Giáo trình Toán cao cấp B1: Phần giải tích - Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Giới hạn và liên tục của hàm số; Phép tính vi phân của hàm một biến. Mời các bạn cùng tham khảo!
BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM GVC ThS NGUYỄN THỊ MINH THƯ Chủ biên ThS DƯƠNG THỊ XN AN; ThS NGUYỄN THỊ THU THỦY GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP B1 PHẦN GIẢI TÍCH KHỐI KINH TẾ (LƯU HÀNH NỘI BỘ ) TP HỒ CHÍ MINH 2013 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Hoan nghênh bạn đọc góp ý phê bình Chân thành cảm ơn TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN LỜI NÓI ĐẦU Nhằm đáp ứng nhu cầu học tập giảng dạy mơn Tốn trường, Bộ mơn Tốn Trường Cao Đẳng Công Nghệ Thông Tin TPHCM tổ chức biên soạn ấn hành TOÁN CAO CẤP dành cho sinh viên khối ngành kinh tế Cuốn sách giảng viên thuộc mơn Tốn biên soạn, sở đề cương mơn học theo tín Hội Đồng Khoa học trường phê duyệt Nội dung sách phần Giải tích giải hầu hết vấn đề trọng yếu môn học, giúp sinh viên có tảng tốn để tiếp cận mơn học khác chương trình đào tạo hệ cao đẳng khối ngành kinh tế Phần lý thuyết trình bày logic, ngắn gọn, dễ hiểu, với nhiều ví dụ phù hợp với đối tượng sinh viên hệ cao đẳng Ngồi ra, cịn có phần cho sinh viên tự nghiên cứu, sau chương có tập để sinh viên rèn luyện Đây tài liệu sử dụng thức trường giúp sinh viên học tập thi kết thúc học phần có hiệu tốt theo chương trình đào tạo tín Trong q trình giảng dạy, giáo trình cập nhật, chỉnh lý để ngày hoàn thiện đầy đủ Do khả có hạn, thời gian ngắn lần đầu biên soạn theo hướng đào tạo tín nên giáo trình khơng tránh khỏi sai sót.Tập thể giáo viên mơn Tốn mong nhận ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc ngồi trường Các ý kiến góp ý, phê bình bạn đọc xin gửi chủ biên: NGUYỄN THỊ MINH THƯ - Trưởng mơn TỐN Trường Cao đẳng Công nghệ Thông tin TP HCM Địa minhthu15916@gmail.com Xin chân thành cảm ơn BỘ MƠN TỐN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN PHẦN GIẢI TÍCH TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN MỤC LỤC PHẦN 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.2 2.3 GIẢI TÍCH CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC I Định nghĩa giới hạn dãy số thực II Một số giới hạn CÁC KHÁI NIỆM VỀ HÀM MỘT BIẾN SỐ I Các định nghĩa II Các hàm sơ cấp GIỚI HẠN CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ I Định nghĩa giới hạn hàm số II Vô bé vô lớn ∞ III Khử dạng vô định ; ∞ - ∞ ; ∞ ; ∞ ∞ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM MỘT BIẾN SỐ I Các khái niệm II Điểm gián đoạn BÀI TẬP CHƯƠNG