Đang tải... (xem toàn văn)
Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán cao cấp B1: Phần giải tích - Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tích phân hàm một biến; Phép Tính vi phân hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM CHƯƠNG III TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ 3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I Nguyên hàm tích phân bất định Định nghĩa nguyên hàm Hàm F ( x ) gọi nguyên hàm hàm f ( x ) def miền D ⇔ F ' ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ D Chú ý: Họ hàm F ( x ) + C , ∀C = const nguyên hàm hàm f ( x ) miền D VÍ DỤ Cho hàm f ( x ) = x , họ nguyên hàm F ( x ) = x3 +C Định lý Mọi hàm f ( x ) xác định liên tục đoạn [a, b] có ngun hàm đoạn Định nghĩa tích phân bất định Tích phân bất định hàm f x D () F ( x ) + C, ∀C = const với F ( x ) nguyên hàm hàm f ( x ) def Ký hiệu ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ⇔ F ' ( x ) = f ( x ) Các tính chất tích phân bất định TC1: TC : ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) ∫ dF ( x ) = F ( x ) hay d ⎡⎣ ∫ f ( x )dx ⎤⎦ = f ( x ) vaø ∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C 73 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM ∫ Cf ( x ) dx = C ∫ f ( x ) dx ∫ ⎡⎣ f ( x ) ± g ( x )⎤⎦ dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt ∫ f ( u ) du = F (u) + c; vớiu = u( x ) TC : TC : TC : TC : Bảng tích phân 1) ∫ adx = ax + c 1') ∫ adu = au + c ; u=u(x) x α +1 2)∫ x dx = +c (1 + α ) 3) ∫ dx = ln x + c x uα +1 2')∫ u du = +c 1+α 3') ∫ du = ln u + c u α 4)∫ e x dx = e x + c 5)∫ sin xdx = − cos x + c α ') ∫ e u du = e u + c ; 5')∫ sin udu = − cos u + c 6) ∫ cos xdx = sin x + c 6') ∫ cos udu = sin u + c 7) ∫ 7') ∫ 8) ∫ dx = tgx + c cos2 x dx − x2 = arcsin x + c dx = arctgx + c + x2 dx x 10)∫ = ln tg + c sin x 9) ∫ 11)∫ 74 dx x π = ln tg( + ) + c cos x 8') ∫ du = tgu + c cos2 u du − u2 = arcsin u + c du = arctgu + c + u2 du u 10')∫ = ln tg + c sin u du u π 9') ∫ 11')∫ cos u = ln tg( + ) + c BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM dx x = arctg + c 12 ')∫ du = arctg u + c x +a a a u +a a a dx du 13) ∫ = − cot gx + c 13')∫ = − cot gu + c sin x sin u cos ax 14)∫ eα x dx = α −1eα x + c +c 15) ∫ sin axdx = − a sin ax +c 16)∫ cos axdx = a dx x−a 17) ∫ ln = + C ( x − a ) 2a x + a 12) ∫ II Các phương pháp tính tích phân bất định 1) Phương pháp đổi biến số ( ) ϕ ( t ) hàm khả vi đơn điệu ∫ f ( x ) dx = ∫ f (ϕ ( t ) ) ϕ ( t ) dt * Nếu đặt t = ψ ( x ) , ψ ( x ) hàm khả vi, ∫ f (ψ ( x ) ) ψ ' ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt * Nếu x = ϕ t , VÍ DỤ Tính tích phân sau: I = ∫ sin x x2 dx BÀI GIẢI Đặt t = I =∫ x ⇒ x = t ⇒ dx = 3t dt vaø sin x x2 x2 = t2 3t sin t dx = ∫ dt t2 = 3∫ sin tdt = −3cos t + C = −3cos x + C 75 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 2) Phương pháp tích phân phần Định lý Nếu u ( x ) ; v ( x ) hàm khả vi ∫ udv = uv − ∫ vdu Chú ý: Khi sử dụng tích phân phần nên biến đổi trực tiếp chọn u, v cho dễ tìm 3x VÍ DỤ Tính I = ∫ e sin xdx ⎧ du = 3e x dx ⎧u = e ⎪ ⇒⎨ ⎨ ⎩ dv = sin xdx ⎪v = − cos x ⎩ 3x 3x I = − ⎡⎣ e cos x − ∫ 3e cos xdx ⎤⎦ 1⎡ ⎤ = − ⎢ e x cos x − ∫ e x d sin x ⎥ 2⎣ ⎦ 3x 1⎡ ⎤ = − ⎢ e x cos x − ( e x sin x − 3∫ e x sin xdx ) ⎥ 2⎣ ⎦ = − e x cos2 x + e x sin x − ∫ e x sin xdx 4 I 3x 3x ⎛ 9⎞ ⎜ + ⎟ I = − e cos2 x + e sin x + C ⎝ 4⎠ ⇒ I = e x ( −2 cos2 x + 3sin x ) + C ' 13 VÍ DỤ Tính I = ∫ arctgxdx Vậy: 76 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN I = ∫ arctgx dx = x.arctgx − ∫ xd ( arctgx ) u dv x d (1 + x ) = x.arctgx − ∫ dx = x.arctgx − ∫ x +1 + x2 = x.arctgx − ln (1 + x ) + C Chú ý: Có dạng để sử dụng cơng thức tích phân phần sau sin ( ax + b ) a) ∫ P ( x ) cos ( ax + b ) dx u e ax +b dv ln ( ax + b ) b) ∫ P ( x ) arctgx; v' arc cot gx dx arcsin x; arccos x u P ( x ) hàm đa thức hàm mũ VÍ DỤ Tính trường hợp tổng qt ax J = ∫ e ax cos bxdx a) I = ∫ e sin bxdx b) I = ∫ sin ( ln x ) dx vaø J = ∫ cos ( ln x ) dx Đáp số 77 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN e ax a) I = ∫ e sin bxdx = ( a sin bx − b cos bx ) + C a + b2 e ax vaø J = ∫ e ax cos bxdx = ( b sin bx + a cos bx ) + C a + b2 x b) I = ∫ sin ( ln x ) dx = ⎡sin ( ln x ) − cos ( ln x ) ⎤⎦ + C 2⎣ dv ax u vaø J = ∫ cos ( ln x ) dx = x ⎡sin ( ln x ) + cos ( ln x ) ⎤⎦ + C 2⎣ III Tích phân số hàm sơ cấp Tích phân hàm phân thức hữu tỷ Pn ( x ) hàm phân thức thực Qm ( x ) n < m, hàm phân thức không thực m ≥ n A Dạng I: ∫ x − a dx = A ln x − a + C Cho hàm phân thức f ( x ) = DạngII: ∫ A ( x − a) dx = A ∫ m dx = A ∫ ( x − a ) dx m −m ( x − a) A ( x − a) 1− m = Dạng III Tính 78 1− m ∫x +C Mx + N dx + px + q ( ∀m ≠ 1) (Δ = p − 4q < ) TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Ta biến đổi sau : ⎛ p⎞ ⎛ p2 ⎞ x + px + q = ⎜ x + ⎟ + ⎜ q − ⎟ 2⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎧ p p ⎪⎪t = x + ⇒ x = t − dx = dt Đặt : ⎨ ⎪a2 = q − p ⎪⎩ ⎛ ⎛ p⎞ Mp ⎞ M⎜t − ⎟ + N Mt + ⎜ N − ⎟⎠ Mx + N ⎝ 2⎠ ⎝ = = dx dt dt ∫ x + px + q ∫ t + a2 ∫ t + a2 ( ) =∫ ⎛ ⎛ Mt Mp ⎞ dt M dt Mp ⎞ dt + − = +⎜ N − dt N ∫ ∫ ∫ ⎜ ⎟ ⎟ 2 2 2 2 ⎠ t +a t +a ⎝ ⎠ t + a2 t +a ⎝ = ⎛ M Mp ⎞ t ln ( t + a ) + ⎜ N − arctg + C ⎟ 2 ⎠a a ⎝ Vậy ∫ (x = Mx + N dx + px + q ) M N − Mp 2x + p ln ( x + px + q ) + +C arctg 4q − p 4q − p Vận dụng ∫ 3 (2 x + 1) − dx 3x + d ( x + x + 1) 2 dx = ∫ dx = ∫ − ∫ 2 2 x + x +1 x + x +1 x + x +1 x + x +1 79 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Định lý Mọi đa thức bậc n với hệ số thực ( an ≠ 0) Pn(x) = a0 + a1x + a2x2 + .