Giáo trình Toán rời rạc: Phần 2 - ĐH Sư phạm kỹ thuật Nam Định

Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán rời rạc: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Các khái niệm cơ bản của lý thuyết đồ thị biểu diễn đồ thị trên máy tính, các thuật toán tìm kiếm trên đồ thị và ứng dụng, đồ thị euler và đồ thị hamilton, cây và cây khung của đồ thị bài toán đường đi ngắn nhất;...

Ch-ơng khái niệm lý thuyết đồ thị biểu diễn đồ thị máy tính 6.1 Các khái niệm lý thuyết đồ thị Lý thuyết đồ thị lĩnh vực đà đ-ợc nghiên cứu từ lâu có nhiều ứng dụng đại Chẳng hạn, đồ thị sử dụng để xác định mạch vòng vấn đề giải tích mạch điện Chúng ta phân biệt hai hợp chất hoá học có công thức phân tử nh-ng có cấu trúc khác nhờ đồ thị Chúng ta xác định xem hai máy tính mạng trao đổi thông tin đ-ợc với hay không nhờ mô hình đồ thị mạng máy tính Đồ thị với trọng số đ-ợc gán cho cạnh dùng để giải toán nh- toán tìm đ-ờng ngắn hai thành phố mạng giao thông Chúng ta sử dụng đồ thị để giải toán lập lịch, thời khoá biểu phân chia kênh cho đài truyền hình 6.1.1 Định nghĩa đồ thị Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh nối đỉnh Chúng ta phân biệt loại đồ thị khác kiểu số l-ợng cạnh nối cặp đỉnh đồ thị Nhiều toán thuộc lĩnh vực khác giải đ-ợc mô hình đồ thị Chẳng hạn, ng-ời ta dùng đồ thị để biểu diễn kết thi ®Êu thĨ thao Chóng ta cịng sÏ chØ dùng đồ thị để giải toán nh- toán tính số tổ hợp khác chuyến bay hai thành phố mạng hàng không, hay để giải toán ng-ời du lịch, toán tìm số màu cần thiết để tô vùng khác đồ, Định nghĩa 6.1 Đơn đồ thị vô h-ớng G = (V, E) bao gồm tập không rỗng V tập đỉnh, tập E tập cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh 101 Ví dụ 6.1 Giả sử mạng máy tính gồm máy tính đ-ờng điện thoại Ta biểu diễn vị trí máy tính điểm đ-ờng điện thoại cung nh- hình 6.1 Huế Hà nội TP HCM Nam Định Đà Nẵng Hải Phòng Thái Nguyên Hình 6.1 Trong mạng máy tính ta thấy có nhiều đ-ờng điện thoại hai máy, đ-ờng hoạt động theo hai chiều máy tính có đ-ờng điện thoại nối đến Do mạng mô hình đơn đồ thị vô h-ớng Định nghĩa 6.2 Đa đồ thị vô h-ớng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh, E họ cặp thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cạnh Hai cạnh e1 e2 đ-ợc gọi cạnh lặp chúng t-ơng ứng với cặp đỉnh Ví dụ 6.2 Với mạng máy tính ví dụ 6.1, tr-ờng hợp hai máy tính th-ờng xuyên phải truyền tải nhiều thông tin, ng-ời ta phải nối hai máy nhiều kênh thoại Mạng với đa kênh thoại máy đ-ợc minh hoạ hình 6.2 Huế Hà Nội TP HCM Nam Định Hải Phòng Thái Nguyên Hình 6.2 102 Đà Nẵng Định nghĩa 6.3 Giả đồ thị vô h-ớng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh, E họ cặp thứ tự gồm hai phần tử (không thiết phải khác nhau) V gọi cạnh Cạnh e đ-ợc gọi khuyên có dạng e=(u, u) Ví dụ 6.3 Một mạng máy tính có đ-ờng điện thoại từ máy tính đến Đó mạng hình 6.3 Trong tr-ờng hợp ta có giả đồ thị vô h-ớng nh- hình 6.3 Huế Hà Nội TP HCM Nam Định Đà Nẵng Hải Phòng Thái Nguyên Hình 6.3 Định nghĩa 6.4 Đơn đồ thị có h-ớng G = (V, E) bao