Giáo trình Toán cao cấp B2: Phần đại số giải quyết hầu hết các vấn đề trọng yếu của môn học, giúp sinh viên có nền tảng về toán để tiếp cận các môn học khác trong chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế. Phần lý thuyết được trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng là sinh viên hệ cao đẳng. Ngoài ra, còn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau mỗi chương đều có bài tập để sinh viên rèn luyện.
BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP B2 PHẦN ĐẠI SỐ KHỐI KINH TẾ (LƯU HÀNH NỘI BỘ ) TP HỒ CHÍ MINH 2013 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy mơn Tốn trường, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM tổ chức biên soạn ấn hành TOÁN CAO CẤP B2 dành cho sinh viên khối ngành kinh tế Cuốn sách giảng viên thuộc mơn Tốn biên soạn, sở đề cương mơn học theo tín Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt Nội dung sách phần Đại số tuyến tính toán ứng dụng kinh tế.Cuốn sách giải hầu hết vấn đề trọng yếu mơn học, giúp sinh viên có tảng tốn để tiếp cận mơn học khác chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế Phần lý thuyết trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng Ngồi ra, cịn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau chương có tập để sinh viên rèn luyện Đây tài liệu sử dụng thức trường giúp sinh viên học tập thi kết thúc học phần có hiệu tốt theo chương trình đào tạo tín Trong trình giảng dạy, giáo trình cập nhật, chỉnh lý để ngày hoàn thiện đầy đủ Do khả có hạn, thời gian ngắn lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín nên giáo trình khơng tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên mơn Tốn mong nhận ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc ngồi trường Các ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc xin gửi chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng mơn TỐN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM Địa minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN MỤC LỤC PHẦN 1 2.1 2.2 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG I MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I Định nghĩa ma trận II Phân loại ma trận III Các phép toán ma trận IV Các phép biến đổi sơ cấp ma trận ĐỊNH THỨC I Định nghĩa định thức ma trận vng II Tính chất định thức III Khai triển định thức theo hàng cột IV Cách tính định thức phép biến đổi sơ cấp MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO I Định nghĩa II Các định lý III Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo HẠNG CỦA MA TRẬN I Định nghĩa II Phương pháp tìm hạng ma trận BÀI TẬP CHƯƠNG I CHƯƠNG II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính II Định lí tồn nghiệm