Giáo trình Toán cao cấp A2 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM

Giáo trình Toán cao cấp A2 được biên soạn nhằm phục vụ cho nhu cầu học tập của sinh viên. Nội dung giáo trình này gồm có 5 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ma trận-định thức; Hệ phương trình tuyến tính; Không gian vecto-Không gian Euclide và hình học giải tích; Trị riêng, vecto riêng, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương.

Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Cơ Bản Bộ Môn Toán GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 (Lưu hành nội - Tháng 9/ 2016) Lời mở đầu Giáo trình “Toán Cao cấp A2” biên soạn nhằm phục vụ cho nhu cầu tài liệu học tập sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh Nội dung giáo trình gồm chương: Chương : Ma trận – Định thức Chương : Hệ phương trình tuyến tính Chương 3: Không gian vec tơ-Không gian Euclide hình học giải tích Chương 4: Trị riêng, vec tơ riêng, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương Chương 5: Phép tính vi phân hàm nhiều biến ứng dụng Nội dung môn học phong phú Tuy nhiên, thời lượng dành cho môn học có tín (45 tiết lên lớp) Do đó, để tiếp thu tốt môn học, bạn sinh viên cần đọc kỹ học giáo trình trước đến lớp Các bạn cần làm tập đầy đủ để hiểu rõ nắm vững khái niệm, nội dung, ý nghóa toán suy nghó việc ứng dụng vào đời sống Trước chương hay tác giả nêu nội dung, kiến thức mà sinh viên cần phải đạt Dựa vào mà bạn sinh viên biết phải học gì, cần phải hiểu rõ khái niệm nào, nội dung cần phải nắm vững toán dạng phải làm Trong chương, tác giả đưa vào nhiều ví dụ phù hợp để minh họa làm sáng tỏ khái niệm vừa trình bày đồng thời nhiều ứng dụng vào thực tế Sau chương hay học có phần tập chọn lọc phù hợp để sinh viên tự luyện tập nhằm đạt hiểu biết sâu rộng khái niệm đọc qua thấy ứng dụng rộng rãi kiến thức vào thực tế Mục tiêu chúng viết giáo trình này:  Dễ đọc, dễ hiểu, tự học với hỗ trợ chút giáo viên; TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….…………………………………………….………… ……………… Trang  Người đọc nắm vững tất kiến thức môn học mà tốn thời gian Do đó, chọn cách trình bày hình thức khái niệm không phức tạp cho ngắn gọn đỡ thời gian; khái niệm phức tạp (chẳng hạn không gian vectơ) chọn cách trình bày từ cụ thể, trực quan, trừu tượng dần để bảo đảm bạn đọc hiểu  Đọc giáo trình hành trình khám phá tri thức khả ứng dụng vào sống Người đọc cảm thấy thích thú, hạnh phúc, tư logic trí tưởng tượng khả sáng tạo tăng lê rõ rệt  Người đọc biết ứng dụng học làm công cụ để học tiếp môn khác biết ứng dụng vào thực tế Tuy có nhiều cố gắng công tác biên soạn , chắn giáo trình thiếu sót Chúng xin trân trọng tiếp thu ý kiến đóng góp bạn sinh viên đồng nghiệp để giáo trình ngày hoàn chỉnh Thư góp ý xin gửi : Ngô Hữu Tâm Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa học Cơ Bộ môn Toán Email: tamnh@hcmute.edu.vn huutamngo@yahoo.com.vn TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….…………………………………………….………… ……………… Trang Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC Chương gồm nội dung sau:  Khái nieäm ma trận, số ma trận đặc biệt;  Các phép toán ma trận, tính chất;  Phép biến đổi sơ cấp hàng, ma trận tương đương hàng;  Ma trận rút gọn bậc thang, hạng ma trận  Khái niệm cách tính định thức;  Các tính chất định thức;  Hai cách thường sử dụng để tính định thức;  p dụng định thức tìm hạng ma trận  Khái niệm ma trận khả nghịch ma trận đảo ma trận vuông;  Các tính chất ma trận khả nghịch;  Điều kiện cần đủ để ma trận vuông khả nghịch;  Hai cách tìm ma trận đảo ma trận khả nghịch;  Ứng dụng ma trận đảo để giải phương trình ma