gồm V tập đỉnh, E tập cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Ví dụ 6.4 Các đ-ờng điện thoại mạng máy tính hoạt động theo chiều Chẳng hạn hình 6.4 m¸y chđ ë TP HCM cã thĨ chØ nhËn liệu từ máy khác mà gửi liệu Các đ-ờng điện thoại chiều đ-ợc biểu diễn cặp cạch có chiều ng-ợc Khi ta có đơn đồ thị có h-ớng Huế Hà Nội Nam Định TP HCM Đà Nẵng Hải Phòng Thái nguyên Hình 6.4 Định nghĩa 6.5 Đa đồ thÞ cã h-íng G = (V, E) bao gåm V tập đỉnh, E họ cặp có thứ tự gồm hai phần tử khác V gọi cung Hai cung e1, e2 t-ơng ứng với cặp đỉnh đ-ợc gọi cung lặp 103 6.1.2 Các thuật ngữ Định nghĩa 6.6 Hai đỉnh u v đồ thị vô h-ớng G đ-ợc gọi kề (u, v) cạnh đồ thị G Nếu e =(u, v) cạnh đồ thị ta nói cạnh liên thuộc với hai đỉnh u v, nói cạnh e nối đỉnh u đỉnh v, đồng thời đỉnh u v đ-ợc gọi đỉnh đầu cạnh (u, v) Định nghÜa 6.7 Ta gäi bËc cđa ®Ønh v ®å thị vô h-ớng số cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên đỉnh đ-ợc tính hai lần cho bậc Bậc đỉnh kí hiệu deg(v) Ví dụ 6.5 Bậc đỉnh đồ thị G H Hình 6.5 bao nhiªu a g b a c f e d b c f e H G Hình 6.5 Giải: Trong G, deg(a) = 1, deg(b) = deg(e) = deg(c) = 4, deg(f) =3, deg(g) = Trong H, deg(a) = 1, deg(b) = 6, deg(e) = deg(f) = 5, deg(c) = Đỉnh bậc gọi đỉnh cô lập Đỉnh bậc đ-ợc gọi đỉnh treo Định lý 6.1 Giả sử G =(V, E) đồ thị vô h-ớng với m cạnh Khi 2m= deg(V ) vV Chứng minh: Rõ ràng cạnh e = (u, v) đ-ợc tính lần deg(u) lần deg(v) Từ suy tổng tất bậc đỉnh lần số cạnh Ví dụ 6.6 Có cạnh đồ thị vô h-ớng có n đỉnh, đỉnh có bậc Giải: Vì tổng tất bậc đồ thị 6.n, nên theo định lý suy 2.m = 6.n hay m = 3.n Vậy số cạnh đồ thị 3.n Định lý 6.2 Một đồ thị vô h-ớng có số chẵn đỉnh bậc lẻ 104 Chứng minh: Giả sử V1 V2 t-ơng ứng tập đỉnh bậc chẵn tập đỉnh bậc lẻ đồ thị vô h-ớng G = (V, E) ®ã: 2m   deg( v)   deg( v) vV vV1 Vì deg(v) chẵn với v  V1 nªn suy  deg( v) vV2  deg( v) chẵn Do 2m số vV1 chẵn, deg( v) chẵn, deg(v) lẻ với v V2 nên số đỉnh bậc lẻ vV2 số chẵn Định nghĩa 6.8 Nếu e = (u, v) cung đồ thị có h-ớng G ta nói hai đỉnh u v kề nhau, nói cung (u, v) nối đỉnh u với đỉnh v nói cung khỏi đỉnh u vào đỉnh v Đỉnh u đ-ợc gọi đỉnh đầu, đỉnh v đ-ợc gọi đỉnh cuối cung (u, v) Đỉnh đầu đỉnh cuối khuyên trùng Vì cạnh đồ thị có h-ớng cặp có thứ tự, nên định nghĩa bậc đỉnh cần phải phản ánh đ-ợc số cạnh nhận đỉnh đỉnh đầu (ra khỏi đỉnh này) số cạnh nhận đỉnh đỉnh cuối (đi vào đỉnh này) Định nghĩa 6.9 Trong đồ thị có h-ớng ta gọi bậc đỉnh v kí hiệu deg+(v) số cung đồ thị khỏi nó, ta gọi bậc vào đỉnh v kí hiệu deg-(v) số cung đồ thị vào Ví dụ 6.7 Tìm bậc vào bậc đỉnh đồ thị có h-ớng cho hình 6.6 a b e d c Hình 6.6 Giải : deg+(a) = 3, deg+(b) = deg+(c) = deg+(d) = 1, deg+(e) = deg-(a) = 1, deg-(b) = 1, deg-(c) = 2, deg-(d) = 2, deg-(e) = Định lý 6.3 Giả sử G = (V, E) đồ thị có h-ớng Khi đó: deg vV (v)   deg  (v)  E vV 105 Chøng minh: Vì cung có đỉnh đầu đỉnh cuối nên tổng bậc vào tổng bậc tất đỉnh đồ thị có h-ớng số cạnh Một số tính chất đồ thị có h-ớng không phụ thuộc vào h-ớng cung Do đó, thuận lợi ta bỏ qua