Kronecker-Capelli CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH I Phương pháp Cramer II Phuơng pháp Gauss-Jordan III Hệ 7 14 21 26 29 33 33 37 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 2.3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 BỘ MÔN TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG MA TRẬN BÀI TẬP CHƯƠNG II CHƯƠNG III CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TRONG KINH TẾ Ý NGHĨA KINH TẾ CỦA ĐẠO HÀM I Biên tế II Hệ số co giãn BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÀM MỘT BIẾN TRONG KINH TẾ I Bài tốn tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa II Bài toán xác định mức thuế doanh thu III Bài toán định mức thuế nhập IV Bài tốn định mức thuế xuất BÀI TỐN CỰC TRỊ HÀM BIẾN TRONG KINH TẾ I Bài tốn tìm mức sản lượngtrong điều kiện cạnh tranh hoàn hảo II Bài tốn tìm mức sản lượng điều kiện sản xuất độc quyền III Bài toán lựa chọn đầu vào cho sản xuất TÌM ĐIỂM CÂN BẰNG THỊ TRƯỜNG I Mơ hình điểm cân thị trường II Tìm điểm cân thị trường MƠ HÌNH INPUT-OUPUT I Mơ hình input – ouput mở II Mơ hình input – ouput đóng BÀI TẬP CHƯƠNG III ĐỀ THI THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO 45 49 52 52 63 73 80 85 90 94 95 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM CHƯƠNG I MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 1.1 KHÁI NIỆM VỀ MA TRẬN I Định nghĩa ma trận Ma trận cấp m × n bảng số hình chữ nhật có m hàng n cột Ký hiệu: A, B, C, ⎛ a11 a11 … a1 j … a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 … a2 j … a2 n ⎟ ⎜… … … … … …⎟ ⎟ A=⎜ ⎜ ai1 … aij … ain ⎟ ⎜ ⎟ ⎜… … … … … …⎟ ⎜a ⎟ ⎝ m1 am … amj … amn ⎠ aij phần tử nằm dòng i, cột j ma trận A Có thể viết gọn ma trận dạng A = (aij)mxn A=[aij]mxn Tập tất ma trận cấp m × n , có phần tử số thực ký hiệu là: M mxn ( )= {A = (a ) ij mxn | aij ∈ } II Phân loại ma trận Ma trận khơng ma trận có tất phần tử khơng, kí hiệu θ Ma trận hàng ma trận có dạng hàng n cột (còn gọi véctơ hàng) A = ( a11 a12 … a1n ) = ( aij ) 1×n Ma trận cột ma trận có dạng m hàng cột (cịn gọi véctơ cột) BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM ⎛ a11 ⎞ ⎜ ⎟ a A = ⎜ 21 ⎟ = ( aij )m×1 ⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ am1 ⎠ Ma trận vuông cấp n ma trận cấp n có số dịng số cột ⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜… A=⎜ ⎜ ai1 ⎜ ⎜… ⎜a ⎝ n1 a11 … a1 j … a1n ⎞ ⎟ a22 … a2 j … a2 n ⎟ … … … … …⎟ ⎟ = ( aij ) n×n … aij … ain ⎟ ⎟ … … … … …⎟ an … anj … ann ⎟⎠ Các phần tử a11, a22, a33, ….aii,… ann gọi phần tử nằm đường chéo Các phần tử an1, an-1 2, an-2 3, ….aii,… a1n gọi phần tử nằm đường chéo phụ Ma trận đường chéo (ma trận chéo) ma trận vng cấp n, aij = 0; ∀i ≠ j , tức phần tử khơng nằm