Phần 1 của giáo trình Toán cao cấp 1 giới thiệu các kiến thức về phép tính giải tích hàm một biến. Phần này được trình bày tương đối sâu, hoàn thiện và đầy đủ các nội dung như giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHIỆP QUẢNG NINH TS NGUYỄN ĐỨC TÍNH (Chủ biên) ThS NGUYỄN THANH HUYỀN, Ths NGUYỄN DUY PHAN GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP DÀNH CHO BẬC ĐẠI HỌC (Lưu hành nội bộ) QUẢNG NINH, NĂM 2017 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình Tốn Cao Cấp 1, bậc Đại học biên soạn dành cho đối tượng sinh viên, giảng viên bậc đại học, cao đẳng trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh Giáo trình biên soạn theo nội dung đề cương chi tiết mơn Tốn Cao Cấp 1, bậc Đại học nhà trường Cuốn giáo trình biên soạn với mục đích cung cấp cho sinh viên tài liệu sát với đề cương mơn học, có nhiều dạng tập phong phú đáp ứng yêu cầu môn học chuyên ngành Cấu trúc giáo trình gồm chương Mỗi chương trình bày phần lý thuyết, tập, ví dụ phong phú phần tập luyện tập cuối chương Phần lý thuyết trình bày chi tiết giúp người đọc hiểu sâu vấn đề để áp dụng làm tập Phần tập ví dụ minh họa phong phú, đa dạng Cuối chương có tập luyện tập Chương giới thiệu kiến thức phép tính giải tích hàm biến Phần trình bày tương đối sâu, hồn thiện đầy đủ nội dung giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân, tích phân, chuỗi Chương trình bày kiến thức phép tính giải tích hàm nhiều biến giới hạn, tính liên tục, đạo hàm, vi phân cực trị tự hàm nhiều biến Chương trình bày phép tính tích phân bội, bao gồm định nghĩa, tính chất, phương pháp tính ứng dụng tích phân hai lớp tích phân ba lớp Chương trình bày kiến thức tích phân đường loại tích phân đường loại 2, bao gồm định nghĩa, tính chất, cách tính tích phân mối liên hệ hai loại tích phân đường loại loại Để sử dụng giáo trình hiệu quả, người đọc cần đọc kĩ tất nội dung lý thuyết theo trình tự, cấu trúc giáo trình để hiểu vấn đề trình bày giáo trình cách lơgic, đọc tập, ví dụ minh họa làm tập phần luyện tập cuối chương Trong q trình biên soạn, chúng tơi nhận giúp đỡ quý báu nhiều đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, phòng Khoa học Công nghệ Hợp tác Quốc tế đội ngũ giảng viên khoa Khoa học Cơ trường Đại học Công nghiệp Quảng Ninh tạo điều kiện thuận lợi cho giáo trình hồn thiện Mặc dù có nhiều cố gắng từ nhóm tác giả biên soạn, song giáo trình khơng tránh khỏi hạn chế Nhóm tác giả mong nhận đóng góp ý kiến từ phía bạn đọc để giáo trình hoàn thiện Chủ biên tác giả Chương PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ 1.1 Hàm số 1.1.1 Định nghĩa ánh xạ hàm số 1.1.1.1 Ánh xạ a Định nghĩa Ánh xạ từ tập E khác rỗng tới tập F qui luật f liên hệ E F cho tác động vào phần tử x E tạo phần tử y F Ký hiệu f : E F x y f ( x) E gọi tập nguồn, F gọi tập đích, y gọi ảnh x; x gọi nghịch ảnh y qua ánh xạ f f x y F E Hình 1-1 Như để có ánh xạ phải có tập nguồn E, tập đích F, quy luật xác định f , quy tắc thỏa mãn điều kiện: ứng với x E tồn y F cho y f ( x) Ví dụ E tập hợp thương hiệu xe tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’, ‘Mercedes’}, F tập hợp tên số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’, ‘Hoa Kì’, ,’Anh’}, f quy luật cho tương ứng thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe Rõ ràng quy luật thỏa mãn tính tồn tại, (mỗi hãng xe thuộc tập E có tên nước xuất xứ tương ứng tập F) Khi ta có ánh xạ f từ E đến F, ta viết f(‘Lexus’) =‘Nhật Bản’, f(‘Ford’) =‘Hoa Kì’, f(‘Mercedes’) =‘Đức’ Tập hợp f(E)={ y F | x E, y = f(x)} gọi ảnh E qua ánh xạ f Ánh xạ f : E F gọi đơn ánh f(x1) = f(x2) x1= x2 , tức không tồn phần tử F có nghịch ảnh x1 y x2 Hình 1-2 Đơn ánh Ánh xạ f : E F gọi toàn ánh yF, xE: y = f(x); tức phần tử F có nghịch ảnh Hình 1-3a Ánh xạ tồn ánh Hình 1-3b Ánh xạ khơng tồn ánh Ánh xạ f : E F gọi song ánh f toàn ánh đơn ánh Tức phần tử F có nghịch ảnh nghịch ảnh Hình 1-4 Song ánh Ánh xạ f ví dụ thực tế vừa nêu đơn ánh khơng tồn ánh, không song ánh b Ánh xạ ngược Cho ánh xạ f :E F song ánh Khi phần tử y = f(x) với y thuộc x y f ( x) F ảnh phần tử x E Như vậy, đặt tương ứng phần tử y F với phần tử x E Phép tương ứng xác định ánh xạ từ F sang E, ánh xạ gọi ánh xạ ngược ánh xạ f g:F E y x g ( y) Ta gọi ánh xạ với đặc điểm x g ( y ) y f ( x) , ánh xạ ngược ánh xạ f Tuy nhiên, ta thường kí hiệu phần tử ảnh y, nghịch ảnh x, hàm số viết g:F E x y g ( x) Ánh xạ ngược g ánh xạ f thường kí hiệu g=f-1 Trở lại ví dụ thực tế trên, E tập hợp thương hiệu xe tiếng, E={‘Lexus’, ‘Ford’, ‘Mercedes’}, F tập hợp tên số nước, F={‘Đức’ ,‘Nhật Bản’, ‘Hoa Kì’}, f quy luật cho tương ứng thương hiệu xe với tên nước nơi sản xuất xe Khi ta có song ánh f từ E đến F Ta viết f-1(‘Nhật Bản’) =‘ Lexus’, f-1(‘Hoa Kì’) =‘ Ford’, f-1(‘Đức’) =‘ Mercedes’ Khi tập nguồn tập đích tập số, ta có khái niệm hàm số Hàm số trường hợp đặc biệt ánh xạ 1.1.1.2 Hàm số a Định nghĩa Cho E R; F R; E ; F ; Một ánh xạ f từ E vào F, f :E→F gọi hàm số (thực) biến số (thực) Ký hiệu : f : E→F xf(x) X gọi tập xác định f, ký hiệu Df f(X)= f(x), x X gọi tập giá trị f ; ký hiệu Rf x gọi đối số biến số độc lập, f(x) gọi hàm số biến số phụ thuộc Đôi người ta ký hiệu hàm số ngắn gọn x f(x) y = f(x) Trong chương