h-ớng cung đồ thị Đồ thị thu đ-ợc cách đ-ợc gọi đồ thị vô h-ớng t-ơng ứng Đồ thị có h-ớng đồ thị vô h-ớng t-ơng ứng có số cạnh 6.1.3 Đ-ờng đi, chu trình, đồ thị liên thông Định nghĩa 6.10 Đ-ờng độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên d-ơng, đồ thị vô h-ớng G =(V, E) dÃy: x0, x1, …, xn-1, xn ®ã u = x0, v = xn, (xi, xi+1) E ; i=0, 1, 2, , n-1 Đ-ờng nói biểu diễn d-ới dạng dÃy cạnh (x 0, x1), (x1, x2),,(xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v đỉnh cuối đ-ờng Đ-ờng có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v) đ-ợc gọi chu trình Đ-ờng chu trình gọi qua đỉnh x0, x1, , xn-1, xn Đ-ờng hay chu trình đ-ợc gọi đơn không chứa cạnh lần Ví dụ 6.8 Trên đồ thị vô h-ớng cho h×nh 6.7 ta cã a, d, c, f, e đ-ờng đơn độ dài Còn d, e, c, a không đ-ờng , (e, c) cạnh đồ thị DÃy b, c, f, e, b chu trình độ dài §-êng ®i a, b, e, d, a, b cã ®é dài là đuờng đơn, cạnh (a, b) có mặt hai lần a b c Hình 6.7 d e f Khái niệm đ-ờng đồ thị có h-ớng đ-ợc định nghĩa hoàn toàn t-ơng tự nh- đồ thị vô h-ớng khác ta có ý đến h-ớng cung Định nghĩa 6.11 Đ-ờng độ dài n từ đỉnh u đến đỉnh v, n số nguyên d-ơng, đồ thị có h-ớng G = (V, E) dÃy x0, x1,, xn-1, xn 106 Trong u = x0, v = xn, (xi, xi+1)  E, i = 0, 1, 2,, n-1 Đ-ờng nói cã thĨ biĨu diƠn d·y c¸c cung: (x0, x1), (x1, x2),(xn-1, xn) Đỉnh u gọi đỉnh đầu, đỉnh v gọi đỉnh cuối đ-ờng Đ-ờng có đỉnh đầu trùng với đỉnh cuối (tức u = v ) đ-ợc gọi chu trình Đ-ờng hay chu trình đ-ợc gọi đơn không chứa cung lần Ví dụ 6.9 b a e c d Hình 6.8 Trên đồ thị cã h-íng cho h×nh 6.8 ta cã a, b, c, d đ-ờng đơn độ dài Còn a, b, c, d, b , a chu trình độ dài Đ-ờng a, b, e, c, a, b có độ dài là đ-ờng đơn, cung (a, b) có mặt lần Định nghĩa 6.12 Đồ thị vô h-ớng G = (V, E) đ-ợc gọi liên thông có đ-ờng cặp đỉnh phân biệt đồ thị Ví dụ 6.10 Trong hình 6.9: Đồ thị G liên thông, đồ thị H không liên thông Đồ thị H gồm thành phần liên thông H1, H2, H3 x y z a b g v w d c h k u t H1 G H×nh 6.9 i H2 H l H3 Định lý 6.4 Giữa cặp đỉnh phân biệt đồ thị vô h-ớng liên thông có đ-ờng đơn Chng minh: Giả sử u v hai đỉnh ph©n biệt ca mt th vô h-ớng liên thông G = (V, E) Vì G liên thông nên có nht đ-ờng u 107 v Gọi x0, x1, , xn, với x0=u xn=v, dÃy đỉnh đ-ờng i có d i ngắn nht DÃy đ-ờng đơn cần tìm Tht vy, gi s không l đ-ờng ®¬n, xi=xj với  i < j iu n y có ngha l nh u v v có đ-ờng i ngắn hn qua nh x0, x1, , xi-1, xj, , xn nhận cách xóa i cnh t-ơng ứng với dÃy đỉnh xi, , xj-1 Định nghĩa 6.13 Ta gọi đồ thị đồ thị G=(V, E) đồ thị H=(W, F) W V F E Một đồ th không liên thông l hp ca hai hay nhiu th liên thông, mi cp th n y nh chung Các th liên thông ri nh vy c gi l th nh phn liên thông ca th ang xét Nh- vậy, đồ thị l liên thông v ch ch có mt th nh phn liên thông Ví dụ 6.11 Đồ thị H hình 6.9 gồm thành phần liên thông H1, H2, H3 Trong mạng máy tính có máy (những kênh nối) mà hỏng hóc ảnh h-ởng đến việc trao đổi thông tin mạng Các khái niệm t-ơng ứng với tình đ-ợc đ-a định nghĩa sau Định nghĩa 6.14 Đỉnh v đ-ợc gọi đỉnh rẽ nhánh việc loại bỏ v