I CHƯƠNG II PHÉP TÍNH VI PHÂN CỦA HÀM MỘT BIẾN ĐẠO HÀM I Định nghĩa đạo hàm II Các quy tắc tính đạo hàm III Đạo hàm cấp cao VI PHÂN I Định nghĩa vi phân cấp II Các công thức tính vi phân III Vi phân cấp cao CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH I Định nghĩa II Các định lý giá trị trung bình 9 15 23 36 40 42 42 51 55 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 2.4 2.5 3.1 3.2 3.3 4.1 4.2 4.3 BỘ MÔN TOÁN CƠNG THỨC TAYLOR I Công thức Taylor công thức Maclaurin II Ứng dụng công thức Taylor ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN I Quy tắc L’Hospital II Tìm cực trị BÀI TẬP CHƯƠNG II CHƯƠNG III TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH I Nguyên hàm tích phân bất định II Tích phân số hàm sơ cấp TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH I Định nghĩa tích phân xác định II Công thức Newton – Leibnitz III Các phương pháp tính TÍCH PHÂN SUY RỘNG I Trường hợp tính tích phân có cận vơ hạn II Trường hợp tính tích phân có điểm gián đoạn khoảng lấy tích phân BÀI TẬP CHƯƠNG III CHƯƠNG IV PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN KHÁI NIỆM HÀM NHIỀU BIẾN I Định nghĩa hàm nhiều biến II Giới hạn hàm hai biến số III Sự liên tục hàm hai biến số ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP I Định nghĩa đạo hàm riêng II Vi phân toàn phần cấp III Ứng dụng vi phân tính gần IV Đạo hàm hàm hợp V Đạo hàm hàm ẩn ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CẤP CAO 58 67 71 74 74 88 95 111 114 114 122 129 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 4.4 BỘ MÔN TOÁN I Định nghĩa đạo hàm riêng cấp II Vi phân toàn phần cấp CỰC TRỊ TỰ DO CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ I Khái niệm cực trị II Định lý III Giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến BÀI TẬP CHƯƠNG IV ĐỀ THI THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO 135 140 142 143 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN CHƯƠNG I GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM BIẾN 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC I Định nghĩa giới hạn dãy số thực Các khái niệm a) Dãy số thực: ánh xạ f : → , n dãy số thực, gọi tắt dãy số Ký hiệu: {xn}, (xn) VÍ DỤ x n gọi ⎧ (−1)n 2n + 1⎫ ⎧1 ⎫ xn = ⎨ ⎬ , xn = ⎨ ⎬ , yn = {3n + 1} n2 ⎩n⎭ ⎩ ⎭ Chú ý: Tuỳ thuộc vào công thức xác định dãy mà ánh xạ từ hay * b) Dãy con: Dãy { x n } gọi dãy dãy{xn} k phần tử { x n } phần tử dãy {xn} k (các phần tử dãy trích từ dãy mẹ {xn}) VÍ DỤ ⎧1 ⎫ ⎧1⎫ ⎧1⎫ ⎬ , ⎨ ⎬ … dãy dãy ⎨ ⎬ ⎩ 2n ⎭ ⎩ 3n ⎭ ⎩n ⎭ Các dãy ⎨ c)Dãy tăng dãy có xn < xn+1; ∀ n ∈ VÍ DỤ xn = {2 n + 3} dãy tăng d)Dãy giảm dãy có xn > xn+1 ; ∀ n ∈ VÍ DỤ ⎧ ⎫ ⎬ dãy giảm n + ⎩ ⎭ xn = ⎨ Để kiểm tra dãy số tăng hay giảm có cách: + Cách BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM x n+1 > dã y tă ng; xn xn+1 < dã y giả m nế u x n > 0∀n xn + Cách x n +1 − xn > dã y tă ng; xn +1 − x n < dã y giả m Giới hạn dãy số a) Định nghĩa Số L gọi giới hạn dãy {xn} n dần vô ∀ε > 0; ∃ n0 ∈ : ∀n > n0 xn − L < ε Khi ta nói dãy {xn} hội tụ L viết: n →∞ x n → L n → ∞; hay x n → L ; hay lim xn = L n →∞ * Dãy không tồn giới hạn, tức dãy không hội tu gọi dãy phân kỳ * Dãy có giới hạn vơ hạn ( ± ∞ ) gọi dãy có giới hạn vơ hạn Ký hiệu x n → ±∞ n → ∞ hay lim x n = ±∞ n →∞ (−1)n VÍ DỤ Chứng minh lim =0 n →∞ 3n − Thật ∀ε > 0, (−1)n 1 1 −0 ( + 5) ⇔ n > ( + 5) 3n − 3n − ε ε ⎡ 1 ⎤ ( + 5) ⎥ + ⎣ ε ⎦ Như ta đặt n0 = ⎢ ta có ∀ ε > 0, ∃ n0 ∈ 10 : ∀ n > n0 x n − < ε TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 2.4 CƠNG THỨC TAYLOR I Cơng thức Taylor công thức Maclaurin Định lý Cho f(x) liên tục [a,b], có đạo hàm đến cấp (n + 1) khoảng (a,b), x0 ∈ (a,b) Khi với x ∈ [a,b], ta có: n f ( x) = ∑ k =0 f ( k ) ( x0 ) f ( n+1) (c) k ( x − x0 ) + ( x − x0 ) n+1 , k! (n + 1)! c số nằm x0 x f (k ) (x ) (x − x ) k đa thức Taylor bậc n Ta gọi Pn (x) = ∑ k! k =0 n hàm f(x) lân cận điểm x0 f ( n +1) (c) Rn ( x ) = ( x − x0 ) n +1 phần dư công thức Taylor (n + 1)! Chú ý: Ta viết cơng thức Taylor dạng f ( x0 + h) = Pn ( x0 + h) + f ( n+1) ( x0 + θ h) n+1 h , (n + 1)! < θ < Khi n = 1, công thức Taylor định lý Lagrange Phần dư Rn (h) = h ( n +1) ( n +1) f ( x0 + θh) gọi phần dư (n + 1)! cơng thức Taylor dạng Lagrange 58 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Phần dư R n (x) = 0((x − x ) ) gọi phần dư công n thức Taylor dạng Peano VÍ DỤ Khai triển Taylor cho hàm số f ( x ) = x x0 = tới số hạng bậc BÀI GIẢI Ta có: f ( x ) = x −2 f '( x ) = x 3 − 35 f '' ( x ) = − x 10 − 83 ( 3) f (x) = x 27 80 −11 f ( 4) ( x ) = − x 81 Vậy: f (x) = x ⇒ f (1) = 1 −2 ⇒ f ' (1) = = 3 − 35 ⇒ f '' (1) = − = − 9 10 f (3) (1) = ⇒ 27 80 f ( 4) (1) = − ⇒ 81 11 − ⎡ α ( ) 1 10 80 ⎢1 + x − − x − + x − − x − 1) ( ) ( ) ( ) ( ⎢ 1! 2! 27 3! 81 4! ⎢ phần phần dư ( L ) =⎢ 3 1 10 ⎢ ⎢1 + 1! ( x − 1) − 2! ( x − 1) + 27 3! ( x − 1) + o ( x − 1) ⎢ phần dư ( P ) phần ⎣ Trong α số nằm x 59 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 2) Cơng thức Maclaurin Khi x0 = 0, cơng thức Taylor cịn gọi cơng thức Maclaurin có phần dư cơng thức dạng Lagrange f (k) (0) k f (n +1) (c) n +1 f (x) = ∑ x + x ; c ∈ (0, x ) k! (n 1)! + k =0 n Cơng thức Maclaurin