Giáo trình Toán cao cấp A1: Phần giải tích cung cấp cho người học những kiến thức như: Giới hạn và liên tục của hàm 1 biến; Phép tính vi phân của hàm một biến; Tích phân hàm một biến; Phép tính vi phân hàm nhiều biến. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 PHẦN GIẢI TÍCH KHỐI KỸ THUẬT (LƯU HÀNH NỘI BỘ ) TP HỒ CHÍ MINH 2013 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy mơn Tốn trường, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM tổ chức biên soạn ấn hành TOÁN CAO CẤP dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật Cuốn sách giảng viên thuộc mơn Tốn biên soạn, sở đề cương mơn học theo tín Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt Nội dung sách phần Giải tích giải hầu hết vấn đề trọng yếu môn học, giúp sinh viên có tảng tốn để tiếp cận mơn học khác chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kỹ thuật Phần lý thuyết trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng Ngồi ra, cịn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau chương có tập để sinh viên rèn luyện Đây tài liệu sử dụng thức trường giúp sinh viên học tập thi kết thúc học phần có hiệu tốt theo chương trình đào tạo tín Trong q trình giảng dạy, giáo trình cập nhật, chỉnh lý để ngày hoàn thiện đầy đủ Do khả có hạn, thời gian ngắn lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín nên giáo trình khơng tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên mơn Tốn mong nhận ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc ngồi trường Các ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc xin gửi chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng mơn TỐN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM Địa minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN PHẦN GIẢI TÍCH TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN MỤC LỤC PHẦN 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 GIẢI TÍCH CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM BIẾN GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC I Định nghĩa giới hạn dãy số thực II Một số giới hạn CÁC KHÁI NIÊM CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ I Các định nghĩa II Các hàm sơ cấp GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ I Định nghĩa giới hạn hàm số II Vô bé vô lớn ∞ III Khử dạng vô định ; ∞ - ∞ ; ∞ ; ∞ ∞ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ I Các khái niệm II Điểm gián đoạn BÀI TẬP CHƯƠNG I CHƯƠNG II PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM I Định nghĩa đạo hàm II Các quy tắc tính đạo hàm III Đạo hàm cấp cao VI PHÂN I Định nghĩa vi phân cấp II Các cơng thức tính vi phân III Vi phân cấp cao CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH I Định nghĩa II Các định lý giá trị trung bình 9 15 23 36 40 42 42 51 