+ an-1xn-1 + anxn ln phân tích thành tích thừa số nhị thức bậc tam thức bậc hai khơng có nghiệm thực (trong có thừa số trùng nhau) Nghĩa là: Pn ( x ) = an ( x − a ) ( x − b ) ( x + px + q ) (α + β + + θ = n ) α θ β Khi hàm phân thức Pn ( x ) phân tích thành Qm ( x ) tổng phân thức tối giản Pn ( x ) A A1 Bx + C = α + α −1 + + θ + Qm ( x ) ( x − a ) ( x − a ) x + px + q ( ) Việc lấy tích phân vế trái ta đưa việc lấy tổng tích phân phân thức tối giản vế phải VÍ DỤ Tính I = ∫ dx ( x − 1)( x + 1) ( x + 3) BÀI GIẢI Ta có = A B Cx + D = + + 2 ( x − 1)( x + 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x + 1) x + (A + B + C)x + ( A − B + D ) x + ( A + B − C ) x + ( A − 3B − D ) ( x − 1)( x + 1) ( x + 3) Đồng hệ số ta ⎧A + B + C = ⎪A − B + D = ⎪ ⇒⎨ ⎪3 A + 3B − C = ⎪⎩3 A − 3B − D = 80 ⎧ ⎪⎪ A = ⇒⎨ ⎪C = ⎩⎪ D=− B=− BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Vậy 1 dx dx − ∫ dx − ∫ ∫ x −1 x +1 x + ⎛ x ⎞ d⎜ ⎟ 1 3⎠ ⎝ = ln x − − ln x + − ∫ 8 ⎛ x ⎞ ⎜ ⎟ +1 ⎝ 3⎠ x −1 x = ln − arctg + C x +1 3 I= x2 + VÍ DỤ Tính I = ∫ dx ( x − 1) ( x + 3) BÀI GIẢI Ta có x2 + A B C D = + 3 + + ( x − 1) ( x + 3) ( x − 1) ( x − 1) ( x − 1) ( x + 3) Đáp số Vậy I =∫ = A= x2 + B= ( x − 1) ( x + 1) 3 C= 32 D=− 32 dx 5 dx dx dx dx + ∫ + ∫ − ∫ ∫ 2 ( x − 1) ( x − 1) 32 ( x − 1) 32 x + =− x −1 + ln +C − ( x − 1) ( x − 1) 32 x + 81 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Tích phân hàm lượng giác Lấy tích phân hàm f ( x ) = R ( sin x; cos x ) Dạng I: hàm hữu tỷ theo sin cos phương pháp chung đặt t = tg x ( −π < x < π ) ⇒ dx = d ( 2arctgt ) = 2dt + t2 Các công thức lượng giác cần nhớ 2t − t2 sin x = ; cos x = ; + t2 + t2 VÍ DỤ Tính I = ∫ dx dx vaø J = ∫ sin x cos x BÀI GIẢI t = tg Đặt x ( −π < x < π ) ⇒ dx = d ( 2arctgt ) = 2dt 2t sin x = + t2 + t2 dx + t2 du x I =∫ =∫ dt = ∫ = ln u + C = ln tg + C sin x 2t + t u Tương tự J=∫ dx ⎛π x ⎞ = ln tg ⎜ + ⎟ + C cos x ⎝ 2⎠ VÍ DỤ Tính I = ∫ 82 dx 4sin x + 3cos x + BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 4.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP I Đạo hàm riêng cấp Cho hàm Z=f(x, y) có đạo hàm riêng cấp : f 'x (x,y) , f 'y (x,y) Đạo hàm đạo hàm riêng cấp gọi đạo hàm riêng cấp Đạo hàm riêng cấp theo biến x Nếu hàm f 'x (x,y) có đạo hàm riêng theo biến x đạo hàm gọi đạo hàm riêng cấp theo biến x Kí hiệu f '' (x,y) hay Z'' (x,y) hay x x ∂ f(x,y) ∂x 2 Đạo hàm riêng cấp theo biến y Tương tự f 'y (x,y) có đạo hàm riêng theo biến y ta có đạo hàm riêng cấp theo biến y ∂ f(x,y) Kí hiệu f '' (x,y) hay Z'' (x,y) hay y y ∂y Đạo hàm riêng hỗn hợp cấp +)Nếu f 'x (x,y) có đạo hàm riêng theo biến y đạo hàm gọi đạo hàm hỗn hợp theo x y f(x, y) 129 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Kí hiệu f ''xy (x,y) hay Z''xy (x,y) hay ∂ 2f ∂ ⎛ ∂f ⎞ = ⎜ ⎟ ∂y∂x ∂y ⎝ ∂x ⎠ +) Nếu f 'y (x,y) có đạo hàm riêng theo biến x đạo hàm gọi đạo hàm hỗn hợp theo y x f(x, y) ∂ 2f ∂ ⎛ ∂f ⎞ Kí hiệu f ''yx (x,y) hay Z''yx (x,y) hay = ⎜ ⎟ ∂x∂y ∂x ⎝ ∂y ⎠ Tuỳ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm ta có đạo hàm hỗn hợp f ''xy (x,y) , f ''yx (x,y) Định lý SWACC: Nếu hàm f ''xy , f ''yx liên tục (x,y) ta có f ''xy = f ''yx VÍ DỤ Tính đạo hàm riêng cấp cho hàm z = x2 y3 + x4 BÀI GIẢI z 'x = 2xy3 + 4x ; z 'y = 3x y z ''xx = 2y3 + 12x ; z ''yy = 6x y ; z ''xy = 6xy ; z ''yx = 6xy II.Vi phân toàn phần cấp Định nghĩa Cho hàm f(x,y) có vi phân tồn phần cấp df(x,y) = f 'x (x,y)dx + f 'y (x,y)dy Vi phân tồn phần 130 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN df(x,y) gọi vi phân toàn phần cấp f(x, y) với dx, dy số Kí hiệu d f(x,y) Cơng thức Theo định nghĩa ta có d f(x,y) = d(df(x,y)) = d(f 'x dx + f 'y dy) ⇒ d f = (f 'x dx + f 'y dy)'x dx + (f 'x dx + f 'y dy)'y dy ⇒ d f = f '' dx + f ''xy dxdy + f '' dy x y Với (x,y) mà đạo hàm riêng cấp liên tục ∂2f ∂2f ∂2f hay d f = dx + dxdy + dy ∂x∂y ∂x ∂y 2 ⎛ ∂ ⎞ ∂ Ta dùng ký hiệu hình thức: d f = ⎜ dx + dy ⎟ f ∂y ⎠ ⎝ ∂x Tổng quát: Vi phân toàn phần cấp n f(x,y ) định nghĩa d n f(x,y) = d(d n −1f(x,y)) n ⎛ ∂ ⎞ ∂ ta có cơng thức : d f = ⎜ dx + dy ⎟ f ∂y ⎠ ⎝ ∂x n VÍ DỤ Tìm vi phân tồn phần cấp cho hàm f(x,y) = ex y BÀI GIẢI 131 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Ta có f x' = e x y ; f y' = 2e x y f " = ex y , f "xy = 2ye x , f " = 2e x hàm liên tục x y với ∀(x,y) d f = e X (y dx + 4ydxdy + 2dy ) VÍ DỤ Tìm vi phân toàn phần cấp cho hàm số f(x,y) = x2 y3 + x4 BÀI GIẢI f 'x = 2xy3 + 4x3 ; f 'y = 3x y ;f ''x2 = 2y3 + 12x2 ; f ''yx = 6xy2 = f ''xy = 6xy ; f ''y2 = 6x y hàm liên tục với ∀(x,y) ,do d f = ( y + 12 x ) dx + (12 xy ) dxdy + x ydy VÍ DỤ Tìm vi phân tồn phần cấp cho hàm ( f ( x, y ) = cos x + y3 ) BÀI GIẢI ⇒ f ' x ( x, y ) = − sin ( x + y )( x + y ) ' x = −2 x.sin ( x + y ) vaø f 'y ( x, y ) = − sin ( x + y )( x + y ) 'y = −3y sin ( x + y ) ( ) ( ⇒ f '' xx ( x, y ) = −2.sin x + y3 − x co s x + y vaø ( f '' xy ( x , y ) = −3y 2 x.co s x + y ( ) ) ( ) f '' yy ( x, y ) = −6 y sin x + y − y co s x + y3 132 ) TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN hàm liên tục tồn mặt phẳng ta có d f = ⎡⎣ −2sin(x + y3 ) − 4x cos(x + y3 ) ⎤⎦ dx +2 ⎡⎣ −6xy2 cos(x2 + y3 ) ⎤⎦ dxdy + ⎡⎣ −6y2 sin(x + y3 ) − 9y cos(x + y3 ) ⎤⎦ dy VÍ DỤ Tìm vi phân tồn phần cấp cho hàm số f ( x, y ) = arccos(2 x + y ) BÀI GIẢI −(2 x + y ) ' −2 ' f x ( x, y ) = = − (2 x + y ) − (2 x + y ) −(2 x + y ) ' −3 f y' ( x, y ) = = − (2 x + y ) − (2 x + y )2 ' − ⎤ ⎡ f '' xx ( x, y ) = ⎢ −2 ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ ⎥ ⎣ ⎦ −2 = −2( − ) ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ ( −2)(2 x + y )2 − = −4 ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ (2 x + y ) ' − ⎤ ⎡ f '' yy ( x, y ) = ⎢ −3 ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ ⎥ ⎣ ⎦ − = −3( − ) ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ ( −2)(2 x + y )3 −2 = −9 ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ (2 x + y ) 133 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN ' − ⎤ ⎡ f '' yx ( x, y ) = ⎢ −2 ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ ⎥ ⎣ ⎦ −2 = −2( − ) ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ ( −2)(2 x + y )3 − = −6 ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ (2 x + y ) Với (x,y) mà đạo hàm riêng cấp liên tục ta có ⎧ ⎫ −2 d f = ⎨ −4 ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ (2 x + y ) ⎬ dx + ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ − ⎨ −6 ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ (2 x + y ) ⎬ dxdy + ⎩ ⎭ ⎧ ⎫ 2 − ⎨ −9 ⎡⎣1 − (2 x + y ) ⎤⎦ (2 x + y ) ⎬ dy ⎩ ⎭ VÍ DỤ Tìm vi phân tồn phần cấp cho hàm số x f ( x, y ) = ln( ) y BÀI GIẢI x Ta có f ( x, y ) = ln( ) = ln x − ln y nên y −1 −1 f x' ( x, y ) = ; f y' ( x, y ) = ; f xx'' ( x, y ) = ; x y x −1 f xy'' ( x, y ) = 0; f yy'' ( x, y ) = y Với (x,y) mà đạo hàm riêng cấp liên tục ta có d2 f = 134 −1 dx + 2.0dxdy − dy 2 x y TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 4.4 CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM BIẾN I Khái niệm cực trị Cho hàm z = f(x, y) xác định miền D, (x ,y ) ∈ D Điểm (x ,y ) gọi điểm cực đại (cực tiểu) hàm f tồn miền G ⊂ D , (x ,y ) ∈ G cho : f(x,y) < f(x ,y ) (f(x,y) > f(x ,y )) , ∀(x,y) ∈ G \ {(x ,y )} Điểm cực đại (cực tiểu) gọi chung điểm cực trị f(x, y) gọi có cực đại (cực tiểu) nói chung có cực trị điểm (x ,y ) II.Định lý Định lý Giả sử f(x, y) có cực trị (x ,y ) tồn đạo hàm riêng cấp f x' ( x0 ; y0 ) = 0; f y' ( x0 ; y0 ) = Điểm (x ,y ) gọi điểm dừng Định lý Cho f(x, y) có đạo hàm riêng cấp 1, cấp liên tục miền D.Đặt: A = f ''x2 (x ,y ) , B = f ''xy (x ,y ), C = f ''y2 (x ,y ) , Δ = AC − B2 - Nếu Δ < f(x, y) khơng có cực trị (x ,y ) - Nếu Δ > A > hàm đạt cực tiểu (x ,y ) 135 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM - Nếu Δ > A < hàm đạt cực đại (x ,y ) - Nếu Δ = f(x, y) đạt khơng đạt cực trị (x ,y ) Phương pháp tìm cực trị tự Bước 1: Tính đạo hàm riêng cấp 1: f 'x (x ,y );f 'y (x,y ) Bước 2: Tìm tất điểm dừng hàm f , tức giải hệ: ⎧⎪ f ' x ( x, y ) = ⎨ ⎪⎩ f 'y ( x , y ) = nghiệm hệ tọa độ điểm dừng M0 Bước 3: Tính đạo hàm riêng cấp đặt A = f '' xx ( M ) ; B = f '' xy ( M ) ; C = f ''yy ( M ) Bước 4: Tính Δ = AC − B kết luận ⎧Δ > f đạt cực tiểu tự M0 ⎩A > ⎧Δ > * Nếu ⎨ f đạt cực đại tự M A < ⎩ * Nếu Δ < hàm khơng đạt cực trị M * Nếu ⎨ * Nều Δ = ta chưa có kết luận