ĐƠN GIẢN BẢNG Phân phối Student St ( n ) Do phân phối Student thường dùng toán thống kê nên với Τ ∼ St ( n ) , người ta có nhu cầu ( ) ( ) − Tìm t α cho P Τ ≤ t α = γ , − Tìm t α cho P Τ > t α = α ( ) Để làm điều này, người ta tính sẵn P Τ > t α = α , Τ ∼ St ( n ) , với số giá trị (nguy sai lầm) α (độ tự do) n liệt kê bảng gọi bảng phân phối Student Cụ thể, hàng bảng, trừ hàng 1, đánh số theo độ tự n, cột bảng, trừ cột 1, đánh số theo (nguy sai lầm) α Khi đó, nội dung bảng ứng với hàng cột nhận giá trị t α cần tìm ( ) Ví dụ Với Τ ∼ St (10 ) , để tìm t α cho P X > t α = 0.05 , nội dung bảng ứng với hàng 10, cột 0.05 cho giá trị t α = 2.228 0.04 0.05 0.06 2.398 2.262 2.150 10 2.359 2.228 2.120 11 2.328 2.201 2.096 ( ) Trường hợp tìm t α cho P Τ ≤ t α = γ khảo sát giống trường hợp phân phối Gauss 175 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM ( ) ( ) P Τ > tα = − P Τ ≤ tα = − γ Chú ý Khi Τ ∼ St ( n ) , với n ≥ 30 , ta − Dùng bảng phân phối Student với độ tự n = ∞ (hàng cuối), hay − Xấp xỉ phân phối Student phân phối Gauss, nghĩa X ∼ N ( 0,1) BẢNG Phân phối Chi-Bình phương Tương tự phân phối Student, phân phối Chi-Bình phương dùng thống kê ta gặp hai toán sau cho P ( X < a ) = P ( X > b ) = Tìm a, b ∈ − α , với (nguy sai lầm) α cho trước (bài tốn ước lượng), Tìm C ∈ − cho P ( X > C ) = α (bài toán kiểm định) Do P ( X < a ) = − P ( X ≥ a ) = − P ( X > a ) nên để giải tốn này, người ta tính sẵn số giá trị x cho P ( X ≥ x ) = α , X ∼ χ2 ( n ) , tương ứng với giá trị α n cho trước, liệt kê thành bảng Các hàng, trừ hàng 1, đánh số theo bậc tự n, cột, trừ cột 1, đánh số theo giá trị α 0.02 0.025 0.03 19.679 19.023 18.480 10 21.161 20.483 19.922 11 22.618 21.920 21.342 176 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Giá trị bảng tương ứng với hàng cột tìm giá trị x cần tìm Chẳng hạn, với X ∼ χ2 (10 ) , để tìm x cho P ( X ≥ x ) = 0.025 , tra bảng ứng với hàng 10, cột 0.025, ta x = 20.483 BẢNG Phân phối Fisher F ( n, m ) Tương tự phân phối chi-bình phương, với X ∼ F ( n, m ) , giá trị x cho P ( X ≥ x ) = α tính sẵn với số α , m, n cho trước Cụ thể, người ta xét hai giá trị α 0.05 0.01, giá trị x liệt kê thành hai bảng : Bảng ứng với α = 0.05 bảng ứng với α = 0.01 Trong bảng, hàng liệt kê giá trị n Cột liệt kê giá trị m giá trị bảng giá trị x cần tìm tương ứng Chẳng hạn, X ∼ F ( 5,10 ) , để tìm x cho P ( X ≥ x ) = 0.05 , ta tra bảng 1, hàng 10, cột nhận giá trị x 3.33 3.63 3.48 3.37 10 3.48 3.33 3.22 11 3.36 3.2 3.09 177 BỘ MÔN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Để tìm x cho P ( X ≥ x ) = 0.01 , tra bảng 2, hàng 10, cột 5, ta giá trị x 5.64 178 6.42 6.06 5.80 10 5.99 5.64 5.39 11 5.67 5.32 5.07 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM PHỤ LỤC HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH Trong phần này, ta khảo sát phép tính thống kê ba loại máy: FX 500A, FX 500MS, 570MS FX 500ES, 570ES I Các ký hiệu, ghi − Các phím bấm máy ký hiệu biểu tượng đóng khung, ví dụ : , , , , …, , , , , , , , , … − Các phím mũi tên : phím nút Replay , , , − Chuỗi ký hiệu biểu tượng “ → → ” nghĩa bấm phím , , , theo thứ tự từ trái sang phải → , , → → máy II Các bước tính toán thống kê với loại máy FX–500A, FX–500MS, FX–570MS Để nhận kết tính tốn thống kê biến, ta thực bước sau Bước 1: Vào chế độ thống kê (SD) Bước 2: Xóa liệu thống kê cũ Bước 3: Nhập số liệu thống kê Bước 4: Khai thác kết từ số liệu thống kê vừa nhập Bước 5: Thốt khỏi chế độ thống kê Cụ thể, ta có Bước 1: Vào chế độ thống kê Máy FX–500A: → 179 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Máy FX–500MS: → Máy FX–570MS: → Bước 2: Xóa số liệu thống kê cũ Trong chế độ SD, ta thực sau: → Máy FX–500A: → → Máy FX–500MS FX–570MS: → → → → Bước 3: Nhập số liệu thống kê Số liệu khơng có tần số: Chẳng hạn để nhập dãy số liệu X X Máy FX–500A: → → → → → → → → → → Máy FX–500MS FX–570MS: → → → → → → → → → → Số liệu có tần số: Chẳng hạn để nhập dãy số liệu X X Tần số → Máy FX–500A: 180 → → → → → → → → → → → → → → → → → → BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM → Máy FX–500MS FX–570MS: → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → → Bước 4: Khai thác kết Với X trung bình mẫu; σ phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh; n σ n −1 ∑x ∑x phương sai mẫu có hiệu chỉnh; i tổng số liệu mẫu; i tổng bình phương số liệu mẫu n cỡ mẫu Ta có Máy FX–500A: X: → σn : → σ n −1 : → ∑x : → i 181 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM ∑x : → n: → i Máy FX–500MS FX–570MS: X: → → → σn : → → → σ n −1 : → → → ∑x : ∑x : i → → → i → → → n: → → → Bước 5: Thoát khỏi chế độ thống kê Máy FX–500A: → Máy FX–500MS: → Máy FX–570MS: → III Các bước tính tốn thống kê với loại máy: FX–500ES, FX–570ES Để nhận kết tính toán thống kê biến, ta thực bước sau: Bước 1: Vào chế độ thống kê (STAT) Bước 2: Vào chế độ chỉnh sửa liệu Bước 2.1: Xóa liệu thống kê cũ Bước 2.2: Nhập số liệu thống kê Bước 3: Khai thác kết từ số liệu thống kê vừa nhập 182 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Bước 4: Thốt khỏi chế độ thống kê Chú ý: Chỉ có khác biệt hai loại máy bước Tất bước lại Cụ thể, ta có: Bước 1: Vào chế độ thống kê Máy FX–500ES: → → → Máy FX–570ES: → → → Bước 2: Vào chế độ chỉnh sửa liệu Trong chế độ STAT, ta thực sau: → → Bước 2.1: Xóa số liệu thống kê cũ → → → Bước 2.2: Nhập số liệu thống kê Số liệu khơng có tần số: Chẳng hạn để nhập dãy số liệu X X → → → → → → → → → → Số liệu có tần số: Chẳng hạn để nhập dãy số liệu X X Tần số Nếu hình khơng có cột Freq (cột để nhập tần số) bấm → Nhập liệu: → → → → → → → → → 183 BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM → Nhập tần số: → → → → → → → → → → → → → → → Bước 3: Khai thác kết Với X trung bình mẫu; σ n phương sai mẫu chưa hiệu chỉnh; σ n −1 ∑x ∑x phương sai mẫu có hiệu chỉnh; i tổng số liệu mẫu; i tổng bình phương số liệu mẫu n cỡ mẫu Ta có X: → → → → σn : → → → → σ n −1 : → → → → n: → → → → ∑x : ∑x : i i → → → → → → → → Bước 4: Thoát khỏi chế độ thống kê 184 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM BỘ MƠN TỐN TÀI LIỆU THAM KHẢO Xác suất thống kê GS ĐẶNG HẤN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TPHCM, 1991 2.Bài tập xác suất thống kê toán Chủ biên TS NGUYỄN CAO VĂN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ QUỐC DÂN HÀ NỘI, NXB GIÁO DỤC HÀ NỘI, 2002 Lý thuyết xác suất thống kê tốn Thạc sĩ HỒNG NGỌC NHẬM – TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TPHCM, 2005 Bài tập xác suất thống kê toán Thạc sĩ LÊ KHÁNH LUẬN – TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ TPHCM, 2005 Lý thuyết xác suất thống kê toán học LÊ TRUNG TƯƠNG – TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TPHCM 185 ... ni ( xi )2 xi – xi+1 ni xi – 12 143 1144 91 52 12 – 20 75 16 120 0 19 .20 0 20 – 28 53 24 127 2 30. 528 28 – 36 27 32 864 27 .648 36 – 44 14 40 560 22 .400 44 – 52 48 4 32 20.736 52 – 60 56 28 0 15.680... ui2 – 12 12 – 20 20 – 28 28 – 36 36 – 44 44 – 52 52 – 60 60 – 68 68 – 76 76 – 80 Tổng 16 24 32 40 48 56 64 72 78 143 75 53 27 14 3 n=336 8,75 75 106 81 56 45 30 28 24 26 ,25 471 ,25 75 21 2 24 3 22 4... TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TPHCM Ví dụ Đo đường kính 20 trục máy máy tiện tự động sản xuất ra, ta kết sau: 25 0 24 9 25 1 25 3 24 8 25 0 25 0 25 2 25 7 24 5 24 8 24 7 24 9 25 0 28 0 25 0 24 7 25 3 25 6 24 9 Giả sử đường kính