55 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 2.4 CƠNG THỨC TAYLOR I Công thức Taylor công thức Maclaurin II Ứng dụng công thức Taylor 2.5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN I Quy tắc L’Hospital II Tìm cực trị BÀI TẬP CHƯƠNG II CHƯƠNG III TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN 3.1 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I Nguyên hàm định nghĩa tích phân bất định II Các phương pháp tính tích phân bất định III Tích phân số hàm sơ cấp 3.2 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I Định nghĩa tích phân xác định II Cơng thức Newton – Leibnitz III Các phương pháp tính 3.3 TÍCH PHÂN SUY RỘNG I Trường hợp tính tích phân có cận vơ hạn II Trường hợp tính tích phân có điểm gián đoạn khoảng lấy tích phân BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 4.1 KHÁI NIỆM HÀM NHIỀU BIẾN I Định nghĩa hàm nhiều biến II Giới hạn hàm hai biến số III Sự liên tục hàm hai biến số 4.2 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP I Định nghĩa đạo hàm riêng II Vi phân tồn phần cấp III Ứng dụng vi phân tính gần IV Đạo hàm hàm hợp V Đạo hàm hàm ẩn 58 67 70 72 72 87 94 111 114 114 122 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 4.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP CAO I Định nghĩa đạo hàm riêng cấp II Vi phân toàn phần cấp 4.4 CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ I Khái niệm cực trị II Định lý III Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến BÀI TẬP CHƯƠNG IV CHƯƠNG V CHUỖI 5.1 CHUỖI SỐ I Các khái niệm tính chất II.Chuỗi số dương III.Chuỗi có dấu Chuỗi đan dấu Chuỗi có dấu 5.2 CHUỖI HÀM BẤT KỲ 5.3 CHUỖI LŨY THỪA I.Định nghĩa II.Cách tìm bán kính hội tụ III.Khai triển số hàm thành chuỗi lũy thừa 5.4 CHUỖI FOURIER I.Định nghĩa II.Điều kiện để hàm số khai triển thành chuỗi Fourier BÀI TẬP CHƯƠNG V ĐỀ THI THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO 129 135 140 142 142 162 164 180 193 198 199 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM BIẾN 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC I Định nghĩa giới hạn dãy số thực Các khái niệm a) Dãy số thực: ánh xạ f : → , n dãy số thực, gọi tắt dãy số Ký hiệu: {xn}, (xn) VÍ DỤ x n gọi ⎧ (−1)n 2n + 1⎫ ⎧1 ⎫ xn = ⎨ ⎬ , xn = ⎨ ⎬ , yn = {3n + 1} n2 ⎩n⎭ ⎩ ⎭ Chú ý: Tuỳ thuộc vào công thức xác định dãy mà ánh xạ từ hay * b) Dãy con: Dãy { x n } gọi dãy dãy{xn} k phần tử { x n } phần tử dãy {xn} k (các phần tử dãy trích từ dãy mẹ {xn}) ⎧1⎫ ⎧1⎫ ⎧1 ⎫ ⎬ , ⎨ ⎬ dãy dãy ⎨ ⎬ ⎩ 2n ⎭ ⎩ 3n ⎭ ⎩n ⎭ VÍ DỤ Các dãy ⎨ c) Dãy tăng dãy có xn < xn+1; ∀ n ∈ VÍ DỤ xn = {2 n + 3} dãy tăng d) Dãy giảm dãy có xn > xn+1 ; ∀ n ∈ VÍ DỤ ⎫ xn = ⎧ ⎨ ⎬ dãy giảm ⎩ n + 1⎭ Để kiểm tra dãy số tăng hay giảm có cách: + Cách BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM x n+1 x > dã y tă ng; n+1 < dã y giả m nế u x n > 0∀n xn xn + Cách x n +1 − xn > dã y tă ng; xn +1 − x n < dã y giả m Giới hạn dãy số a) Định nghĩa Số L gọi giới hạn dãy {xn} n dần vô ∀ε > 0; ∃ n0 ∈ : ∀n > n0 xn − L < ε Khi ta nói dãy {xn} hội tụ L viết: n →∞ x n → L n → ∞; hay x n → L ; hay lim xn = L n →∞ * Dãy không tồn giới hạn, tức dãy không hội tụ gọi dãy phân kỳ * Dãy có giới hạn vơ hạn ( ± ∞ ) gọi dãy có giới hạn vơ hạn Ký hiệu: x n → ±∞ n → ∞ hay lim x n = ±∞ n →∞ (−1)n =0 n →∞ 3n2 − VÍ DỤ Chứng minh lim Thật ∀ε > 0, (−1)n 1 1 −0 ( + 5) ⇔ n > ( + 5) 3n − 3n − ε ε ⎡ 1 ⎤ ( + 5) ⎥ + ⎣ ε ⎦ Như ta đặt n0 = ⎢ ta có ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ 10 : ∀ n > n0 x n − < ε TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN ( ) b) Khai triển hàm f x tuần hoàn với chu kỳ 2π ⎡⎣ 0,2π ⎤⎦ thành chuỗi Fourier f ( x ) = x tuần hồn với chu kỳ VÍ DỤ Khai triển hàm 2π [ 0,2π ] thành chuỗi Fourier BÀI GIẢI Trước hết ta nhận thấy hàm f ( x ) tuần hoàn với chu kỳ 2π thì: π a + 2π −π a ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx; với a số Và hệ số Fourier: a0 = an = bn = π π π 2π ∫π f ( x ) dx = π ∫ xdx = 2π − π 1 2π ∫π f ( x ) cos nxdx = π ∫ − π π 1 cos nπ x cos nxdx = πn n 2π =0 2π ∫π f ( x ) sin nxdx = π ∫ x.sin nxdx − 2π 1⎡ x = ⎢ − cos nx π ⎢⎣ n Vậy điểm x ≠ 2kπ ⎤ ⎥=− , n ⎥⎦ ∀n = 1,2,3, 185 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN sin nx ⎡ sin x sin x sin3 x ⎤ + + − + + ⎥ f ( x) = π − 2⎢ n ⎣ ⎦ Chú ý x = 2kπ tổng chuỗi là: f ( 2kπ ) = ⎡⎣ f ( 2kπ + ) + f ( 2kπ − ) ⎤⎦ = π ; ∀k ∈ ⎧0 neá u − π ≤ x < VÍ DỤ Khai triển hàm f ( x ) = ⎨ ⎩ x neá u ≤ x < π tuần hoàn với chu kỳ 2π [ 0,2π ] thành chuỗi Fourier BÀI GIẢI Trước hết ta nhận thấy hàm f ( x ) tuần hoàn với chu kỳ 2π hệ số Fourier: π π ⎤ π2 π 1⎡ = a0 = ∫ f ( x ) dx = ⎢ ∫ 0dx + ∫ xdx ⎥ = 2 π −π π ⎣ −π π ⎦ π π π ⎤ cos nx 1⎡ an = ∫ f ( x ) cos nxdx = ⎢ ∫ x cos nxdx ⎥ = n n π −π π ⎣0 π ⎦ = (−1)n − πn ( bn = π ) π π ∫π f ( x ) sin nxdx = π ∫ x.sin nxdx − π ⎤ 1⎡ x = ⎢ − cos nx + ∫ cos nxdx ⎥ n0 π ⎢⎣ n ⎥⎦ π 186 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM π n +1 1 , =− x cos nx = ( −1) n πn ∀n = 1,2,3, Vậy điểm x ≠ ( 2k + 1) π , k ∈ f ( x) = ⎤ cos ( 2n + 1) x π ⎡ cos x sin3 x cos5 x − ⎢ + + + + ⎥+ π ⎢⎣ 52 ( 2n + 1) ⎥⎦ ⎡ sin x sin x sin3 x ⎤ +⎢ − + + ⎥ ⎣ ⎦ Chú ý x = ( 2k + 1) π tổng chuỗi là: π f ( ±2π ) = ⎡⎣ f ( ±2π + ) + f ( ±2π − ) ⎤⎦ = ; ∀k ∈ 2 c) Khai triển hàm f(x) tuần hoàn với chu kỳ 2l thành chuỗi Fourier Chúng ta tìm cách đưa hàm số f ( x ) dạng hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π cách đổi biến số: x ' = π l x ⎛π ⎞ x ' ⎟ := F ( x ' ) ⎝l ⎠ Lúc hàm F ( x ' ) hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π thoả hàm f ( x ) = f ⎜ điều kiện hàm khai triển thành chuỗi Fourier, hệ số Fourier