có phần dư dạng Peano n f ( x) = ∑ k =0 f ( k ) (0) k x + 0( x n ) k! Khai triển Maclaurin số hàm i) Khai triển hàm f ( x ) = e x Ta có f ( x ) = e x ⇒ f (0) = e0 = f '(x) = e x ⇒ f '(0) = f ''(x) = e x ⇒ f ''(0) = f '''(x) = e x ⇒ f '''(0) = f ( n ) (x) = e x ⇒ f ( n) (0) = f ( n +1) (x) = e x Đặt vào cơng thức Maclaurin ta có khai triển hàm f ( x) = e x x2 xn x n +1 θx e = + x + + + + e , < θ < 1; 2! n! (n + 1)! x 60 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN ii) Khai triển hàm f ( x ) = sin x Ta có ⎧⎪ y ( k +1) = ( −1)k cos x π⎞ ⎛ y = sin ⎜ x + n ⎟ ⎨ k (2 k ) 2⎠ ⎝ ⎩⎪ y = ( −1) sin x (n) f ( x ) = sin( x ) = sin x0 + số hạng thứ nhaát cos x0 sin x0 cos x0 sin x0 cos x0 x− x − x + x + x − 1! 2! 3! 4! 5! s.h thứ s.h thứ s.h thứ Do đó, khai triển hàm sin x x0 = Ta có x3 x5 x 2k −1 k −1 sin x = x − + − + (−1) 3! 5! (2k − 1)! +(−1) k x k +1 cos θ x, < θ < 1; (2k + 1)! iii)Khai triển hàm Tương tự ta có cos x = − f ( x ) = cos x x2 x4 x 2k − + − + (−1) k −1 2! 4! (2k − 2)! x 2k + (−1) cosθx, < θ < 1; (2k )! iv) Khai triển hàm f ( x) = ln(1 + x) k Ta có f (x) = ln(1 + x) ⇒ f(0)=0 = (x + 1) −1 ⇒ f '(0) = x +1 f ''(x) = −1(x + 1) −2 ⇒ f ''(0) = −1 f '(x) = 61 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN f '''(x) = ( −1)( −2)(x + 1) −3 ⇒ f '''(0) = f ( n) (x) = [( −1) n −1 (n − 1)!(x + 1) − ( n) ] ⇒ f (n) (0) = ( −1) n −1 (n − 1)! Đặt vào công thức Maclaurin ta có khai triển hàm ln(1+x) n x2 x3 n −1 x ln (1 + x ) = x − + − … + ( −1) n n +1 x + ( −1) n (1 + θx ) − n +1 , < θ < 1; n +1 v) Khai triển hàm f ( x) = (1 + x)α Ta có f ( x) = (1 + x)α ⇒ f (0) = 1α = f '(x) = α(1 + x)α−1 ⇒ f '(0) = α f ''(x) = α ( α − 1) (1 + x)α− ⇒ f ''(0) = α ( α − 1) f '''(x) = α ( α − 1)( α − ) (1 + x)α−3 ⇒ f '''(0) = α ( α − 1)( α − ) f (n ) (x) = α ( α − 1)( α − ) ( α − n + 1) (1 + x)α− n ⇒ f (n ) (0) = α ( α − 1)( α − ) ( α − n + 1) f (n +1) (x) = α ( α − 1)( α − ) ( α − n ) (1 + x)α− n −1 ⇒ f (n +1) (0) = α ( α − 1)( α − ) ( α − n ) Đặt vào cơng thức Maclaurin ta có khai triển hàm f ( x) = (1 + x)α α (α − 1) α (α − 1)… (α − n + 1) n α x +…+ x (1 + x ) = + α x + n! 2! α(α − 1) (α − n) + (1 + θx)α− n , < θ < (n + 1)! 62 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Chú ý: a) Trong công thức khai triển trên, đề yêu cầu khai triển số hạng đầu ta khai triển tới bậc x Nhưng đề yêu cầu khai triển tới số hạng bậc số hạng thứ b) Đề yêu cầu khai triển hàm số thành hàm đa thức ta cần dùng công thức Maclaurin cho thành phần mà chưa có dạng đa thức VÍ DỤ Tìm khai triển Maclaurin f ( x ) = ( 3x + 1) sin x đến bậc BÀI GIẢI x3 x5 Ta có: sin x = x − + + o ( x ) ⇒ 3! 