trình mơn Tốn bậc Trung học phổ thông Việt Nam : Nếu E, F tập tập số thực hàm số gọi hàm số thực, E, F tập tập số phức hàm số gọi hàm số biến số phức, X tập tập số tự nhiên hàm số gọi hàm số số học(Ví dụ: Hàm Euler n (phi hàm Euler) biểu diễn số số tự nhiên không vượt n nguyên tố với n, hàm Sigma σ(n) biểu diễn tổng tất ước số tự nhiên n Trong chương trình, ta nghiên cứu sâu khái niệm hàm số thực Ví dụ 1) y=x hàm đồng thường ký hiệu id(x) 2) y=c; c lµ số; gọi hm hng số 3) y=E(x) (hoặc y=[x]), với E(x) số nguyên lớn không v-ợt x, gọi hm phn nguyờn, vy [2,13]=2, [-2,13]=-3 4) y = 2x2+x+1 lµ hµm sè bËc 1 5) y = sgn(x) víi sgn(x) = 0 1 x0 x0 x0 gäi lµ hµm sè dấu x (đọc xicnum) nu x l số vô tỉ 1 x số hữu tỉ 6) y = D(x) víi D(x) = gäi lµ hµm sè Dirichlet Có bốn cách biểu thị hàm số : công thức, bảng, đồ thị lời Nếu hàm số biểu thị nhiều cách ta hiểu rõ Ta thường gặp hàm số biểu thị cơng thức y=f(x) từ xác định đồ thị nó, đồ thị hàm số định nghĩa sau: b Đồ thị hàm số Đồ thị hàm số y=f(x) tập hợp điểm mặt phẳng có toạ độ (x; f(x)) , với x Df 1.1.2 Một số lớp hàm số đặc biệt hàm số sơ cấp 1.1.2.1 Một số lớp hàm số có tính chất đặc biệt a Hàm số chẵn, lẻ Hàm y = f(x) xác định Df hàm chẵn nếu: ) x D f x D f ) f ( x) f ( x), x D f Hàm y = f(x) xác định Df hàm lẻ ) x D f x D f ) f ( x) f ( x), x D f Hàm chẵn Hàm lẻ Hình 1-5 b Hàm tuần hoàn Cho hàm số y = f(x) xác định X gọi hàm tuần hoàn X tồn t >0 cho với x X x + t X f (x + t) = f(x) Nếu có số dương T nhỏ số t xác định T gọi chu kỳ hàm số tuần hồn f(x) Ví dụ hàm y=sinx, y=cosx tuần hồn với chu kì T= 2π Hàm y = sin3x tuần hồn với chu kỳ T= 2π/3 Hàm Dirichlet D(x) hàm tuần hồn khơng có chu kỳ Hình 1-6 Đồ thị hàm tuần hoàn y = sin3x [ ; ] c Hàm số đơn điệu Hàm y=f(x) gọi hàm tăng X với x1 , x2 X , x1 x2 f(x1) f(x2) Hàm y=f(x) gọi tăng ngặt X với x1 , x2 X , x1< x2 f(x1) < f(x2) Hàm y=f(x) gọi hàm giảm X với x1 , x2 X , x1 x2 f(x1) f(x2) Hàm y=f(x) gọi giảm ngặt X với x1 , x2 X , x1 f(x2) Hàm tăng giảm gọi hàm đơn điệu; Hàm tăng ngặt giảm ngặt gọi hàm đơn điệu ngặt d Hàm số bị chặn Hµm sè f(x) gäi bị chặn X tồn số B cho víi mäi x X, f(x) B Hàm số f(x) gọi bị chặn d-ới X nÕu tån t¹i sè A cho víi mäi x X, f(x) A Hµm sè f(x) gäi bị chặn X tồn số A, B cho víi mäi x X, A f(x) B e Hàm sè hợp Cho ¸nh x¹ f : X Y ; g: Y R Ta gọi ánh xạ h : X R x hợp hàm f g, ký hiệu h = g f y g ( f ( x)) hàm Ví dụ, hàm số h(x) = sin (x2+1) hàm số hợp g(f(x)), g(t) = sin(t), f(x) = (x2 +1) Việc nhận biết hàm số hàm hợp hàm khác, nhiều trường hợp khiến tính tốn giải tích (đạo hàm, vi phân, tích phân) trở nên đơn giản f Hàm ngược