trận hệ phương trình tuyến tính TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang §1 MA TRẬN Trong này, bạn học  Khái niệm ma trận, số ma trận đặc biệt;  Các phép toán ma trận, tính chất;  Phép biến đổi sơ cấp hàng, ma trận tương đương hàng;  Ma trận rút gọn bậc thang, hạng ma trận; -1- Ma traän (matrices) 1.1 -Định nghóa ký hiệu ( K =  tập số thực K =  tập số phức) Một ma trận A cấp mn (cỡ mn, kích thước mn) K bảng chữ nhật gồm mn phần tử K viết thành m hàng n cột sau:  a11   a 21 A =   a  m1 a12 a 22  a m2 a1n    a 2n       a mn   hay  a11 a 21 A =     a m1 a12 a 22  a m2 a1n   a n       a mn   Trong aij  K phần tử (số hạng) vị trí hàng thứ i cột thứ j ma trận A Đôi ma trận A ký hiệu vắn tắt là: A = [aij]mxn = ( aij)mxn = A mxn Ký hiệu M mxn(K) tập hợp tất ma trận cấp mn K  Ma trận không (zero matrix ) ma trận mà tất phần tử 0, ký hiệu 0  0 mxn (hay nhầm lẫn): mxn =    0   0   0 =0        a11     a 21   Ma trận cột (column matrix) ma trận có cột : A =      a   n1   Ma trận hàng (row matrix) ma trận có hàng: A = a11 a12 a1n  TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang  Ma trận có số hàng số cột gọi ma trận vuông (square matrix) Ma trận vuông  a11   a 21 có n hàng gọi ma trận vuông cấp n: A =    a  n1 a12 a 22  an2  a1n    a 2n  = [aij]nxn      a nn  Các phần tử a11, a22, …, ann gọi phần tử chéo ma trận vuông A Vết ma trận vuông A, ký hiệu Tr(A), định nghóa sau: Tr(A) ĐN  a11 +a22 +….+ann Ký hiệu M n(K) tập hợp tất ma trận vuông cấp n K  Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi ma trận tam giác aij = i > j, tức  a11   có dạng: A =      a12  a1n    a 2n       a nn  a 22   Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi ma trận tam giác aij = j > i, tức  a11   a 21 có dạng: A =    a  n1 a 22  an2         a nn     Ma trận vuông D gọi ma trận chéo D vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác dưới, tức có dạng :  a11   D=      a 22  0          a nn   kýhiệu  dg(a11 , a22 , ……, an n)  Ma trận chéo mà tất phần tử chéo gọi ma trận đơn vị, ma trận đơn 1  0     0 vò cấp n ký hiệu In hay I nhầm lẫn: In =  =I       0  1   Ví dụ 1.1    2i   ma trận cấp  ; a11  3, a12  4, a13   2i,  , a 23  9   a) A   6 TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang  3    b) A    i   ma trận vuông cấp   3i 12    0 5  5     c) C    ma trận tam giác trên; C '     ma trận tam giác  0 12    13       0 0   0 0 d) D   = dg (4,3,1,2) ma trận chéo cấp 0  0    0 2    0 1     0 0 1 0  , I    , I   e) 32   0  , 23    0 0 0 1  0 0    0  0  1.2 - Các phép toán ma trận 1.2.1- Định nghóa -Ví dụ minh họa a) Ma trận nhau: Ma trận A = [aij]mxn gọi ma trận B = [bij]mxn, ký hiệu A = B, a ij  bij i  1, m vaø j  1, n ÑN A = B  aij = bij ,  i = , m vaø j = 1, n  x  y  1  3  , B    Tìm x, y, z , t để A  B t  3  4 Ví dụ 1.2 Cho A    2z Giaûi x  y 1  A B    2z  t  x y    z  t        b)Phép cộng, trừ ma trận cấp: Cho A = [aij]mxn, , B = [bij]mxn ÑN A + B  [aij + bij]mxn ; A-B ĐN  [aij - bij]mxn Tức cộng, trừ hai ma trận cấp cộng, trừ số hạng vị trí với TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang c) Phép nhân số với ma trận: Cho A = [aij]mxn ,   K ĐN  A  aijmxn Tức nhân số với ma trận nhân số với tất số ma trận   1 6 1  , B    Tính A  B , A  3B , A  3B 2  2 Ví dụ 1.3 Cho A   1 Giaûi   1    +   = A  B =     2 8 0   3 4   1    + 3  = A  3B = 2    2  22 17     21 10    1 6 1   3  = A  3B = 2 1   2   14          2 d) Phép nhân hai ma trận có cấp thích hợp:(số cột ma trận trước phải số hàng ma trận sau) Cho ma traän A  aik m n , B  bkj n p ÑN  n   k   mxp AB    a ik b kj  Sơ đồ phép nhân ma trận sau: Coät j n  aik