đường chéo khơng ⎛ a11 ⎜ ⎜ a22 ⎜… … A=⎜ ⎜0 ⎜… … ⎜⎜ ⎝0 … … … … … … … … aii … … … … … … 0⎞ ⎟ 0⎟ …⎟ ⎟ 0⎟ …⎟ ⎟ ann ⎟⎠ BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Ma trận đơn vị ma trận chéo có phần tử nằm đường chéo Kí hiệu: I; E ⎛1 … … 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜0 … … 0⎟ ⎜… … … … … …⎟ I =⎜ ⎟ ⎜0 … … 0⎟ ⎜… … … … … …⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 … … 1⎠ Ma trận tam giác trên, tam giác a) Ma trận tam giác ma trận vng, aij = ∀i > j; i, j = 1, n ⎛ a11 a11 ⎜ ⎜ a22 ⎜… … A=⎜ ⎜0 ⎜ ⎜… … ⎜0 ⎝ … a1 j … a1n ⎞ ⎟ … a2 j … a2 n ⎟ … … … …⎟ ⎟ … aii … ain ⎟ ⎟ … … … …⎟ … … ann ⎟⎠ b) Ma trận tam giác ma trận vuông, aij = ∀i < j; i, j = 1, n ⎛ a11 ⎜ ⎜ a21 ⎜… A=⎜ ⎜ ai1 ⎜… ⎜⎜ ⎝ an1 a22 … … an … … … … … … 0 … aii … anj … 0⎞ ⎟ … 0⎟ … …⎟ ⎟ … 0⎟ … …⎟ ⎟ … ann ⎟⎠ BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Ma trận Hai ma trận gọi chúng có cỡ phần tử vị trí phải B = bij A = B Tức là: cho A = aij ( ) ( ) m×n m ×n aij = bij ∀i, j ; i = 1, m ; j = 1, n Ma trận chuyển vị (transposition = chuyển vị, đảo ngược Cho ma trận A = aij , ta đổi hàng thành cột cột ( ) m×n thành hàng ma trận gọi ma trận chuyển vị ma trận A Ký hiệu: AT, Ac, A' ; AT = a ji ( ) n ×m ⎛1 4⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ VÍ DỤ Cho A = ⎜ AT = ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 6⎠ ⎜ 6⎟ ⎝ ⎠ VÍ DỤ Cho ⎛1 ⎜ ⎜ -2 A=⎜ ⎜ ⎜ -1 ⎜4 ⎝ -2 -1 ⎞ ⎟ -7 ⎟ -1 ⎟ ⎟ -3 ⎟ -7 ⎟⎠ A=A Khi ta nói ma trận A ma trận đối xứng 10 Ma trận bậc thang bậc thang tắc a) Ma trận bậc thang ma trận ln thoả mãn hai tính chất i) Các hàng khác không hàng không ii) Phần tử khác không hàng bên phải cột chứa phần tử khác không hàng Chú ý: hàng khác không hàng có phần tử khác khơng VÍ DỤ Các ma trận sau ma trận bậc thang: T 10 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Lời giải (2) có ý nghĩa kinh tế thành phần nghiệm phải dương thay giá trị vào hàm cung cầu, giá trị hàm phải dương Hệ (2) viết dạng A P = B (2’) Kí hiệu : − a1n ⎞ ⎛ a11 − a12 ⎛ b1 ⎞ ⎛ p1 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ − a21 a22 − a2n ⎟ p2 ⎟ b ⎜ ⎜ ;P = A= ; B=⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎜…⎟ ⎜…⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ann ⎠ ⎝ bn ⎠ ⎝ − an1 − an ⎝ pn ⎠ Giải hệ (2) hai phương pháp nêu phần hệ phương trình Qs1 = 18 P1 − P2 − P3 − 45; QD1 = −6 P1 + P2 + 130 Qs = − P1 + 13 P2 − P3 − 10; QD = P1 − P2 + P3 + 220 Qs = − P1 − P2 + 10 P3 − 15; QD = P2 − P3 + 215 VÍ DỤ Thị trường có loại hàng hố Hàm cung hàm cầu loại hàng : Tìm điểm cân thị trường BÀI GIẢI ⎧ E1 = Qs1 − QD1 = ⎧ 24 p1 − p2 − p3 = 175 ⎪ ⎪ Xét hệ ⎨ E2 = Qs − QD = ⇔ ⎨ −3 p1 + 20 p2 − p3 = 230 ⎪E = Q − Q = ⎪ − p − p + 15 p = 230 s3 D3 ⎩ ⎩ Giải hệ thống phương trình này, chấp nhận nếu: P1 > 0, P2 > 0, P3 > (có ba số Pi > , ta khơng có điểm cân thị trường) QS , QS , QS phải số dương Giải hệ phương trình phương pháp Cramer Ta có : 81 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 24 −3 −1 det( A) = −3 20 −2 = 6835 ≠ −1 −4 15 175 −3 −1 det( A1 ) = 230 20 −2 = 68350; 230 −4 15 24 175 −1 det( A2 ) = −3 230 −2 = 102525 −1 230 15 24 −3 175 det( A3 ) = −3 20 230 = 136700 −1 −4 230 Vậy nghiệm hệ det( A3 ) det( A1 ) det( A2 ) p1 = = 10; p2 = = 15; p3 = = 20 det( A) det( A) det( A) Do điểm cân thị trường (10,15,20) VÍ DỤ Xét thị trường có loại hàng biết hàm cung hàm cầu loại hàng theo giá : Qs1 = 10 P1 − P2 − 30, QD1 = 143 − P1 + P2 + P3 Qs = 12 P2 − P3 − 13, QD = 80 + P1 − 10 P2 Qs = − P1 + P3 − 20, QD = 79 + P2 − P3 a) Tìm điểm cân thị trường b) Nếu đơn vị thời gian người ta xuất 10 đơn vị hàng thứ nhất, 15 đơn vị hàng thứ ba nhập đơn vị hàng thứ hai, tìm điểm cân BÀI GIẢI 82 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN a) Điểm cân thị trường trường hợp giá mặt hàng cho lượng cung QS lượng cầu hàng hoá QD hay : QS − QD = ⎧19 P1 − P2 − P3 = 173 ⎪ Ta có: ⎨ − P1 + 22 P2 − P3 = 93 ⎪ − P − P + 17 P = 99 ⎩ Giải hệ thống phương trình với điều kiện chấp nhận P1 > 0, P2 > 0, P3 > : 19 −2 −1 det A = −1 22 −1 = 7008 ; −1 −2 17 173 −2 −1 det( A1 ) = 93 22 −1 = 70080 99 −2 17 19 173 −1 det A2 = −1 93 −1 = 35040 ; −1 99 17 19 −2 173 det A3 = −1 22 93 = 49056 −1 −2 99 Vậy điểm cân với hệ thống giá det A3 det A1 det A2 p1 = = 10; p2 = = 5; p3 = =7 det A det A det A QS = QD1 = 65; QS = QD = 40; QS = QD = 33 83 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN b) Nếu ta xuất A đơn vị hàng loại I lượng cung QSi giảm A đơn vị, nhập lượng cầu QDi tăng lên A đơn vị Nên : hàng thứ xuất 10 đơn vị hàng thứ ba xuất 15 đơn vị hàng thứ hai nhập đơn vị lúc : Q'S = QS − 10 = 10 P1 − P2 − 40 Q'D = QD + = P1 − 10 P2 + 88 Q'S = QS − 15 = − P1 + P3 − 35 ' ' Q'S = QD1; QS = QD ; QS = QD ⎧19 P1 − P2 − P3 = 183 ⎪ ⇒ ⎨ − P1 + 22 P2 − P3 = 101 ⎪ − P − P + 17 P = 114 ⎩ Giải hệ thống phương trình này, chấp nhận P1 > 0, P2 > 0, P3 > (có ba số Pi > , ta khơng có điểm cân thị trường) QS , QS , QS phải số dương det A = 7008; det A1 = 74448; det A2 = 38096; Ta có: det A3 = 55856 Điểm cân : P1 = 10, 62; P2 = 5, 44; P3 = 7, 97 84 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 3.5 MƠ HÌNH INPUT-OUPUT Mơ hình nhằm xác định đầu ngành n ngành kinh tế cho vừa đủ để thỏa mãn toàn nhu cầu loại sản phẩm I Mơ hình mở Giả sử hệ số aij hệ số đầu vào kinh tế nngành, xếp ma trận ⎛ a11 a12 … a1n ⎞ ⎜ ⎟ a21 a22 … a2n ⎟ ⎜ A= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ an1 an … ann ⎠ Trong cột cho biết yêu cầu đầu vào để