5! 2x) (2x) ( x 32 x sin x = x − + + o ( x5 ) = x − + + o ( x5 ) 3! 5! 3! 5! ⎛ ⎞ x 32 x + + o ( x5 ) ⎟ Do đó, f ( x ) = ( x + 1) ⎜ x − 3! 5! ⎝ ⎠ 14 56 x − x + o ( x5 ) 15 c) Ngoài luôn phải đưa dạng chuẩn để sử dụng khai triển hàm biết 2 VÍ DỤ f ( x ) = x + x sin x ta phải đưa = 2x − ( ) ⎛1 ⎞ f ( x ) = ( x + x ) ⎜ (1 − cos2 x ) ⎟ ⎝2 ⎠ d) Có thể ta cần tách hàm số thành nhiều hàm số VÍ DỤ Khai triển y = f ( x ) = ln( x + đến số hạng bậc 1+ x BÀI GIẢI 63 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM Ta có: y = f ( x ) = Ta biết: BỘ MÔN TOÁN ln( x + 1) −1 = ln( x + 1) ⎡⎣(1 + x ) ⎤⎦ 1+ x ln ( x + 1) = x − x + x − x + θ ( x4 ) −1 = ( x + 1) = − x + x − x + x + θ ( x ) x +1 Và Vậy: −1 f ( x ) = ln( x + 1) ⎡(1 + x ) ⎤ ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ 1 = ⎢ x − x2 + x − x + θ ( x ) ⎥ ⎡⎣1 − x + x − x + x + θ ( x ) ⎤⎦ ⎣ ⎦ 11 25 = x − x2 + x3 − x + θ ( x ) 12 II Ứng dụng cơng thức Taylor Maclaurin Tính gần giá trị hàm Ta dùng khai triển để tính xấp xỉ giá trị hàm f(x) sau chọn n đủ lớn để phần dư Rn ( x ) có trị tuyệt đối khơng vượt q sai số cho phép VÍ DỤ Lập cơng thức gần số e=? BÀI GIẢI x2 xn x n +1 θx + + + e , < θ < 1; Từ e = + x + 2! n! (n + 1)! x Khi x=1 ta có 64 e = 1+1+ 1 eθ + + + 2! n! (n + 1)! TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Cơng thức cho ta tính e với độ xác khơng vượt q e (n + 1)! VÍ DỤ Lập cơng thức gần sinx ⎢x ⎢≤ π với độ xác 0,0001 BÀI GIẢI x3 x5 x 2k −1 k −1 Ta có sin x = x − + − + (−1) 3! 5! (2k − 1)! + (−1) k x k +1 cos θ x, < θ < 1; (2k + 1)! k +1 Khi ⎢x ⎢≤ π ⎛π ⎞ ⎜ ⎟ ≤⎝ ⎠ (2k + 1)! R2 k ⎛π ⎞ Nên ta cần tìm k để ⎜ ⎟ ⎝4⎠ k +1 ≤ 0,0001 (2k + 1)! Ta thấy rằng, k ≥ điều kiện thỏa mãn với độ xác 0,0001.Vậy sin x ≈ x − x3 x5 + 3! 5! VÍ DỤ Tính gần ln(1,5) với sai số nhỏ 0,01 BÀI GIẢI Ta có ln (1 + x ) = x − n x2 x3 n −1 x + − … + ( −1) n 65 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM x n +1 + (−1) (1 + θx) − n +1 , < θ < 1; n +1 n Với sai số nhỏ 0,01 ta lấy : ln(1 + x ) ≈ x − x2 x3 + + 0( x ) Nên ln(1,5) = ln(1 + 0,5) ≈ 0,5 − (0,5) (0,5)3 + = 0, Tính giới hạn VÍ DỤ Tìm cos( x ) − x sin x − e − x lim x →0 x sin x z BÀI GIẢI Ta có khai triển Maclaurin hàm: cos( x ) = − x x8 + − 2! 4! x sin x = x − x4 x6 + − 3! 5! e − x2 x2 x4 x6 = − + − + Do đó: 1! 2! 