bkj k 1 Coät j  a11 a12   a1n   b11  b1 j  b1 p                b21  b2 j  b2 p                Haøng i  ai1   ain      haøng i                       a m1 a m   a mn  bn1  bnj  bnp             AB A B e) Phép lũy thừa ma trận vuông: Cho ma trận vuông A = [aij]nxn TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang A0 = I , A1 = A , A2 = AA, …, Ak = Ak 1 A = A.A A     k -laàn 1 2 2 1  , B    Tính AB , A , A ; giải thích Ví dụ 1.4 Cho A     3   4 không tồn ma trận BA Giải  2    AB =    3   2    A =    3   1       = =         12  2   2     8  =   =                   22     =   A = A A =          11 13  Vì B có cột A có hàng nên không tồn BA 8       11 f) Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị A = [aij]mxn, ký hiệu A T , ma trận xác ĐN định A T  [ a Tji ]nxm với a Tji = aij ; tức AT có từ A cách chuyển hàng thành cột Ví dụ 1.5 2 1  A T = a) Với A        b) Với B       3   6 8 1 4   6  7   0  B T    9     1.2.2- Tính chất phép toán ma trận Với ma trận A, B, C có cấp thích hợp để thực phép toán với số ,   K  A+B=B+A  Amxn.0nxp = 0mxp = 0mxk.Akxp  A + (B + C) = (A + B) + C  0Amxn = 0mxn , 0mxn = 0mxn  Amxn + 0mxn = Amxn  (A  B) = A  B ( + )A = A + A  A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC  (AB)C = A(BC) = ABC  (A + B)T = AT + BT , (AB)T = BTAT (ABC)T = CTBTAT 11 ImAmxn = Amxn = AmxnIn 12 Nếu A = [aij]nxn AIn = A = In A TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang  (A) = ()A = (A) (AB) = A(B) = (A)B  Chú ý Phép nhân ma trận tính chất giao hoán Ví dụ 1.6  0    2   0 , B   , C   1  Tính (3 A  B )C , C T A T a) Cho A    4  2  2   1 1   b) Cho A    f(x) = 3x2 + 2x - Tính f ( A)  1 2   Giaûi  0   11   2   1  =   ; BC  a) AC =      25     0    1   0     1  =    2     14     11      39 13   -2   =   (3 A  B )C = AC  BC =   25   14   47 15  11 25   C T A T = ( AC) T   5 9       b) A  AA     =  1  1     6 5    4  4        0  16 13 17          f ( A) = A  A  I =   +2    4  =  13 11 14   4   1   0  17 14 12          1.3 - Phép biến đổi sơ cấp hàng – Hạng ma trận 1.3.1 - Định nghóa Có loại phép biến đổi sơ cấp hàng (elementary rows operations) Loại Hoán vị hai hàng : hi  hj Loại Nhân số khác vào hàng : hi  hi,   TOÁN CAO CẤP A2 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang b) Tìm cực trị không điều kiện hàm hai biến: f(x,y) = x3 + x2 – 3x + 2y3 - 6y c) Tìm cực trị hàm hai biến : z  y (1  e x )  x  x d) Tìm cực trị hàm hai biến : z = x3 + 6x2 + y2 – 12y + Baøi Tìm cực trị có điều kiện 1 1  với điều kiện   x y x y a 1) z 2) z  x  y với điều kiện 3) z  x  12xy  2y neáu 4x  y  25 4) z  x  y  xy  x  y  neáu x  y   x y  1 5) f(x,y) = x + y , với điều kiện x2 + y2 = 6) f(x,y) = x2 + y2 , với điều kiện x y  1 1   1 x y z 7) u  x  y  z với điều kiện 8) u  2x  y  2z với điều kiện x  y  z  36 9) f  x, y, z   xy z x  y  z  (trong x, y, z  ) 10) f  x, y, z   x  y  z với điều kiện x  y  z  30 Baøi a)Tìm cực trị hàm hai biến: f ( x, y )  ln x  ln y  x  b) Tìm cực trị hàm ba biến: f ( x, y, z )  x  y z   x y z y3 c)Tìm cực trị hàm f(x,y) = x2 + y2 , với điều kieän x2 – 2x + y2 – 4y = TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….…………………………………………….