điểm M0 VÍ DỤ Tìm cực trị tự hàm số sau f ( x, y ) = x − xy − y − x + y BÀI GIẢI Bước 1: Tính đạo hàm riêng cấp 136 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN f ' x ( x, y ) = x − y − 2; f ' y ( x, y ) = − x − y + Bước 2: Tìm tất điểm dừng hàm f tức giải heä: ⎧2 x − y − = ⎧x = ⇔ ⎨ ⇒ M0 (1,0 ) ⎨ − − + = = x y y ⎩ ⎩ Bước 3: Tính đạo hàm riêng cấp f '' xx ( x, y ) = 2; f '' xy ( x, y ) = −1; f '' yy ( x, y ) = −2 Bước 4: Tính Δ = AC − B kết luận A = f '' xx (1,0 ) = 2; B = f '' xy (1,0 ) = −1; C = f '' yy (1,0 ) = −2 ⇒ Δ = AC − B = ( −2 ) − = −5 < Suy hàm cực trị tự M (1,0 ) VÍ DỤ Tìm cực trị hàm số f(x, y) = x3 + y3 – 3xy BÀI GIẢI Bước 1: Tính đạo hàm riêng cấp f 'x = 3x2 − 3y;f 'y = 3y2 − 3x Bước 2: Tìm tất điểm dừng hàm f ⎧⎪3x − 3y = ⎧x = ⎧x = hay ⎨ Giải hệ: ⎨ ⇔ ⎨ ⎩y = ⎪⎩3y − 3x = ⎩y = Ta điểm dừng M(0, 0) , N(1, 1) Bước 3: Tính đạo hàm riêng cấp f " = 6x , f "yx = −3 , f " = 6y x y Bước 4: Tính Δ = AC − B kết luận 137 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM * Tại M (0, 0) ⇒ A = , B = -3 , C = ⇒ Δ = - < nên hàm khơng có cực trị (0,0) * Tại N (1, 1) ⇒ A = , B = -3 , C = ⇒ Δ = 27 > A > nên hàm đạt cực tiểu f cực tiểu = f(1, 1) = -1 III Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến Cho hàm f(x, y) liên tục miền đóng, bị chặn D Khi f(x, y) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ D Các giá trị tìm theo quy tắc sau Bước 1: Tìm điểm dừng miền D tính giá trị hàm điểm dừng Bước 2: Tìm giá trị hàm điểm biên Bước 3: So sánh giá trị chọn giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn miền D VÍ DỤ Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm f(x,y) = x + 2y − x hình trịn x + y ≤ (D) BÀI GIẢI Bước 1: Tìm điểm dừng miền D ⎧ f 'x = 2x − 1;f 'y = 4y ;Giải hệ: ⎧⎨2x − = ⇔ ⎨⎪ x = ⎩ 4y = ⎛1 ⎝2 ⎞ ⎠ ⎛1 ⎝2 ⎞ ⎠ Ta có điểm dừng ⎜ , ⎟ ∈ D f ⎜ , ⎟ = − 138 ⎪⎩ y = BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Bước 2: Bây ta xét giá trị f biên x2 + y2 = ⇒ y2 = − x2 ⇒ f = −x − x + với −1 ≤ x ≤ f(-1) = ; f(1) = f '( x ) = −2 x − ; f '( x ) = ⇒ −2 x − = ⇒ x = − ; f ''( x ) = −2 < Như biên: f đạt giá trị lớn x = − ⎛ 1⎞ f ⎜ − ⎟ = ⎝ 2⎠ f đạt giá trị nhỏ x = f(1) = Bước 3: So sánh giá trị ta ⎛ 1 3⎞ ⎛1 ⎞ fmin = f ⎜ , ⎟ = − , fmax = f ⎜ − , ± ⎟= ⎠ ⎝2 ⎠ ⎝ 139 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BÀI TẬP CHƯƠNG IV 4.1 Tìm miền xác định hàm số sau a) z = c) z = b) z = x y + x ln y − x2 + y −1 (x + y − 1)( − x − y ) d) z = y + lg ( b − y ) ( a , b số) a −x y −1 e) z = arcsin x 2 f) u = x + y + z g) u = R − x − y − z + x2 + y2 + z − r ;( R > r > ) 4.2 Tính đạo hàm riêng cấp vi phân toàn phần cấp hàm số sau a) z = x sin y b) z = arctan xy d) z = x e y e) z = x y g) z = x y + y x c) z = arcsin ( x + y ) f) z = ( h) z = ln x + x + y ) cos x y 4.3 Chứng minh a) z = y ln ( x − y ) thỏa ' ' z zx + z y = x y y y y thỏa x z x' + xyz 'y = yz x c) u = ( x − y )( y − z )( z − x ) thỏa u x' + u 'y + u z' = b) z = y x sin 4.4 Tính đạo hàm hàm ẩn 140 y = y ( x ) cho hệ thức: BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM a) x + xy + y − 3x + y = c) xe y + ye x − e xy = b) xy − ln y = a ( a cosnt ) d) sin xy − e xy − x y = 4.5 Tính gần giá trị sau a) A = 1, 083,96 c) C = b) B = ln ( 3, 002 ) + ( 4, 003) 2 ( ) 1, 03 + 0,98 − d) D = arctan 1, 02 0,95 4.6 Tính đạo hàm riêng cấp hàm số sau a) z = x3 − x y + y + c) z = sin ( ax + by ) b) z = e x ln y + sin y ln x d) z = arcsin xy e) z = ln x + x + y f) z = y ln x ( ) 4.7 Tính vi phân toàn phần cấp hàm số sau a) z = x y + xy + b) z = ln xy c) z = sin ( x + y ) d) z = x2 y x+ y 4.8 Tính đạo hàm riêng zu' , zv' hàm hợp sau 2 a) z = x + xy + y với x = ( u + v ) , y = ( u − v ) b) z = e x −2 y với x = sin u , y = u + v 4.9 Tìm cực trị hàm số sau e) z = x y g) z = x3 + x + y − y + x2 y + ( a, b > ) a b2 d) z = x + y2 +1 f) z = x + xy + y − x − y h) z = x3 + y − 12 x − y + 25 i) z = x − x + y + 10 j) z = x − y − x + 32 y − a) z = x − xy + y + 3x − y + c) z = x3 + 3xy − 15 x − 12 y − b) z = 141 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM ĐỀ THI THAM KHẢO ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn thi: Tốn Cao Cấp B1 (khối kinh tế) Thời gian: 60 phút (Sinh viên không sử dụng tài liệu) Câu Định m để hàm số ⎧ex-3 − 2x + , x ≠ ⎪ f (x) = ⎨ x -3 liên tục điểm x = ⎪m , x = ⎩ Câu Tìm khai triển Maclaurin hàm f ( x ) = x ( e x − e − x ) đến số hạng x +∞ Câu Xét hội tụ tích phân I = ∫e −x Câu Tìm cực trị hàm số sau z = x − xy + y + x − y + 142 cos x dx TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán cao cấp -chủ biên PGS TS Lê Văn Hốt Trường đại học Kinh tế TP HCM 2.Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp chủ biên PGS TS Lê Văn Hốt Trường đại học Kinh tế TP HCM Tốn cao cấp cho nhà kinh tế -Lê Đình Thúy Trường đại học Kinh tế quốc dân Hà nội Tốn cao cấp -chủ biên Nguyễn Đình Trí Giáo trình Tốn cao cấp B C -chủ biên TS Trần Ngọc Hội.Trường đại học Mở TPHCM 143 ... arcsin + C a a2 − x ∫ x a2 x a − x dx = a − x + arcsin + C a 2 2 dx ∫ x ± a2 = ln x + x ± a2 + C x a2 x ± a dx = x ± a + ln x + x ± a2 + C 2 ∫ (x dx + a2 ) = ⎡ x x⎤ + + C arctg ⎢ 2 ⎥ 2a ⎣ x + a... + TRƯỜNG CAO ÑAÚNG CNTT TP HCM Ta đặt t = tg x BỘ MÔN TOÁN ( −π < x < π ) ⇒ dx = d ( 2arctgt ) = 2dt + t2 dx 4sin x + 3cos x + 2 + t2 =∫ = dt dt ∫ 2 8 + + t t − t ( ) +5 2t + 1+ t + t2 I =∫ =∫... ln2 ∫ ln2 dx = x e −1 ln = − x ln2 + ln2 ∫ ln 2 ln2 ∫ − ( e x − 1) + e x dx ln2 d ( e x − 1) ex − ex −1 ex ⎞ ⎛ = ∫ ⎜ −1 + x dx e − ⎟⎠ ln ⎝ 2ln 2 ln = − ln + ln + ln e x − ln2 = − ln + ln e 2ln