với cạnh liên thuộc với khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Cạnh e đ-ợc gọi cầu việc loại bỏ khỏi đồ thị làm tăng số thành phần liên thông đồ thị Ví dụ 6.12 Trong đồ thị G hình 6.9, đỉnh u, x, v đỉnh rẽ nhánh cạnh (x, z) (v, w) cầu Đối với đồ thị có h-ớng có hai khái niệm liên thông phụ thuộc vào việc ta có xem xét đến h-ớng cung hay không Định nghĩa 6.15 Đồ thị có h-ớng G = (V, E) đ-ợc gọi liên thông mạnh tìm đựơc đ-ờng hai đỉnh Định nghĩa 6.16 Đồ thị có h-ớng G=(V, E) đ-ợc gọi liên thông yếu đồ thị vô h-ớng t-ơng ứng với đồ thị vô h-ớng liên thông 108 Rõ ràng muốn đồ thị liên thông mạnh liên thông yếu, nh-ng điều ng-ợc không ®óng, nh- chØ thÝ dơ d-íi ®©y VÝ dụ 6.13: Trong hình 6.10 đồ thị G liên thông mạnh, H liên thông yếu nh-ng không liên thông mạnh G H Hình 6.10 Vấn đề đặt định h-ớng cạnh đồ thị vô h-ớng liên thông để thu đ-ợc đồ thị có h-ớng liên thông mạnh Ta gọi đồ thị nh- đồ thị định h-ớng đ-ợc Định lý 6.5 Đồ thị vô h-ớng liên thông định h-ớng đ-ợc cạnh nằm chu trình Chứng minh Điều kiện cần Giả sử (u, v) cạnh đồ thị Từ tồn đ-ờng có h-ớng từ u đến v ng-ợc lại suy (u, v) phải nằm chu trình Điều kiện đủ Thủ tục sau cho phép định h-ớng cạnh đồ thị để thu đ-ợc đồ thị có h-ớng liên thông mạnh Giả sử C chu trình đồ thị Định h-ớng cạnh chu trình theo h-ớng vòng theo Nếu tất cạnh đồ thị đà đ-ợc định h-ớng kết thúc thủ tục Ng-ợc lại, chọn e cạnh ch-a định h-ớng có chung đỉnh với số cc cnh đ định hướng Theo gi thiết tìm chu trình C chứa cạnh e Định h-ớng cạnh ch-a đ-ợc định h-ớng ca C theo h-ớng dọc theo chu trình (không định h-ớng lại cạnh đà có h-ớng) Thủ tục đ-ợc lặp lại tất cạnh đồ thị đ-ợc định h-ớng Khi ta thu đ-ợc đồ thị có h-ớng liên thông mạnh 109 6.1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt Đồ thị đầy đủ Đồ thị đầy đủ n đỉnh, ký hiệu Kn, đơn đồ thị chứa cạnh nối cặp đỉnh phân biệt Đồ thị đầy đủ K n có tất n(n-1)/2 cạnh, đỉnh Kn có bậc n-1 Ví dụ 6.14 Các đồ thị K3, K4, K5 cho hình 6.11 đồ thị đầy đủ K3 K4 K5 Hình 6.11 Đồ thị vòng Đồ thị vòng Cn, n 3, gồm n đỉnh v1, v2, , cạnh (v1, v2), (v2, v3),(vn-1, vn), (vn, v1) Mỗi đỉnh Cn có bậc Ví dụ 6.15 Đồ thị vòng C3, C4, C5 cho hình 6.12 C3 C4 C5 Hình 6.12 Đồ thị bánh xe Đồ thị Wn thu đ-ợc từ Cn cách bổ xung vào đỉnh nối với tất đỉnh Cn Nh- vËy, ®å thi Wn cã n+1 ®Ønh, 2n cạnh, đỉnh bậc n n đỉnh bậc Ví dụ 6.16 Đồ thị bánh xe W3, W4, W5 W3 W4 H×nh 6.13 110 W5 ... c) Một toán tối -u rời rạc Trong mục ta trình bày thuật toán ? ?-? ??c xây dựng dựa thuật toán tìm luồng cực giải toán tối -u rời rạc mô hình toán học cho số toán tối -u tổ hợp Xét toán tối -u rêi... Ng-ợc lại, chọn e cạnh ch-a định h-ớng có chung đỉnh với số cc cnh đ định hướng Theo gi thiết tìm chu trình C chứa cạnh e Định h-ớng cạnh ch-a ? ?-? ??c định h-ớng ca C theo h-ớng dọc theo chu trình. .. lặp 11 1.4 .2 Chỉnh hợp khơng lặp 12 1.4.3 Hốn vị 13 1.4.4 Tổ hợp 13 Chƣơng BÀI TOÁN ĐẾM 2. 1 Giới thiệu toán 17 2. 2 Nguyên lý bù trừ 18 2. 3 Qui toán đơn giản 22 2. 4 Cơng thức truy hồi 25 2. 4.1 Các