sản xuất lượng hàng hoá đầu trị giá đơn vị tiền tệ Trong mơ hình mở, kinh tế xác định cách độc lập nhu cầu cuối loại hàng hoá (những nhu cầu không phụ thuộc đầu vào) n- ngành kinh tế Bản thân lại cung ứng đầu vào đặc biệt ngành kinh tế mở cung cấp không sản xuất ngành kinh tế số n ngành kể Gọi mức độ “chính xác” đầu n- ngành kinh tế x1 , x2 ,… , xn yêu cầu cuối loại hàng hóa ngành kinh tế mở d1 , d ,… , d n Hệ phương trình tuyến tính xác định mức độ “chính xác” đầu : ⎧(1 − a11 ) x1 − a12 x2 − − a1n xn = d1 ⎪ ⎪ − a21 x1 + (1 − a22 ) x2 − − a2n xn = d ⎨ ⎪ ⎪ − a x − a x − + (1 − a ) x = d nn n n ⎩ n1 n 2 Nếu viết dạng ma trận ta có ( I − A) X = D (3) 85 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Trong I ma trận đơn vị, A ma trận hệ số đầu vào, X ma trận xác định yếu tố đầu viết dạng cột, D vectơ yêu cầu cuối dạng cột Nếu ( I − A) ma trận khơng suy biến ta tìm ( I − A)−1 hệ phương trình (3) có nghiệm X = ( I − A)−1 D VÍ DỤ Trong mơ hình input - output mở biết ma trận đầu vào ⎛ 0, 0,1 0, ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0,1 0, 0, ⎟ ⎜ 0, 0, 0, ⎟ ⎝ ⎠ a) Nêu ý nghĩa kinh tế hệ số a23 = 0, b) Tìm mức sản lượng ngành kinh tế, ngành kinh tế mở yêu cầu ngành phải cung cấp cho lượng sản phẩm trị giá tương ứng (35, 45, 15) BÀI GIẢI a) Ý nghĩa kinh tế hệ số a23 = 0, Cần lượng hàng hoá thứ (nguyên liệu thứ 2) trị giá 0,3 (đơn vị tiền), để sản xuất lượng hàng hóa thứ trị giá (đơn vị tiền) b) Ta gọi I ma trận đơn vị cấp 3, A ma trận đầu vào D nhu cầu cuối với X vectơ dạng cột Ta có : ( I − A) X = D ⎛ 0, −0,1 −0,1 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 35 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − 0,1 0, − 0, ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 45 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ −0, −0, 0, ⎠ ⎝ x3 ⎠ ⎝ 15 ⎠ ⎛ 0, −0,1 −0,1 ⎞ ⎛ −7 1 ⎞ ⎜ ⎟ −1 ⎜ ⎟ −8 ⎟ Đặt B = ⎜ −0,1 0, −0, ⎟ = ⎜ ⎜ −0, −0, 0, ⎟ 10 ⎜ −8 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 86 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM ⎛ −1 ⎞ det B = ⎜ ⎟ ⎝ 10 ⎠ B11 = B21 = B31 = B −1 10 102 102 −7 1 352 −8 = 10 3 −8 55; B12 = 11; B22 = 11; B32 = 10 102 102 14; 54; 22; B13 = 19; 102 B23 = 23, 102 B33 = 55; 102 ⎛ 55 11 11 ⎞ 1 ⎜ ⎟ * 10 B = 14 54 22 ⎟ = ⎜ det B 352 10 ⎜ ⎟ ⎝ 19 23 55 ⎠ ⎛ 55 11 11 ⎞ 10 ⎜ ⎟ = 14 54 22 ⎟ 352 ⎜⎜ ⎟ ⎝ 19 23 55 ⎠ ⎛ 55 11 11 ⎞ ⎛ 35 ⎞ 10 ⎜ ⎟⎜ ⎟ X =B D= 14 54 22 ⎟ ⎜ 45 ⎟ ⎜ 352 ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 19 23 55 ⎠ ⎝ 15 ⎠ −1 ⎛ 1925 + 495 + 165 ⎞ ⎛ 2585 ⎞ ⎛ 73, ⎞ 10 ⎜ ⎟ ⎟ 10 ⎜ ⎟ ⎜ 490 + 2430 + 330 ⎟ = = ⎜ 3250 ⎟ = ⎜ 92, ⎟ 352 352 ⎜⎜ ⎟ ⎜ 2525 ⎟ ⎜ 71, ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ 665 + 1035 + 825 ⎠ 87 