3! ⎛ 1 1⎞ cos( x ) − x sin x − e − x = ⎜ − + − ⎟ x + 0( x ) Nên ⎝ 2⎠ cos( x ) − x sin x − e − x = lim x →0 x →0 x sin x lim 66 − 0( x ) − + x + 0( x ) x =− lim 2 x → x sin x ⎛ sin x ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ x ⎠ BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM 2.5 ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN I Quy tắc L’Hospital (Khử dạng vô định ∞ hoaë c ) ∞ Định lý (Quy tắc L’Hospital 1) Giả sử hàm f ( x ) ; g ( x ) xác định, khả vi lân cận x = a(a ∈ ) , trừ điểm a Nếu lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0; g ' ( x ) ≠ lân cận x = a x →a x →a vaø lim x →a f '( x ) g '( x ) = A lim x →a f (x) g( x) =A Định lý (Quy tắc L’Hospital 2) Giả sử hàm f ( x ) ; g ( x ) xác định, khả vi lân cận x = a(a ∈ ) , trừ điểm a Nếu lim f ( x ) = lim g ( x ) = ∞; g ' ( x ) ≠ lân cận x = a x →a x →a vaø lim x →a f '( x ) g '( x ) = A lim x →a f (x) g( x) =A Chú ý: a) Quy tắc L’Hospital có chiều thuận ( ⇒ ) khơng có chiều ngược lại: tồn lim x →a f '( x ) f ( x) =A = A không suy lim x→a g '( x ) g( x) VÍ DỤ Ta có theo tính chất VCB lim x →0 x sin x x =0 67 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 1 x sin − cos x x không ∃ lim x →0 b) Nếu hàm f, g thoả mãn giả thiết định lý lim x →a dạng f '( x ) g '( x ) ∞ , f’, g’ thoả mãn giả thiết định lý hoaë c ∞ ta tiếp tục dùng quy tắc L’Hospital VÍ DỤ ( x ) ' = lim 3x = lim x = x3 a) lim = lim x →0 x − sin x x →0 ( x − sin x ) ' x →0 − cosx x →0 sin x ( e3 x − 1) ' = lim e3 x − = lim x →0 artg x x →0 ( artg x ) ' x →0 b) lim 3e3 x = 2 + 4x2 ln x c) lim = lim = lim x = lim = x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x →+∞ 3x 3x ( x )' ( ln x ) ' II Tìm cực trị Cho hàm y = f(x) liên tục (a,b) Theo định lý Fermat hàm đạt cực trị điểm có f '(x) = Điểm gọi điểm nghi ngờ có cực trị Nếu f '(x0) = x0 cịn gọi điểm dừng Định lý Cho hàm y = f(x) liên tục (a,b), khả vi điểm x0 ∈ (a,b) điểm dừng 68 (a,b) TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Khi đó: a) Nếu x biến thiên qua x0 mà f '(x) đổi dấu từ (-) sang (+) x0 điểm cực tiểu b) Nếu x biến thiên qua x0 mà f '(x) đổi dấu từ (+) sang (-) x0 điểm cực đại c) Nếu x biến thiên qua x0 mà f '(x) khơng đổi dấu x0 khơng điểm cực trị Định lý Cho hàm y = f(x) khả vi đến cấp (a,b) x0 ∈ (a,b) có f ' ( x0 ) = , f '' ( x0 ) ≠ Khi : a) f '' ( x0 ) > xo điểm cực tiểu b) f ''( x0 ) < x0 điểm cực đại Như muốn tìm cực trị hàm số y= f(x) có cách: Cách 1: Dùng đạo hàm cấp Bước 1: Tính f '(x) Bước 2: Giải phương trình f '(x) = để tìm điểm dừng xo Bước 3: Lập bảng xét dấu xo a) Nếu x biến thiên qua x0 mà f '(x) đổi dấu từ (-) sang (+) x0 điểm cực tiểu; b) Nếu f '(x) đổi dấu từ (+) sang (-) x0 điểm cực đại; c) Nếu f '(x) không đổi dấu x0 khơng điểm cực trị 69 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN Cách 2: Dùng đạo hàm