tính theo CT: 187 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM l a0 = ∫ f ( x ) dx; l −l BỘ MÔN TOÁN l nπ x an = ∫ f ( x ) cos dx; l −l l l nπ x bn = ∫ f ( x ) sin dx ∀n = 1,2,3, l −l l VÍ DỤ Khai triển hàm f ( x ) = x tuần hoàn với chu kỳ l = [ −1,1] thành chuỗi Fourier BÀI GIẢI Trước hết ta nhận thấy hàm f ( x ) = x tuần hoàn với chu kỳ l = Và hệ số Fourier: 1 a0 = ∫ f ( x ) dx = ∫ x dx = −1 ⎡1 ⎤ an = ∫ f ( x ) cos nπ xdx = ⎢ ∫ x cos nπ xdx ⎥ … −1 ⎣0 ⎦ ⎛ ⎞ = ⎜ (−1)n 2 ⎟ π n ⎠ ⎝ 1 bn = ∫ f ( x ) sin nπ xdx = ∫ x sin nπ xdx = −1 −1 Vậy ∀x ∈ f ( x) = 188 ⎡ cos2π x cos3π x cos nπ ⎤ − ⎢ cosπ x − + − (−1)n + ⎥ 2 π ⎣ n ⎦ TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOAÙN d) Khai triển hàm thành chuỗi Fourier Giả sử f ( x ) hàm xác định [a, b] thoả mãn giả thiết định lý Dirichle, muốn khai triển hàm f ( x ) thành chuỗi ta phải xây dựng hàm g ( x ) tuần hoàn với chu kỳ T ≥ b − a cho g ( x ) = f ( x ) , ∀x ∈ [ a, b ] Và g ( x ) khai triển thành chuỗi g ( x ) = ∞ ∑u ( x) n=0 n hàm f ( x ) khai triển thành chuỗi : ∞ f ( x ) = ∑ un ( x ); ∀x ∈ [ a, b ] trừ điểm mà n=0 f ( x ) gián đoạn VÍ DỤ Viết khai triển Fourier hm số ≤ x ≤1 ⎧ x, ⎪ f ( x) = ⎨1, 1< x < ⎪3 − x, ≤ x ≤ ⎩ BÀI GIẢI Gọi g hàm tuần hồn với chu kì T=3 cho g(x)=f(x) với x ∈ [0,3] Ta có hệ số Fourier g 3 2 g(x)dx = ∫ g(x)dx ∫ −3 30 a0 = 2 ⎤ 2⎡ = ∫ f (x)dx = ⎢ ∫ xdx + ∫ dx + ∫ (3 − x)dx ⎥ = 30 ⎣0 ⎦ 3 189 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 2nπx 2nπx a n = ∫ g(x) cos dx = ∫ g(x) cos dx −3 30 3 2nπx ⎛ 2nπ ⎞ − 1⎟; n = 1, 2,3 f (x) cos dx = 2 ⎜ cos ∫ 30 n π ⎝ ⎠ bn = (vì g hàm chẵn) = 2nπ cos 2nπx ( x ∈ R) ∑ n n =1 2nπ − cos ∞ cos 2nπx Vậy f ( x) = − ∑ ( x ∈ [0,3]) π n =1 n VÍ DỤ Khai triển f ( x ) = [ −π ,0] thành chuỗi sin BÀI GIẢI Mở rộng f ( x ) thành hàm F ( x ) hàm lẻ đoạn [ −π ,π ] Do g ( x) = − π ∞ − cos cho F ( x ) = f ( x ) đoạn [ −π ,0] Khi đó, F ( x ) khai triển thành chuỗi sin bn = π π 2π 2π 0 ∫ F ( x ) sin nxdx = π ∫ F ( x ) sin nxdx = π ∫ sin nxdx −π n chẵn ⎧0 ⎪ cos nx −π = ⎨ =− nπ neáu n leû ⎪⎩− nπ ⎧b2 n = ⎪ , n = 1,2,3,… Do đó, ⎨ = − b ⎪⎩ n−1 nπ 190 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN sin ( 2n − 1) x ( −π ≤ x ≤ π ) 2n − n =1 ∞ sin ( 2n − 1) x Vậy f ( x ) = = − ∑ ( −π ≤ x ≤ ) π n=1 2n − ⇒ F ( x) = − ∞ ∑ π VÍ DỤ Khai triển hàm f ( x ) = cos x thành chuỗi Fourier BÀI GIẢI y x − 3π −π π 3π O 2 2 Hàm số cho liên tục R, tuần hịan với chu kì π đơn điệu khúc bị chặn nên chuỗi Fourier hội tụ Ta tính hệ số Fourier: a0 = π π − ∫ π cos x dx = π π ∫ cos xdx = π π 2 a n = ∫ cos x cos 2nxdx π −π = π π ( −1) ∫0 cos x.cos 2nxdx = π 4n − (n = 1, 2,3, ) n +1 ⎡−π π ⎤ , ⎥ bn = (n = 1,2,3, ) f hàm số chẵn ⎢ ⎣ 2⎦ Vậy khai triển Fourier hàm số cho n +1 ∞ (− 1) f ( x) = + ∑ cos 2nx , ∀x ∈ R π π n =1 4n − 191 