………… ……………………… Trang 196 §5 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT Sau học xong này, bạn có thể:  Hiểu khái niệm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến  Biết điều kiện đủ tồn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến  Biết cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm nhiều biến ứng dụng Định lý Weierstrass Nếu hàm f(x,y) liên tục tập đóng bị chặn E đạt giá trị lớn (GTLN ) , giá trị nhỏ (GTNN ) tập E Tức ( x1 , y1 )  E , ( x , y )  E cho GTNN  f ( x1 , y1 )  f ( x, y )  f ( x , y )  GTLN , ( x, y )  E  Lưu ý Định lý hàm n biến (n  3) 2- Cách Tìm Cho hàm f ( x, y ) liên tục tập đóng bị chặn E Bước Tìm điểm dừng hàm f(x,y) bên tập E , điểm E mà hàm số f ( x, y ) đạo hàm Tính giá trị hàm số điểm Bước Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số biên E (tìm điểm dừng biên, tính giá trị hàm số điểm này, tính giá trị hàm số đầu mút, so sánh giá trị có được) Bước So sánh tất giá trị hàm số có bùc bước : Giá trị lớn GTLN , giá trị nhỏ GTNN hàm số E 3-Định lý (từ cực trị địa phương đến cực trị toàn cục) Giả sử hàm số f ( x, y ) xác định, liên tục có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục miền  D  ( x, y )  R : a  x  b,c  y  d  Neáu miền D hàm có điểm dừng ( xo , y o ) điều kiện đủ để hàm đạt giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) thỏa mãn điểm thuộc miền D giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) hàm số miền D Định lý hàm số n biến (n3)  i) Hệ Nếu hàm bậc hai (quaratic functions) đạt cực đại điểm hàm số đạt giá trị lớn điểm ii) Nếu hàm bậc hai (quaratic functions) đạt cực tiểu điểm hàm số đạt giá trị nhỏ điểm * Chú ý: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số n biến (n3) tương tự hàm hai biến TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………………………………………………………….………… ……………… Trang 197 Ví dụ 5.37 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x, y ) = x  xy  y  x miền E giới hạn đường : x  , y  vaø y  x   Giải Miền E tam giác ABC với A(1,0) , B (1,1) , C (1,2) f '  x  y  x  Hệ phương trình xác định điểm dừng:  x' f y  2 x  y   x   x  2 Giải hệ ta nghiệm:  ,   y   y  2 Loại điểm dừng (2,2) không thuộc miền E , nhận điểm dừng (0,0) thuộc miền E tính f (0,0)   y0  Xét treân bieân AB:    x  f ( x, y )  x  x =  (x) , x  [1,1]  x   [1,1] Đạo hàm:  ' ( x)  x  x ;  ' ( x)  x  x     x    [1,1]   (0)  ,  (1)  ,  (1)   x 1  Xét biên BC:  0  y  f ( x, y ) =  y  y = h( y ) , y  [0,2] Đạo hàm: h' ( y )  y  ; h' ( y )   y   [0,2] h(0)  , h(1)  , h(2)    x   Xét biên AB:   y  x 1 f ( x, y ) = x  x( x  1)  ( x  1)  x = x  x   g ( x) , x  [1,1] Đạo hàm: g ' ( x)  3x  x , g ' ' ( x)  x   x   [1,1] g ' ( x)   3x  x     x  2  [1,1] g (1)  , g (0)  , g (1)  Suy ra: GTNN  min0,3,4,5  taïi (0,0) GTLN  max0,3,4,5  (1,0) (1,2) Ví dụ 5.38 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm f  x, y   x  y  12 x  16 y miền D  ( x, y )  R : x  y  25  Giải Giải hệ phương trình xác định điểm dừng x   f 'x  x  12  ,    y  8  f ' y  y  16  TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………………………………………………………….………… ……………… Trang 198 điểm dừng M  6, 8  không thuộc miền D nên ta khơng cần tính giá trị hàm số f M Xét biên miền D : x  y  25  Lập hàn Lagrange: L  x, y   x  y  12 x  16 y    x  y  25   L 'x  1    x  12   Giải hệ phương trình nhân tử Lagrange:  L ' y  1    y  16 , ta điểm dừng  2   x, y   x  y  25  M   3,  ứng với   3 ; N  3, 4  ứng với   Ta có f  M   f  3,   125 ; f  N   f  3, 4   75 Vậy giá trị lớn f 125 đạt  3,  ; giá trị nhỏ f -75 đạt  3, 4  Ví dụ 5.39 Công ty ước tính đầu tư x (đơn vị $1,000) cho lực lượng lao động y (đơn vị $1,000) cho trang thiết bị sản xuất số sản phẩm sản xuất Q ( x, y )  100 x y đơn vị sản phẩm Biết số tiền đầu tư công ty không vượt $360,000 Hỏi công ty phải đầu tư tiền cho lực lượng lao động, tiền cho trang thiết bị sản xuất để sản lượng lớn ( Q( x, y ) lớn nhất)? Giải  100 y  3 Q '    0 x  x Hệ phương trình xác định đểm dừng  vô nghiệm  ' 200  x    0 Q y   y    x0  Xét biên:  , Q ( x, y )  0  y  360  y0  Xét biên:  , Q ( x, y )  0  x  360  y  360  x 0  x  360  Xét biên:  Q ( x, y )  100 x (360  x) = f (x) , x  [0,360] ; f (0)  0, f (360)  100  360  x  200  x  f ' ( x)       x   360  x  100  360  x  200  x  f ' ( x)       =0  x   360  x  360  x Đặt t  thay vào phương trình giải t  , từ tính x  120 y  240 x f (120)  100(120) (240) = 120003  19049 (sản phẩm) TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………………………………………………………….