Cho song ¸nh f : X Y ; X, Y R Ánh xạ ngược f-1 : Y X y x f 1 ( y) gọi hàm ngược f, ký hiệu y = f-1 (x) Nếu f−1(x) tồn ta nói hàm số f(x) khả nghịch Có thể nói tính chất song ánh điều kiện cần đủ để hàm f(x) khả nghịch, tức f(x) song ánh ta ln tìm hàm ngược f−1(x) Ví dụ Cho hàm f : R \ 2 R \ 0 x Ta có y y 2 x 1 x Hàm ngược hàm số hàm 2 x y f-1 : R\{0} R \ 2 y x 1 2 y Tuy nhiên, ta thường kí hiệu biến số x, hàm số y, viết hàm ngược là: f-1 : R\{0} R \ 2 x y x Đồ thị hai hàm số y = f(x) y = f-1(x) mặt phẳng Oxy đối xứng qua đ-ờng phân giác góc phần t- thứ I th III Hỡnh 1-7 Đồ thị hàm y 1 y hệ tọa độ 2 x x 3) Ta có: C lim n un lim n 4) Ta có n , suy chuỗi cho hội tụ ln n cos( n ) , mà chuỗi số n n n n 1 hội tụ (Chuỗi Riemann), chuỗi số cho hội tụ tuyệt đối ln n dương n 5) +Ta cã dãy số Hàm số f(x)= ln x ln x có f ' ( x) e x x2 Suy f,(x) < với x3 ln n đơn điệu giảm,n n2 n Do dãy số ln n = n n Mặt khác lim Theo tiêu chuẩn Lepnitz chuỗi số cho hội tụ phân kỳ vì: (1)n1 ln n = n ln n Theo dÊu hiƯu tÝch ph©n, dễ thÊy chuỗi số n2 n2 n ln x dx ln x d (ln x ) ln x 2 x 2 2 + Xét chuỗi số Vậy chuỗi số cho bán hội tụ 6) Theo tiêu chuẩn Lepnitz chuỗi số (1) n 1 n 1 Xét chuỗi (1)n1 n 1 2n 1 tøc lµ chuỗi 2n hội tụ 2n 1 2n , ta có n 1 , n Theo tiêu chuẩn so s¸nh 2, chuỗi số cho phân kỳ 2n Vậy chuỗi số cho bán hội tụ 1.6 Chuỗi hàm số 1.6.1 Chuỗi hàm số hội tụ 1.6.1.1 Định nghĩa chuỗi hàm số Chuỗi hàm số chuỗi có dạng: u ( x) = u1(x) + u2(x) +…+ un(x) + … n 1 n Trong un(x) hàm số x, xác định X 92 (1.6.1) ln n n2 n Sn(x) = n u k 1 k ( x ) tổng riêng thứ n chuỗi §iểm x0 X gọi điểm hội tụ chuỗi hàm số u ( x) n 1 hội tụ Tập hợp điểm hội tụ chuỗi u ( x) n 1 u ( x) phân kỳ chuỗi hàm số n 1 phân kỳ chuỗi n chuỗi số u (x ) n 1 n gọi tập hội tụ cña Tổng n chuỗi hàm số hàm số xác định tập hội tụ chuỗi số n §iểm x0 X gọi điểm u ( x ) phân kỳ Tập hợp điểm n 1 n u ( x) gọi tập phân kỳ cđa n 1 n 1.6.1.2 Chuỗi hàm số hội tụ, hội tụ a Định nghĩa Định nghĩa 1.6.1.1 Ta nói chuỗi hàm số (1.6.1) hội tụ hàm số S(x) tập D lim S n ( x) = S(x), n với x D , S(x) gäi hàm tổng (điểm )của chuỗi hàm (1.6.1) Định nghĩa 1.6.1.2 Chuỗi hàm số (1.6.1) gọi hội tụ miền D với ε > bé tùy ý ln tìm n0 ( ) >0 ( n0 ( ) phụ thuộc vào ) cho n > n0 ( ) ta có S x – Sn x < ε, x D b Định lý (Tiêu chuẩn hội tụ Vây strát (Weierstrass) Giả sử chuỗi hàm số un ( x) xác định miền D, n 1 tụ Nếu un ( x) n , với x D, n N * n 1 n chuỗi số dương hội u ( x) hội tụ tuyệt đối D n 1 n c Các tính chất chuỗi hội tụ Tính chất Cho chuỗi hàm số u ( x) Nếu số hạng u ( x) n n n liên tục khoảng I, chuỗi hàm số hội tụ I tổng liên