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN VÍ DỤ 10 Khai triển f ( x ) = x đoạn [ −3,0] thành chuỗi sin BÀI GIẢI Ta mở rộng f ( x ) thành hàm F ( x ) hàm lẻ đoạn [ −3,3] cho F ( x ) = f ( x ) đoạn [ −3,0] F ( x ) khai triển thành chuỗi sin Khi đó, 1l nπ 13 nπ bn = ∫ F ( x ) sin xdx = ∫ F ( x ) sin xdx 3 −3 l −l 20 nπ = ∫ x sin xdx −3 ⎧u = x ⎧du = dx ⎪ ⎪ Đặt ⎨ ⇒ ⎨ nπ nπ ⎪⎩dv = sin x ⎪⎩v = − nπ cos x 0 ⎤ ⎡ 3x nπ nπ cos cos bn = ⎢ − x +∫ xdx ⎥ ⇒ ⎢⎣ nπ −3 −3 nπ ⎥⎦ 2⎡ 9 ⎤ cos nπ + 2 sin nπ ⎥ = ⎢− ⎣ nπ nπ ⎦ ⎧ n chẵn ⎪⎪− nπ =⎨ ⎪ n lẻ ⎪⎩ nπ Vậy x = ∞ ∑ ( −1) π n =1 192 n +1 nπ sin x n = ( −1) n +1 nπ ( −3 ≤ x ≤ ) BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BÀI TẬP CHƯƠNG V 5.1 Tính tổng chuỗi số sau: (nếu có) ∞ a) ∑ n= ( n − 3)( n + 1) ∞ ∑ n ( n + 1) b) n= Hướng dẫn Chuỗi số có tổng hội tụ Phương pháp tính tổng chuỗi thường dùng dùng định nghĩa, tính tổng riêng thứ n Sn sau tổng S = lim Sn n→∞ 5.2 Xét hội tụ chuỗi số sau: ∞ ∞ 1 a) b) ∑ ∑ n n n=1 n =1 n − π ∞ c) ∑ n.sin 2n ∞ n=1 n=1 ∞ e) ∑ sin n n=1 g) n n ∞ ( n!) n=0 2n ∑ 2 ∞ f) ⎛ 1⎞ 1+ ⎟ n ⎜ ⎝ n⎠ ∑2 d) n2 2n ∑3 n=1 n n (n + 1)! h) ∑ ( 3n )! n =1 ∞ 193 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Hướng dẫn 1) Trước hết kiểm tra điều kiện cần: Nếu lim un ≠ kết luận chuỗi phân kỳ n→∞ Nếu lim un = chưa có kết luận phải xét tiếp n→∞ 2) Trước hết phải xét xem chuỗi cho chuỗi DƯƠNG, hay ĐAN DẤU, hay DẤU BẤT KỲ 3) * Nếu chuỗi Dương (có PP): theo ĐN, theo tiêu chuẩn Cauchy, đặc biệt theo dấu hiệu so sánh 1, so sánh 2, D’lambert, Cauchy, Tích phân * Nếu chuỗi Đan dấu có 3PP: theo ĐN, theo tiêu chuẩn Cauchy, đặc biệt theo dấu hiệu Leibnitz * Nếu chuỗi đan dấu chuỗi có dấu đưa chuỗi số dương cách xét chuỗi trị tuyệt đối ∞ ∑u n =1 5.3 n ∞ → ∑ un chuỗ i dương n =1 Sử dụng Dấu hiệu Leibnitz để xét hội tụ chuỗi sau n +1 a) ∑ ( −1) 2n2 − n =1 ∞ n c) ∑ ( −1) ( n + 1) ln n n =1 ∞ n ∞ b) ∑ ( −1) n +1 n =1 ∞ d) ∑ n=0 ( −1) ⎛ n ⎞ ⎜ n +1⎟ ⎝ ⎠ n n 3n 5.4 Tìm bán kính hội tụ, sau tìm miền hội tụ chuỗi luỹ thừa sau: ∞ a) ∑ ( −1) n =1 194 n −1 x2n n ( n − 1) ∞ b) ∑ n =1 ( x + 5) n2 n 2n BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM ∞ ∑ c) n=1 ( 5x ) n ∞ ∑ d) n! 2n n x − ( ) ∑ n =1 n + ∞ h) ( −1) n 2n + n x ∑ n =1 n + ( −1) n ∑ n =1 ∑ n =1 ∞ n) ∑ n =1 5.5 a) n xn j) ∑ n n =1 ( n + ) ∞ q) n xn ∑ n n =1 n ∞ k) n3 − n −1 n =1 ∞ i) ( −1) x ∑ ( 2n − 1) ∞ n xn n n=1 g) ∑ ( x − ) tg n n =1 ∞ ∑ ( −1) f) n nn n =1 ∞ e) ( x + 2) ∞ xn 2n + ∞ p) xn 5n + ∞ m) ( −1) ( x + 1) n n ∑ n =1 ∞ s) n +2 ( x + 5) n 2n 2n + ∑ 3n + x n n =1 Khai triển hàm số sau thành chuỗi luỹ thừa: f ( x ) = sin x ( ) f ( x ) = ln ( x b) f x = e cos x x c) − 5x + ) 195 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 5.6 Biết hàm số sau tuần hồn với chu kì 2π , khai triển thành chuỗi Fourier , ⎧π a) f ( x) = ⎨ ⎩π − x, −π < x < 0≤ x ≤π b) f ( x) = x , ≤ x < 2π 5.7 Khai triển hàm số sau thành chuỗi Fourier a ) f ( x) = x − x2 [0,2] ⎧1 , b) f ( x ) = ⎨ ⎩x , −1 < x < ≤ x ≤1 f ( x + 2) = f ( x ) , x∈R 5.8 a) Khai triển f ( x) = x(π − x ), < x < π thành chuỗi Fourier theo sin , < x ≤1 ⎧x b) Khai triển f ( x) = ⎨ thành chuỗi ⎩2 − x , < x ≤ Fourier theo cos 5.9 Tìm khai triển thành chuỗi Fourier hàm số f ( x ) = cos Đáp số: 196 x khoảng ( −π , π ) ( −1) f ( x) ∼ + ∑ cos nx π π n=1 ( 2n − 1)( 2n + 1) ∞ n +1 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 5.10 Tìm khai triển thành chuỗi Fourier hàm số , −1 ≤ x < ⎧ khoảng ( −1,1) f ( x) = ⎨ ⎩1 − x , < x ≤ Đáp số: 1 ∞ ⎡ n f ( x ) ∼ + ∑ − ( −1) cos nπ x + nπ sin nπ x ⎤ ⎦ π n=1 n ⎣ ( ) π ⎧ ,0≤ x< ⎪⎪ x 5.11 Cho hàm số f ( x ) = ⎨ ⎪π − x , π < x ≤ π ⎪⎩ Hãy tìm chuỗi cosin hàm số miền xác định Đáp số: f ( x ) ∼ π − ∞ ∑ π ( 2n − 1) n =1 cos ( 2n − 1) x 5.12 Cho hàm số f ( x ) = π − x a) Tìm khai triển Fourier f ( x ) khoảng ( −π , π ) b) Tìm chuỗi cosin f ( x ) đoạn [ 0, π ] c) Tìm chuỗi sin f ( x ) nửa khoảng ( 0, π ] 197 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN ĐỀ THI THAM KHẢO ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Mơn thi: Tốn Cao Cấp A1 (khối kỹ thuật) Thời gian: 90 phút (Sinh viên không sử dụng tài liệu) Câu (2,0 điểm) Định m để hàm số ⎧ex-3 − 2x + , x ≠ ⎪ f (x) = ⎨ x -3 ⎪m , x = ⎩ liên tục điểm x = Câu (2,0 điểm) Tìm khai triển Maclaurin hàm f ( x ) = x ( e x − e − x ) đến số hạng x Câu3 (2,0điểm) Xét hội tụ tích phân +∞ I= ∫e −x cos x dx Câu (2,0 điểm) Tìm cực trị hàm số sau z = x − xy + y + x − y + Câu (2,0 điểm) Tìm miền hội tụ chuỗi luỹ thừa ∞ ∑ n =1 198 ( x + 5) n2 n 2n TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TÀI LIỆU THAM KHẢO Toán cao cấp -chủ biên PGS TS Lê Văn Hốt Trường đại học Kinh tế TP HCM 2.Hướng dẫn giải tập Toán cao cấp chủ biên PGS TS Lê Văn Hốt Trường đại học Kinh tế TP HCM Tốn cao cấp cho nhà kinh tế -Lê Đình Thúy Trường đại học Kinh tế quốc dân Hà nội Tốn cao cấp tập -chủ biên Nguyễn Đình Trí Bài tập Tốn cao cấp tập -chủ biên Nguyễn Đình Trí 199 ... f(x)=acos(x) π π/2 x -3 π/2 -? ? π/2 -? ?/2 π 3π/2 -? ?/2 -? ? -3 π/2 3π/2 y f(x)=sin(x) f(x)=x f(x)=asin(x) π π/2 x -3 π/2 -? ? π/2 -? ?/2 π 3π/2 -? ?/2 -? ? -3 π/2 21 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Các phép... Trưởng mơn TỐN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM Địa minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN PHẦN GIẢI TÍCH TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT... Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy mơn Tốn trường, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Cơng Nghệ Thơng Tin TPHCM tổ chức biên soạn ấn hành TOÁN CAO CẤP dành cho sinh viên khối ngành kỹ thuật Cuốn