………… ……………… Trang 199 Vậy công ty phải đầu tư $120,000 cho lực lượng lao động $240,000 cho trang thiết bị sản xuất để sản lượng lớn xấp xỉ 19049 (sản phẩm) BÀI TẬP Bài Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số miền kín a) z  x  y hình tròn x  y  b) z  x y4  x  y  miền giới hạn x  0, y  0, x  y  0  x  c) f x; y   x  y  3xy mieàn D :    y   x  0, y  d) f  x; y   x  y  xy  x  y mieàn D :   x y3 e) f x; y   x  xy  y mieàn D : x  y  f) f(x,y) = - x2 - y2 hình tròn (x – 1)2 + (y – 1)2  g) f ( x, y )  x  12 xy  y miền E : x  y  25 h) f(x,y,z) = x2 + y2 +3z2 miền D: x2 + y2 +z2  100 Bài Cho hàm số f(x,y) = 6x2 – x3+ 3y2 – y3 : a)Tìm cực trị hàm f(x,y) b)Tìm giá trị lớn   x  giá trị nhỏ hàm f(x,y) miền D xác định D:  0y3 Bài Cho hàm hai bieán : f(x,y) = x3 + 3x2 + y2 – 6y +1 a) Tìm cực trị hàm f(x,y) b) Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f ( x , y ) miền D: x2 + y2–6y +8 Bài Cho hàm hai biến f ( x , y )  x  xy  3x  10 a) Tìm cực trị hàm số f(x,y)  x  0, y  2 x  y  b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x , y ) miền D :  Bài Cho hàm hai biến f(x,y) = 2x3 - 6x + y3 + y2 - 3y a) Tìm cực trị không điều kiện hàm f(x,y) b) Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm f(x,y) miền D giới hạn đường : x = 0, y = 0, y - x = Baøi Cho haøm hai bieán f(x,y) = 4x2 - x2y + 3y2 + 12y a) Tìm cực trị không điều kiện hàm f(x,y) b) Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm f(x,y) nửa hình TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………………………………………………………….………… ……………… Trang 200 troøn D : x2 + y2  5, x  Bài a) Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x, y )  x  xy  y  x  16 y  10 2 b) Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x, y, z )  x  y  z  xy  y  16 z  100 treân 3 c) Tìm giá trị lớn hàm số f ( x, y, z )  xy  12 y  36 z  x  y  3z  3 Bài Cho hàm hai biến f ( x , y )  xy  x  x  a) Tìm cực trị hàm số f(x,y)  x  0, y  2 x  y  b) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x , y ) miền D :  c) Năm 2018, công ty bạn sản xuất hai loại sản phẩm với thông tin (ước tính gần đúng) sau: Nếu sản xuất x (đơn vị tính : 1000) sản phẩm loại I vaø y  x  0, y  hàm lợi (đơn vị tính : 1000) sản phẩm loại II miền sản lượng D :  2 x  y  nhuận f ( x , y ) (đơn vị tính : 100,000USD ) Hỏi công ty bạn phải sản xuất sản phẩm loại I sản phẩm loại II để đạt lợi nhuận lớn nhất? Tính lợi nhuận lớn TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………………………………………………………….………… ……………… Trang 201 §7 ĐẠO HÀM THEO HƯỚNG-VECTƠ GRADIENT 1.Đạo hàm theo hướng 1.1.Định nghóa Cho hàm số  f ( x, y, z ) xác định miền mở D  R3 chứa điểm       M o ( xo , yo , zo ) vectơ a  Lấy điểm M  D cho vectô M M // a đặt ρ = M M  Đạo hàm theo hướng vectơ a hàm f ( x, y, z ) taïi M o ( xo , yo , zo ) ký hiệu định nghóa ĐN f (x , y , z )  lim  ρ 0 a f(M)  f(M ) ρ (ĐK: Giới hạn  hữu hạn) 1.2 Định lý (công thức tính đạo hàm theo hướng)  Cho hàm f ( x, y, z ) khả vi ( xo , yo , zo ) vectơ a = (ax,ay,az) Khi f  a (x , y , z )  f f f (x , y , z )cosα  (x , y , z )cosβ  (x , y , z )cosγ x y z  f x' (x , y , z )cosα  f y' (x , y , z )cosβ  f z' (x , y , z )cosγ ay ax az với cosα  , cosβ  , cosγ  2 2 2 ax  ay  az ax  ay  az a x  