tơc trªn I Hơn nữa, x0 I ta có n 1 n 1 lim un ( x) l im un ( x) x x0 x x0 Nhận xét: Cho chuỗi hàm số un ( x) , un(x) liên tục I Nếu n 1 u ( x) hội tụ I n 1 n tổng S(x) hàm số liên tục I Còn hàm số un(x) liên tục chuỗi hàm số 93 u ( x) n 1 hội tụ tới hàm số gián đoạn I chuỗi hàm số n u ( x) n 1 n khơng hội tụ I Tính chất Cho chuỗi hàm số u ( x) Nếu số hạng u ( x) liên tục đoạn [a,b], n n n chuỗi hàm số hội tụ đến hàm S(x) [a,b] b b b S ( x ) dx u ( x ) dx n a a un ( x)dx n 1 n a Tớnh cht Cho chuỗi hàm số u ( x) héi tơ trªn (a, b) tới S(x) Các số hạng n n với đạo hàm chúng (a, b) Khi chuỗi hàm số un ( x) liên tục u ( x) hội tụ n ' n (a, b) tổng S(x) khả vi (a, b) vµ n 1 n 1 S ' ( x) ( u ( x))' un' ( x) 1.6.2 Chuỗi lũy thừa 1.6.2.1 Định nghĩa Chuỗi hàm số lũy thừa t©m x0 chuỗi hàm có dạng: c (x x ) n0 n n = c0 + c1(x-x0) +… + cn (x-x0)n + Để đơn giản, ta th-ờng xột chuỗi ly thừa t©m 0: a x n 0 n n a0 a1 x an x n (1.6.2) Nhận xét Cho chuỗi lũy thừa tâm x0 tùy ý, phép đổi biến số X x x0 , ta chuyển chuỗi lũy thừa cho chuỗi lũy thừa tâm 0: a X n 0 n n a0 a1 X an X n 1.6.2.2 Miền hội tụ cña chuỗi lũy thừa a Định lí A ben (Abel) Nếu chuỗi lũy thừa a x n 1 n n hội tụ điểm x hội tụ tuyệt đối giá trị x thỏa mãn x < x1 b HƯ qu¶ Nếu chuỗi lũy thừa a x n 1 n n ph©n kì ti im x thỡ nú phân kì ti giá trị x thoả mãn x > x2 94 c Bán kính hội tụ Từ Định lý Abel hệ suy tồn số R (R ) cho chuỗi luỹ thừa (1.6.2) hội tụ tuyệt đối khoảng (-R, R) phân kỳ khoảng (-; R) thừa cách ( R; +) Tại điểm x = -R x = R, chuỗi hội tụ, phân kỳ Số R gọi bán kính hội tụ, khoảng (- R, R) gọi khoảng hội tụ chuỗi luỹ thừa d Chú thích Cho chuỗi lũy thừa a x n 1 Giả sử chuỗi lũy thừa n n a x n 1 n n n 1 hội tụ x R a R n n n n 1 a R n có khoảng hội tụ (- R; R) có tổng S ( x ) Nếu chuỗi n n n 1 a x hội tụ x=0 lim S ( x) , chuỗi xR a x n 1 n n hội tụ x R lim S ( x) x R e Quy tắc tìm bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa Cho chuỗi lũy thừa a x n n n 1 Nếu lim an1 ( lim an n n n a n ) bán kính hội tụ R chuỗi luỹ thừa xác định R= 0 Chú ý Muốn tìm miền hội tụ chuỗi a x n 1 n n , ta tìm khoảng hội tụ (-R;R), sau xét hội tụ điểm đầu mút x R , từ kết luận tập hội tụ Áp dụng kết trên, phép đổi biến số X x x0 , ta suy khoảng hội tụ chuỗi lũy thừa a (x x ) n 1 n n ( R x0 ; R x0 ) , R xác định theo cơng thức Để tìm tập hội tụ chuỗi, ta xét hội tụ hai đầu mút R x0 , R x0 , từ kết luận tập hội tụ chuỗi a (x x ) n 1 n n Ví dụ Tìm miền hội tụ chuỗi hàm số : 1) 1 n 1 n xn n 2) n 0 xn n! 95 Giải 1) Ta có ρ = lim n an 1 n = lim = 1, vËy R = 1, khoảng hội tụ 1;1 n an n Ta xét hội tụ x = ± Tại điểm x = -1 ta cã chuỗi điều hòa n chuỗi phân kỳ n 1 (1)n chuỗi số hội tụ n n 1 Tại điểm x = ta cã chuỗi xn Vậy tập hội tụ chuỗi 1 (-1; 1] n n 1 2) = lim n n a n 1 n! = lim =0 n ( n 1)! an R = +∞ Tập hội tụ tập số thực R Ví dụ Tìm tập hội tụ chuỗi hàm số: n 1) (1 )n x n n 1 2) ( x 2)n 3n n 1 Giải n 1) an (1 ) n , lim n an 1, R 1, khoảng hội tụ (-1;1) n Tại x=1, ta có chuỗi (1 n ) n n 1 Tại x=-1, ta có chuỗi (1 n ) n 1 n n phân kì lim(1 ) n e n ( 1) n phân kì lim (1 ) n (1) n e n n Vậy tập hội tụ chuỗi hàm cho (-1;1) 2) Đặt X x , ta tìm tập hội tụ chuỗi Ta có: lim n Xn n n 1 an1 3n lim( n1 ) R , chuỗi n an Tại X=-3, ta có chuỗi số (1) n n 1 Tại X=3, ta có chuỗi số 1 n n 1 96 Xn có khoảng hội tụ (-3; 3) n n 1 Xn (3;3) , tức n n 1 Hai chuỗi số phân kì Vậy tập hội tụ chuỗi Xn n n 1 hội tụ 3 X Từ ta có chuỗi ( x 2)n hội tụ 3 x , tập hội tụ chuỗi 3n n 1 ( x 2)n (-1;5) 3n n 1 Ví dụ Tim miền hội tụ chuỗi hàm số: 1) x n 1 2n n 1 n 2) x n ( n 1) n! n 0 Giải: x2 x n 1 x2 n 1) n = x. ( ) Đặt X= , ta xét chuỗi 2 k 1 n k 1 n Chuỗi n n 1 X n hội tụ 1 X Mặt khác X= tụ X 1, chuỗi hội tụ chuỗi n 1n 2) lim x n n 1! hội tụ n 1 Xn x2 , suy chuỗi n n 1 X n hội x , tức x Vậy tập 2 n 1 xn = lim = n n n 1 n n! x 1 x [ 2; 2] 2n n n 1 x 2k k k 1 k 1 n 0 x x Vậy tập hội tụ chuỗi [-1;1] 1.6.2.3 Các tính chất chuỗi luỹ thừa Tính chất Chuỗi luỹ thừa a n0 n x n hội tụ đoạn [a,b] nằm khoảng hội tụ Tính chất Tổng chuỗi luỹ thừa a n0 n x n hàm liên tục khoảng hội tụ Tính chất Có thể lấy tích phân số hạng chuỗi luỹ thừa a n 0 nằm khoảng hội tụ nó: Đặc biệt ta có x (-R, R) 97 n x n đoạn [a,b] x ( a x n 0 n n )dx a0 x a a1 a2 x x n x n1 n 1 chuỗi có khoảng hội tụ (- R, R ) Sự hội tụ phân kì chuỗi chuỗi a n 0 n xn x=- R x= R khác Tính chất Có thể lấy đạo hàm số hạng chuỗi luỹ thừa a n 0 n x n điểm nằm khoảng hội tụ nó: ( an x n )' a1 2a2 x 3a3 x nan x n 1 n 0 Chuỗi có khoảng hội tụ (- R, R ) Sự hội tụ phân kì chuỗi chuỗi a n 0 n xn x=- R x= R khác Ví dụ ta có khai triển Maclaurin hàm số ln(1 x) ( 1,1) ln(1 x) x n x x3 n 1 x 1 n (1 x 1) Lấy đạo hàm số hạng chuỗi ta có: n x ' x3 ' n 1 x (ln(1 x) ) ( x) ( ) ( ) 1 ( ) ' n x x x3 (1) n 1.x n 1 x 1 ' ' ( 1 x 1) (1 x 1) Lấy tích phân số hạng chuỗi ta có: x x x x x x2 x3 xn n 1 ln(1 x ) dx xdx dx dx 0 0 0 0 0 n dx x ln(1 x) x ln(1 x) x x3 x n 1 (1) n 1 n(n 1) (1 x 1) 1.6.2.4 Khai triển hàm số thành chuỗi luỹ thừa a Chuỗi Taylor chuỗi Mac Laurin Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp lân cận điểm x0 biểu diễn dạng tổng chuỗi luỹ thừa lân cận ấy, tức là: f ( x) a0 a1 ( x x0 ) a2 ( x x0 ) an ( x x0 ) n a0 , a1 , a2 ,an , số Theo tính chất chuỗi luỹ thừa ta có: f ' ( x) a1 2a ( x x0 ) na n ( x x0 ) n 1 f '' ( x) 2a 3.2.a3 ( x x0 ) n.