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN VÍ DỤ Trong mơ hình input - output mở gồm ngành kinh tế với ma trận hệ số đầu vào ⎛ 0,1 0, 0, ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0, 0, 0,1 ⎟ ⎜ 0, 0, 0, ⎟ ⎝ ⎠ a) Tìm mức sản lượng ngành kinh tế mở ngành kinh tế (110, 52, 90) b) Tìm mức sản lượng ngành với điều kiện bổ sung : cải tiến kỹ thuật ngành tiết kiệm 25% nguyên liệu ngành 2, yêu cầu ngành kinh tế mở ngành kinh tế (124, 66, 100) BÀI GIẢI a) Gọi X vectơ sản lượng ngành kinh tế viết theo cột ta có: ( I − A) X = D Hay ⎛ 0, −0, −0, ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎛ 110 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −0, 0, −0,1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜ 52 ⎟ ⎜ −0, −0, 0, ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 90 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 0, −0, −0, ⎞ ⎜ ⎟ Đặt B = ⎜ −0, 0, −0,1 ⎟ Ta tìm X = B −1 D ⎜ −0, −0, 0, ⎟ ⎝ ⎠ b) Do cải tiến kỹ thuật ngành nên nguyên liệu ngành thứ giảm 25% Như a21 = 0, lúc đầu chưa cải tiến, sau cải tiến kỹ thuật a21 = 0, Ta có ma trận hệ số đầu vào ⎛ 0,1 0, 0, ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0, 0, 0,1 ⎟ ⎜ 0, 0, 0, ⎟ ⎝ ⎠ áp dụng cách để tìm X 88 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN II Mơ hình đóng Trong mơ hình đóng, ngành kinh tế mở xét hệ thống giống ngành kinh tế khác (tức yêu cầu cuối d1 , d ,… , d n xác định cách độc lập, mà chúng xác định dựa vào đầu ngành kinh tế khác yếu tố kỹ thuật) Trong mơ hình đóng, nhu cầu cuối đầu vào đặc biệt khơng cịn nữa, thay vào yêu cầu đầu vào đầu ngành kinh tế mở Tất loại hàng hóa mối liên hệ khắng khít với nhau, tất ci sản xuất nhằm thoả mãn nhu cầu đầu vào (n+1) ngành kinh tế mơ hình Giả sử có (n+1) ngành kinh tế (kể ngành kinh tế mở mà ta kí hiệu số 0) mức độ “chính xác” đầu xi ∀i = 0, n nghiệm hệ ⎛ − a00 − a01 ⎜ ⎜ − a10 − a11 ⎜ ⎜ − an1 ⎝ − an − a0n ⎞ ⎛ x0 ⎞ ⎛ ⎞ ⎟⎜ ⎟ − a1n ⎟ ⎜ x1 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − ann ⎠ ⎝ xn ⎠ ⎝ ⎠ (4) Giải hệ phương trình nhất, ta tìm xi mơ hình đóng ta ln có ( I − A) X = hệ (4) ln ln có nghiệm khơng tầm thường nghĩa có vơ số nghiệm Điều có nghĩa mơ hình đóng, hệ phương trình tuyến tính khơng có mức “chính xác” đầu 89 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN BÀI TẬP CHƯƠNG III Cho hàm doanh thu TR(Q) = 1200Q − Q2 , (Q ≥ 0) a) Tìm hàm doanh thu biên b) Tại Q = 590 , Q tăng đơn vị doanh thu thay đổi đơn vị? c) Tính giá trị doanh thu biên Q = 610 giải thích ý nghĩa Cho hàm tổng chi phí TC(Q) = 0.1Q + 0.3Q + 100, (Q ≥ 0) a) Tìm hàm chi phí biên MC(Q) b) Tính chi phí biên mức sản lượng Q0 = 120 giải thích ý nghĩa kết nhận 3 Cho hàm sản xuất Q = 20K1/ L3/ Hãy tìm sản lượng cận biên K = 