a 2y  a 2z  Ý nghóa Giá trị đạo hàm theo hướng vectơ a hàm f ( x, y, z ) taïi M o ( xo , yo , zo ) thể  tốc độ biến thiên hàm f ( x, y, z ) theo hướng vectơ a M o ( xo , yo , zo ) Chẳng f hạn, f ( x, y, z ) nhiệt độ M o ( xo , yo , zo )  (x , y , z ) laø tốc độ biến thiên nhiệt a  độ theo hướng vectơ a M o ( xo , yo , zo ) M o ( xo , yo , zo ) M o ( xo , yo , zo ) Tương tự, f ( x, y, z ) áp suất  f (x , y , z ) tốc độ biến thiên áp suất theo hướng vectơ a  a 1.3 Tính chất (quy tắc) f (  f )   ( số )   a a g  f  (f g)     a a a g  f   ( f g )  g   f  a a a    f g  f g ( )  f  g    g a a  a  u   ( f(u))  f ' (u)  với u = u(x,y,z) a a   TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….………………………………………………….………… ……………Trang 202  Ví dụ 5.40 Cho hàm số f ( x, y, z ) = xy z  3x  ye z vaø vectơ a = (1,2,2) Tính đạo hàm theo hướng f  a cosα  ax x y a a a z  , cosβ  , f  a Giaûi ay x (1,1,2) y z a a a  , cosγ  az x y a a a z  2 f x' = y z  x , f x' (1,1,2) =  12     22 f y' = xyz   5e z , f y' (1,1,2) =      5e  32  5e f z' = xy z   ye z , f z' (1,1,2) =   12  2     e  24  5e f 2  (2 y z  x)  (4 xyz  5e z )  (6 xy z  ye z )( ) 3 a -2 38 f (1,1,2) = 22 + (32  5e ) + (24  5e )( ) =  3 3 a  2.Vectơ gradient 2.1.Định nghóa Cho hàm f ( x, y, z ) khả vi (x0,y0,z0) Vectơ gradient f   (x0,y0,z0) Ký hiệu grad f(x , y , z )  hoaëc  f(x , y , z ) định nghóa    f  f f grad f(x , y , z )   (x , y , z ), (x , y , z ), (x , y , z )  y z  x     f f f  grad f   , ,  = ( f x' , f y' , f z' )  x y z  2.2.Tính chất          grad( f)  α grad f α  const    grad (f  g)  grad f  grad g        grad (f.g)  g grad f  f grad g      grad f(u)  f ' (u ) grad u , với u =(x,y,z) 2.3.Liên hệ với đạo hàm theo hướng f  a (x , y , z )  grad f(x , y , z )  a a    Lưu ý: Khái niệm đạo hàm theo hướng vectơ gradient hàm biến R hàm n biến R n ( n  3) tương trường hợp hàm biến R trình bày Ví dụ 5.41 Tìm vectơ gradient hàm số TOÁN CAO CAÁP A2 …………………………………………….………………………………………………….………… ……………Trang 203 a) f  x, y   x y  sin x b) f ( x, y, z )  x e y  y z  xz Giải a) Các đạo hàm riêng f 'x  xy  cos x , f ' y  x    f f  grad f   ,  = ( f x' , f y' )= xy  cos x, x  x y    b) Các đạo hàm rieâng f x'  xe y  z , f y'  x e y  y z , f z'  y z  xz    f f f  grad f   , ,  = ( f x' , f y' , f z' )= ( xe y  z , x e y  y z , y z  xz )  x y z  Bài Tập Bài Đạo hàm riêng có phải trường hợp đặc biệt đạo hàm theo hướng không ? Tai ? (xét hàm hai biến, hàm ba biến)   Baøi Nêu ý nghĩa nghĩa dạo hàm theo hướng vectô a  hàm số f trường hơp sau: a) f ( x, y ) mật độ muỗi ( x, y ) b) f ( x, y ) mật độ châu chấu ( x, y ) c) f ( x, y ) mật độ rầy nâu ( x, y ) d) f ( x, y ) mật độ dân cư ( x, y ) e) f ( x, y, z ) nồng độ O-xy ( x, y, z ) f) f ( x, y, z ) nồng độ ô nhiễm (một loại chất nhiễm đó) ( x, y, z ) Baøi           a) Tính đạo hàm theo hướng vectơ a = i - j hàm f(x,y) = x5 – 2y4 + 5x2y3 điểm M(1,2) b) Tính đạo hàm theo hướng vectơ a = i +8 j - k hàm f(x,y,z) = xeyz + y2exz điểm M(1, -1,2)  c) Tính đạo hàm theo hướng vectơ a = i +6 j -6 k hàm f(x,y,z) = 2x –3y +6z điểm điểm không gian 0xyz Bài a) Tìm góc tạo gradient haøm f(x,y,z) = x x  y2  z2 điểm A(1,2,2) B(-3,1,0) b) Tính gradient haøm f(x,y,z) = xy2z3exyz + x2 y c) Cho haøm f(x,y,z) = 2x2 +3y2 +z2 +xz + 3z –2x –6y Tìm tất điểm không    gian 0xyz mà grad f  TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….………………………………………………….