cấp Bước 1: Tính f '(x) Bước 2: Giải phương trình f '(x) = tìm điểm dừng xo Bước 3: Tính đạo hàm cấp a) Nếu f ''( x0 ) > xo điểm cực tiểu b) Nếu f '' ( x0 ) < x0 điểm cực đại Sau tìm cực trị tốn kinh tế ta sử dụng cách thứ chủ yếu 70 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BÀI TẬP CHƯƠNG II 2.1 Tính dạo hàm cấp hàm số sau a) y = x arcsin x + − x b) y = arctan x − c) y = x + x x d) y = x x e) y = ln x + + x f) y = ln ( ln x ) 1 + x2 2.2 Áp dụng vi phân cấp để tính gần giá trị sau b) B = tan 460 a) A = lg11 c) C = arctan 0,97 2.3 d) D = 1, 02 Cho hàm số f ( x ) = x10 − x + x + Tìm số hạng khai triển Taylor x0 = Áp dụng để tính f (1,003) = ? 2.4 Tìm khai triển Maclaurin hàm số sau đến cấp ra: a) f ( x ) = ln ( + x ) đến số hạng x4 b) f ( x ) = esin x đến số hạng x3 c) f ( x ) = ecos x đến số hạng x3 d) f ( x ) = x ln ( − x ) đến số hạng x4 e) f ( x ) = e −2 x đến cấp n f) f ( x ) = ln (1 + x ) đến cấp n g) f ( x ) = ( x − 1) cos x đến cấp n h) f ( x ) = ( x + 1) sin x đến cấp n i) f ( x ) = 1− x đến cấp n 71 BỘ MÔN TOÁN TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM đến cấp n + x2 2.5 Dùng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn sau x3 − x + x − e x − e− x − x lim a) lim b) x →0 x →1 x − x + x − x − sin x ln ( cos x ) ln x c) lim d) lim x →0 x → + ln ( sin x ) sin x j) f ( x ) = d) e x − sin x − x →0 x2 e) lim x→ x − sin x x →0 x3 1+ 2x − h) lim x →4 x −2 f) limπ g) lim i) sin x − cos x π − 4x tgx − sin x x →0 x3 sin x − sin 3x lim x →0 sin x lim ln (1 − x ) x →0 2x − cos x lim m) n) x →0 x sin x + tan x − + sin x q) lim p) x →0 x3 Lp r) lim x.ln x = lim ln x = lim x = − lim x = x →0 x →0 x →0 x →0 1 − x x 1⎞ x.cos x − sin x x.cos x − x ⎛ s) lim ⎜ cot gx − ⎟ = lim = lim x →0 x →0 x ⎠ x →0 x sin x x x ⎝ i) tan x − sin x x →0 x3 cos x − cos x lim x →0 x2 esin x − lim x →0 tan x lim + k) + + = lim x →0 72 lim + cos x − Lp sin x = lim = x→0 x ... 2 (1 − x) − (1 − x) 1? ?? x 20 01 199 − − (19 9)!! (19 7)!! 2 − + − y (10 0) = [ (1 x) ] [ (1 x) 299 210 0 d) y = ⇒ y (19 96) (0) = ? 1? ?? x 49 TRƯỜNG CAO ĐẲNG CNTT TP HCM BỘ MÔN TOÁN 1 1 + ( ) = [ (1 − x) ? ?1. .. ? ?1 + (1 + x) ? ?1 ] 1? ?? x 1+ x y (n) = [n! (1 − x) − (n +1) + ( ? ?1) n n! (1 + x) ? ?1( n +1) ] 19 96! 1 y (19 96) (0) = [ + ] = 19 96! 1 e) y = ⇒ y (19 93) (0) = ? x − 3x + 1 − = (x − 2) ? ?1 − (x − 1) ? ?1 y=... x +1 y ''' = (? ?1) (−2)(x + 1) −3 y' = y (n ) = [(? ?1) n ? ?1 (n − 1) !(x + 1) − (n ) ] g) y = ln x +1 ⇒ y (19 96) (2) = ? x ? ?1 1 − x +1 x ? ?1 (n ) n ? ?1 − (n ) y = [(? ?1) (n − 1) !(x + 1) − (? ?1) n ? ?1 (n