16, L = 81 Giải thích ý nghĩa Cho hàm cầu D = 0.4Y 0.2 p −0.3 Hãy tính ε DY ε DP Tính hệ số co dãn hàm sau điểm cho trước a) Q(P1 , P2 ) = 6300 − 2P12 − P22 , (20,30) 1/3 2/3 b) Q(K, L) = 120K L Giả sử xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu xí nghiệp xét đơn vị thời gian QD = 100 − P hàm tổng chi phí C = Q − 63Q + 120Q + 250 90 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Hãy tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa Giả sử xí nghiệp sản xuất độc quyền loại sản phẩm Biết hàm cầu xí nghiệp đơn vị thời gian QD = 2400 − P hàm chi phí sản xuất thời gian C (Q ) = Q + 120 Q + 60 Hãy xác định mức thuế t định đơn vị sản phẩm xí nghiệp để thu xí nghiệp nhiều thuế Cho biết hàm cung hàm cầu loại sản phẩm thị trường nội địa QS = P − 200 QD = 1800 − P (P đơn giá) Biết giá bán loại sản phẩm thị trường quốc tế cộng với chi phí nhập (nhưng chưa tính thuế nhập khẩu) P1 = 500 Một công ty độc quyền nhập loại sản phẩm Hãy xác định mức thuế nhập t đơn vị sàn phẩm để thu từ công ty nhiều thuế (Giả sử khối lượng nhập công ty không ảnh hưởng đến giá bán thị trường quốc tế) Cho biết hàm sản xuất ngắn hạn Q = 100 L3 , L > giá sản phẩm P = 5USD , giá thuê lao động PL = 3USD Hãy tìm mức sử dụng lao động để lợi nhuận tối đa 3.10 Giả sử xí nghiệp sản xuất loại sản phẩm điều kiện cạnh tranh hoàn hảo, bán với giá P1 = 60; P2 = 75 Hàm tổng chi phí : C (Q1 , Q2 ) = Q12 + Q1Q2 + Q22 Tìm mức sản lượng Q1 , Q2 để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa 3.11 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại sản phẩm xí nghiệp đơn 91 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM vị thời gian : QD = 40 − P1 + P2 ; QD = 15 + P1 − P2 hàm tổng chi phí xét đơn vị thời gian : C (Q1 , Q2 ) = Q12 + Q1Q2 + Q22 Tìm mức sản lượng Q1 , Q2 để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa 3.12 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại sản phẩm xí nghiệp đơn vị thời gian là: Q D1 = 280 − P1 + P2 ; Q D2 = 402 + P1 − P2 Hàm tổng chi phí cho biểu thức: C ( Q1 , Q ) = 40Q1 +180Q + Q1Q + Q12 + Q 2 Tìm mức sản lượng để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 3.13 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm Biết hàm cầu hai loại sản phẩm xí nghiệp đơn vị thời gian là: Q D1 = 1200 − P1 + P2 ; Q D2 = 1440 + P1 − P2 tổng chi phí cho Hàm C ( Q1 , Q ) = 480Q1 + 720Q + 400 biểu thức: Tìm mức sản lượng để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa 3.14 Một xí nghiệp sản xuất độc quyền lọai sản phẩm tiêu thụ thị trường tách biệt Biết hàm cầu lọai sản phẩm thị trường Q D1 = 360 – P1; Q D2 = 620 – 2P2 hàm tổng chi phí xí nghiệp đơn vị thời gian C = Q2 + 20Q + 20 Tìm mức sản lượng phân phối