………… ……………Trang 204 §8 MỘT SỐ ỨNG DỤNG HÌNH HỌC 1.Tiếp tuyến pháp diện đường cong  x  x(t )  Cho đường cong không gian có phương trình tham số laø (C):  y  y (t )  z  z (t )   , , , Taïi điểm M0(x(t0),y(t0),z(t0)), vectơ tiếp tuyến với (C) là: v =(x (t0),y (t0), z (t0)) x  x(t ) y  y (t ) z  z (t )   Phương trình tiếp tuyến với (C) M0 (): , , , x (t ) y (t ) z (t ) - Mặp phẳng qua M0 vuông góc với tiếp tuyến gọi pháp diện đường cong M0 có phương trình : x, (t0)(x – x(t0)) + y,(t0)(y – y(t0)) + z,(t0)(z –z(t0)) =  x  3t  Ví dụ 5.42 Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong (C) :  y  cos t , taïi  z  sin t  điểm ứng với t = π Giải  x'    , , , Đạo hàm :  y'  4 sin t Vectơ tiếp tuyến với (C) là: v =(x (t0),y (t0), z (t0)) = (3,2 ,2)  z'  cos t  Điểm ứng với t = π M o ( ,2,2 ) Phương trình tiếp tuyến với (C) M o ( ,2,2 ) laø (): x  y2 z2   2 Pháp diện đường cong M o ( ,2,2 ) laø : 3( x   )  ( y  2)  2( z  )  Giả sử hai mặt cong  S1  ,  S2  có phương trình tương ứng F  x, y, z   G  x, y, z   giao theo đường cong  C  Khi đó, tiếp tuyến  C  điểm M thuộc  C  giao tiếp diện  S1  ,  S2  M F F F  M  x  x0    M  y  y0    M  z  z0   x y z G G G  M  x  x0    M  y  y0    M  z  z0   x y z nên có vectơ phương TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….…………………………………………….………… ……………………… Trang 205  i  j  F v M0  x G M0  x  k F M0  y G M0  y F M0  z G M0  z Ví dụ 5.43 Cho đường cong  C  giao hai mặt F  x  y  10  , G  y  z     Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện với  C  M 3,1, 2 Giải Các đạo hàm riêng F ' x  x, F ' y  y , F ' z  ; G 'x  0, G ' y  y, G 'z  z  Các đạo hàm riêng điểm M 3,1, 2  F 'x  M   6, F ' y  M   2, F 'z  M   ; G 'x  M   0, G ' y  M   2, G 'z  M   Vectô phương tiếp tuyến M  i  j  v  k     i  24 j  12k Vậy M , tiếp tuyến có phương trình x 3 y 1 z2 ;   12 24 pháp diện có phương trình    x  3  24  y  1  12 z  2  2.Tieáp diện pháp tuyến mặt cong Cho mặt cong (S): F(x, y, z) = Phương trình mặt phẳng tiếp diện với (S) điểm M o ( xo , yo , zo ) laø : F F F ( x , y , z )( x  x ) + ( x , y , z )( z  z ) = ( x , y , z )( y  y ) + x z 0 y - Đường thẳng qua M o ( xo , yo , zo ) vuông góc với tiếp diện gọi pháp tuyến mặt cong M o có phương trình là: x  xo F (x o , y o , z o ) x Ví duï 5.43 = y  yo F (x o , y o , z o ) y = z  zo F (x o , y o , z o ) z Cho mặt cong (S): z  10  x  y TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….…………………………………………….………… ……………………… Trang 206 Viết phương trình pháp tuyến  phương trình tiếp diện ( ) mặt cong (S ) điểm M (2;2;2) Giải ( S ) : x  y  z  10  Vectơ phương  vectơ pháp tuyến ( )  n( F F F , , ) = (2 x,2 y,1) x y z  Taïi M (2;2;2) : n  (4;4;1) Phương trình tiếp tuyến ( ) : Phương trình pháp dieän x2 y2 z2   4 ( ) : 4( x  2)  4( y  2)  1( z  2)  Rút gọn ( ) : x  y  z  18  Ví dụ 5.44 Viết phương trình pháp tuyến  phương trình tiếp diện ( ) mặt paraboloic eliptic z điểm M  2,3,  thuộc paraboloic eliptic x2 y  Giải Tá có: z  2 2 x y x y    z0 9 Đặt F  x, y, z   x2 y  z Vectơ phương  vectơ pháp tuyến ( )  n(  F F F , , ) = ( x, y,1) x y z Taïi M (2;3;2) : n  (1; ;1) Phương trình tiếp tuyến ( ) : Phương trình pháp diện x2 y 3 z 2   1 ( ) : 1( x  2)  ( y  3)  1( z  2)  Rút gọn ( ) : x  y  z   TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….…………………………………………….