(n 1)a n ( x x0 ) n 2 98 Bằng quy nạp ta chứng minh f ( n ) ( x) n !an an f ( n ) ( x) n! Thế x = x0 vào đẳng thức trên, ta có: a0 f ( x0 ) ; a1 f ' ( x0 ) ; a2 f '' ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ;; an ; 2! n! Vậy: f ( x) f ( x ) f ' ( x0 ) f '' ( x ) f ( n) ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n 1! 2! n! (1.6.3) Chuỗi luỹ thừa vế phải (1.6.3) gọi chuỗi Taylor hàm f(x) lân cận điểm x0 + Nếu x0 = ta có: f ( x) f (0) f ' (0) f '' (o) f ( n ) (0) n x x x 1! 2! n! (1.6.4) Chuỗi luỹ thừa vế phải (1.6.1) gọi chuỗi Mac Laurin hàm số f(x) Vậy hàm số f(x) có đạo hàm cấp biểu diễn dạng tổng chuỗi luỹ thừa lân cận điểm x0 chuỗi luỹ thừa chuỗi Taylor hàm số Nếu chuỗi Taylo hàm số f(x) hội tụ có tổng f(x), ta nói f(x) khai triển thành chuỗi Taylor viết f ' ( x0 ) f '' ( x ) f ( n) ( x0 ) f ( x) f ( x ) ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n 1! 2! n! Hay f ( x) n 0 f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n! Các định lý sau cho ta điều kiện đủ để f(x) khai triển chuỗi Taylor Định lý 1.6.1 Giả sử lân cận điểm x0 hàm số f(x) có đạo hàm cấp Nếu lim Rn ( x) , Rn ( x) n f ( n1) ( x) ( x x0 )n1 , x điểm nằm x0 , x (n 1) khai triển hàm số f(x) thành chuỗi Taylor lân cận Chứng minh Thật vậy, theo cơng thức Taylor hữu hạn ta có f ( x0 ) f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) , 1! 2! n! ( n 1) f ( x) Rn ( x) ( x x0 )n1 (n 1) f ( x) f ( x0 ) f ' ( x0 ) f '' ( x ) f ( n) ( x0 ) Vậy lim Rn ( x) f ( x) f ( x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n n 1! 2! Định lý 1.6.2 99 n! Nếu lân cận điểm x0 ,hàm số f(x) có đạo hàm cấp, trị tuyệt đối đạo hàm bị chặn số lân cận ấy, khai triển , f(x) thành chuỗi Taylor Định lý 1.6.2 hệ định lý 1.6.1 Chú thích Trong tồn giáo trình, ví dụ khai triển hàm số f ( x) thành chuỗi Taylor, ta bỏ qua phần chứng minh hàm số f ( x) khai triển thành chuỗi Taylor nó, kết chứng minh hàm số f ( x) khai triển thành chuỗi Taylor cơng nhận Ví dụ Khai triển hàm số y = 2x thành chuỗi lũy thừa lân cận điểm x=3 Giải Ta có: y = 2x; y(3) = 23 y/ = 2xln2 y/(3) =23 ln2 y// = 2xln22 y//(3) = 23ln22 y/// = 2xln32 y///(3) = 23ln32 Bằng ph-ơng pháp quy nạp dễ chứng minh đ-ợc y(n) = 2xlnn2 y(n)(3) = 23lnn2 Do đó: 2x= 23 ( + x ln2 + x2 xn ln +…+ lnn2+ ) 2! n! b Khai triển số hàm sơ cấp thành chuỗi Mac Laurin x x2 xn ex 1 1! 2! n! x sin x x x3 x5 x n1 (1) n 1 3! 5! (2n 1)! cos x x2 x4 x 2n (1) n 2! 4! (2n)! ln( x) x arctgx x x x x2 x3 x4 xn (1) n n -1