thị trường để xí nghiệp đạt lợi nhuận cao 92 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 15 Doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q = −2K + 3KL − 3L2 + 30K + 20L; K, L > Biết giá thuê đơn vị tư K 4, giá thuê đơn vị lao động 22, giá sản phẩm Hãy xác định mức sử dụng K, L để hãng thu lợi nhuận tối đa 3.16 Xét mơ hình cân thị trường gồm loại hàng hóa, biết hàm cung hàm cầu loại hàng hóa là: Q D1 = –6P1 + P2 + P3 + 800 Q S1 = 9P1 – P2 – 2P3 – 120 Q S2 = – 2P1 + 10P2 – 2P3 – 200 Q D2 = P1 – P2 + 2P3 + 1000 Q S3 = – P1 – P2 + 8P3 – 270 Q D = 2P1 + 2P2 – 7P3 + 900 Hãy tìm điểm cân thị trường 3.17 Xét mơ hình input – Out ma trận hệ số đầu vào: ⎡ 0,3 A= (a ij ) x = ⎢⎢0,2 ⎢⎣0,4 mở gồm ngành kinh tế cho 0,1 ⎤ 0,1 0,1 ⎥⎥ 0,2 0,2⎥⎦ a) Nêu ý nghĩa kinh tế số 0,4 ma trận A b) Biết yêu cầu cuối ngành kinh tế mở ba ngành D= (369, 205, 246) Tìm sản lượng ba ngành kinh tế sản xuất 0,2 93 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn thi: Thời gian: Toán Cao Cấp khối kinh tế 60 phút (Sinh viên không sử dụng tài liệu) Câu Tìm hạng ma trận sau ⎛0 ⎜ A=⎜ ⎜3 ⎜ ⎝4 −3 −5 ⎞ ⎟ −2 −4 ⎟ −5 12 ⎟ ⎟ 5⎠ Câu Trong mơ hình input - output mở gồm ba ngành kinh tế, cho ma trận hệ số đầu vào ⎡ 0, 0,3 0,1 ⎤ A = ⎢⎢ 0,1 0,1 0, ⎥⎥ ⎢⎣ 0, 0, 0,3 ⎥⎦ Biết yêu cầu cuối ngành kinh tế mở ba ngành D= (90, 126, 162) Tìm sản lượng ba ngành kinh tế sản xuất Câu Một xí nghiệp sản xuất độc quyền hai loại sản phẩm.Biết hàm cầu hai loại sản phẩm : QD1=720-2P1+P2; QD2=660+P1-P2 hàm tổng chi phí C=780Q1+1040Q2+200 Tìm mức sản lượng để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa 94 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO 1.Đại số tuyến tính dùng kinh tế -GS TS Trần Văn Hạo Toán cao cấp -chủ biên PGS TS Lê Văn Hốt Trường đại học Kinh tế TP HCM Tốn cao cấp cho nhà kinh tế -Lê Đình Thúy Trường đại học Kinh tế quốc dân Hà nội Tốn cao cấp -chủ biên Nguyễn Đình Trí Giáo trình Tốn cao cấp B C -chủ biên TS Trần Ngọc Hội Trường đại học Mở TPHCM 95 ... c11 = (-1 ).1+2.3+3.2=11; c21 =4.1+ (-4 ).3+0.2 =-8 12 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN c12 = (-1 ).3+2. (-4 )+3. (-1 ) =-1 4; c22 =4.3+ (-4 ). (-4 )+0. (-1 )=28 c13 = (-1 ). (-1 )+2.6+3.0=13; c23 =4. (-1 )+ (-4 ).6+0.0 =-2 8... ( A ) = -2 -1 ⎟ ⎟ 0 0⎠ 27 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM VÍ DỤ Biện luận theo ⎛ -1 ⎜ -1 -1 A=⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎝ -1 λ hạng ma trận sau 2 -1 -2 2 -1 ⎛1 ⎜ h + h →h ⎯⎯⎯⎯ →⎜ ⎜0 ⎜ ⎝0 -1 -2 0 1 2 3 4 3 -1 ⎞ ⎟ λ⎟... -1 ⎞ ⎟ λ⎟ 1⎟ ⎟ 1⎠ -1 λ ⎛1 ⎜ h + h →h − h + h →h ⎜0 ⎯⎯⎯⎯ − h + h →h → ⎜0 ⎜ ⎝0 BỘ MÔN TOÁN 2 -1 ⎞ ⎟ λ -1 ⎟ λ -2 ⎟ ⎟ ⎠ -1 ⎞ ⎟ λ -1 ⎟ λ -1 λ +1⎟ ⎟ ⎠ -1 λ -1 λ -1 λ +1 ⎛ -1 ⎞ ⎜ ⎟ -2 − h + h →h ⎜ ⎟