………… ……………………… Trang 207 Hình bao họ đường cong 3.1 Định nghóa Cho họ đường cong phẳng phụ thuộc tham số a L(a) : F(x, y, a) = Nếu đường cong họ L(a) tiếp xúc với đường (E) cố định điểm đường E có đường họ L(a) tiếp xúc với (E) điểm ấy, E gọi hình bao họ đường L(a) Ví dụ - Họ đường tròn L(a) : (x – a)2 + y2 = R2, R cố định, a tham số, có đường hình bao đường thẳng (E) : y =  R - Họ đường thẳng L() : xcos + ysin =1,  tham số biểu diễn họ đường thẳng mà khoảng cách từ góc đến đường thẳng Hình bao L() đường tròn (E) : x2 + y2 = 3.2.Cách tìm hình bao Để tìm hình bao họ đường cong phụ thuộc tham số a L(a) : F(x,y,a) = ta khử tham số a F(x, y, a)   hệ :  F  a (x, y, a)  Sau loại bỏ điểm kỳ dị họ đường cong ta thu hình bao họ L(a)  F  x (x o , y o , a)  Điểm kỳ dị điểm (xo, yo) thỏa heä   F  (x o , y o , a)   y Baøi Baøi tập a2 2 a) Tìm hình bao họ đường cong :  x  a   y  b) Tìm hình bao họ đường thẳng : xcos + ysin = c) Tìm hìmh bao họ đường cong : y2 = a2(x – a) Bài Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong:  x  et  x  2t  3π  a) C:  y  cos t , điểm ứng với t = b) (L):  y  e -t , điểm M0 ứng với t =  z  t3  z  sin t   Baøi a) Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt : x2 – 4y2 + 2z2 = điểm (2,2,3) b) Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện mặt: z = 2x2 + 4y2 điểm (2,1,12) c) Tìm mặt phẳng tiếp xúc với mặt Elipsoid x2 + 2y2 + 3z2 = 21 vaø song song với mặt phẳng x + 4y + 6z = x d) Viết phương trình tiếp diện pháp tuyến với mặt cong z = y + ln z 2 Bài Viết phương trình tiếp diện mặt cong (S): z   x  y điểm M (0;1;3)   Bài Cho mặt cong (S): z   x  y TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….…………………………………………….………… ……………………… Trang 208 a) Viết phương trình pháp tuyến  phương trình tiếp diện ( ) mặt cong (S ) điểm M (1;1;2) b) Gọi (C) giao tuyến mặt (S ) mặt (S ' ) : z  x  y Vieát phương trình tiếp tuyến d phương trình pháp diện () đường cong (C) điểm N (1;1;2) Baøi a) Cho mặt cong (S): z   x  y Xác định vectô pháp tuyến mặt cong (S) điểm M (0;1;3) b) Viết phương trình mặt phẳng qua gốc tọa độ song song với tiếp diện mặt cong (S) M Baøi a) Cho mặt cong (S): z   x  y Viết phương trình pháp tuyến  phương trình tiếp diện ( ) mặt cong (S ) điểm M (0;1;2) b) Tìm (nếu có) tọa độ điểm N  (S ) cho tiếp diện (S ) N song song với mặt phẳng ( ) Baøi Cho mặt cong (S): z   x  y Viết phương trình pháp tuyến  phương trình tiếp diện ( ) mặt cong (S ) điểm M (1;2;4) Baøi 10  x  2t  5t   Cho đường cong  C  :  y  4t  2t Viết phương trình tiếp tuyến phương trình pháp  z  8t  4t  10t  diện (C) điểm A  0;6;3 TOÁN CAO CẤP A2 …………………………………………….…………………………………………….………… ……………………… Trang 209 Mục lục Ma trận Định thức 13 Ma trận nghịc đảo 17 Hệ phương trình tuyến tính .28 Hệ phương trình tuyến tính 38 Khoâng gian vectơ-Mở đầu 49-51 Khái niệm không gian vectơ 55 Độc lập tuyến tính-Phụ thuộc tuyến tính 64 Cơ sở-Số chiều-Hạng hệ vectô 74 Tọa độ-Chuyển sở .78 Khoâng gian Euclide 86 Tích có hương-Tích hỗn hợp 111 Các mặt bậc hai tắc 113 Trị riêng –vectơ rieâng 123 Chéo hóa ma trận 127 Dạng toàn phương 136 Phép tính vi phân hàm nhiều biến ứng dụng .148 Một số khái niệm 149 Hàm nhiều biến 153 Giới hạn- liên tuïc 162 Đạo hàm riêng, vi phân 167 Đạo hàm hàm hợp-Đạo hàm hàm ẩn 178 Cực trị hàm nhiều biến 186 Giá trị lơn nhất-Giá trị nhỏ 197 Đạo hàm theo hướng-Vectơ gradient 202 Một số ứng dụng hình học 205 TOAÙN CAO CAÁP A2 …………………………………………………………………………………………………………………………… Trang 210 ...Lời mở đầu Giáo trình ? ?Toán Cao cấp A2? ?? biên soạn nhằm phục vụ cho nhu cầu tài liệu học tập sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh Nội dung giáo trình gồm chương:... trận A (nếu có) (A-1) -1 = A  Nếu A khả nghịch AT khả nghịch (AT )-1 = (A-1)T  Neáu A = [aij]nxn, B = [bij]nxn, C =[cij]nxn khả nghịch tích AB, ABC khả nghịch -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 (AB) = B A ;... ad - bc c d a a  a  a a  = (a1 1a22 a33 + a1 2a23 a31 + a1 3a21 a32) a  -( a3 1a22 a13 + a3 2a23 a11 + a3 3a21 a12) Quy tắc đường chéo a11 a 21 a31 a12 a 22 a32 a13 a11 a12 a 23 a 21 a 22 =(a1 1a22 a33+a1 2a23 a31+a1 3a21 a32 )-( a3 1a22 a13+a3 2a23 a11+