Giáo trình toán rời rạc phần 2 lâm thị ngọc châu

Chương 3: Vị từ lượng từ CHƯƠNG : VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 3.1 Tổng quan • Mục tiêu chương Học xong chương này, sinh viên phải nắm bắt vấn đề sau: - Thế vị từ, không gian vị từ, trọng lượng vị từ - Thế lượng từ, lượng từ tồn tại, lượng từ với - Cách biểu diễn câu thông thường thành biểu thức logic • Kiến thức cần thiết Các kiến thức chương bao gồm: - Các phép tốn đại số, hình học để xác định giá trị đúng, sai phát biểu - Có khả suy luận - Nắm vững phép tốn logic chương • Tài liệu tham khảo Phạm văn Thiều, Đặng Hữu Thịnh Toán rời rạc ứng dụng tin học Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội - 1997 (chương 1.3, trang 32 52) • Nội dung cốt lõi - Định nghĩa vị từ, không gian vị từ, trọng lượng vị từ - Định nghĩa lượng từ, lượng từ với mọi, lượng từ tồn - Dịch câu thông thường thành biểu thức logic 3.2 Các định nghĩa Trong toán học hay chương trình máy tính, thường gặp câu có chứa biến sau : "x>3", "x=y+3", "x+y=z" Các câu không khơng sai biến chưa gán cho giá trị xác định Trong chương này, xem xét cách tạo mênh đề từ câu Trang: 48 Chương 3: Vị từ lượng từ 3.2.1 Định nghĩa vị từ (Prédicat) Một vị từ khẳng định P(x,y, ) có chứa số biến x,y, lấy giá trị tập họp A,B, cho trước, cho : - Bản thân P(x,y, ) mệnh đề - Nếu thay x, y , giá trị cụ thể thuộc tập họp A, B, cho trước ta mệnh đề P(x, y, ), nghĩa chân trị P(x, y, ) hoàn toàn xác định Các biến x, y, gọi biến tự vị từ Ví dụ 1: Các câu có liên quan đến biến như: "x>3", "x + y = 5" thường gặp tốn học chương trình máy tính Các câu khơng khơng sai biến chưa cho giá trị xác định Nói cách khác, vị từ xem hàm mệnh đề có nhiều biến khơng có biến nào, sai tùy thuộc vào giá trị biến lập luận vị từ Ví dụ 2: Câu {n chẳn} vị từ Nhưng, cho n số cụ thể chẳn lẻ ta mệnh đề: n = :{2 chẳn}: mệnh đề n = :{5 chẳn}: mệnh đề sai Vị từ {n chẳn} có phần Phần thứ biến x chủ ngữ câu Phần thứ hai "là chẳn" gọi vị từ, cho biết tính chất mà chủ ngữ có Ký hiệu: P(n) = {n chẳn} Tổng quát, người ta nói P(n) giá trị hàm mệnh đề P n Một biến n gán trị P(n) mệnh đề Ví dụ 3: Cho vị từ P(x) = {x>3} Xác định chân trị P(4) P(2) Giải: P(4) = {4>3} : mệnh đề P(2) = {2>3} : mệnh đề sai 3.2.2 Không gian vị từ (Prédi cat) Người ta xem vị từ ánh xạ P, với phần tử x thuộc tập hợp E ta ảnh P(x)∈{∅, 1} Tập hợp E gọi không gian vị từ Không gian rõ giá trị biến x làm cho P(x) trở thành mệnh đề sai Trang: 49 Chương 3: Vị từ lượng từ 3.2.3 Trọng lượng vị từ (Prédi cat) Chúng ta thường gặp câu có nhiều biến Vị từ xuất hàm nhiều biến, số biến gọi trọng lượng vị từ Ví dụ 1: Vị từ P(a,b) = {a + b = 5} vị từ biến không gian N Ta nói P có lượng Trong vị từ P(x1, x2, , xn) có trọng lượng n Nếu gán giá trị xác định cho biến nhiều biến ta vị từ Q(x1, x2, xn) có trọng lượng (n-1) Qui luật áp dụng n=1 ta có mệnh đề Vậy, thực chất mệnh đề vị từ có trọng lượng ∅ Ví dụ 2: Cho vị từ P(x, y, z ) = {x + y = z} Cho x=∅: Q(y,z) = P(∅, y, z) = {∅ + y = z} y=∅: R(z) = Q(∅, z) = P(∅, ∅, z) = {∅ + ∅ = z} z=∅: T = P(∅, ∅, 1) = {∅ + ∅ = 1} mệnh đề sai Câu có dạng P(x1, x2, , xn) gọi giá trị hàm mệnh đề P (x1, x2, , xn) P gọi vị từ 3.2.4 Phép toán vị từ Phép toán vị từ sử dụng phép toán logic mệnh đề mở rộng phép toán mệnh đề để thể rõ tri thức Ví dụ 1: Cần viết câu "nếu hai người thích người họ khơng thích nhau" dạng logic vị từ Trước viết câu ta tìm hiểu câu đơn giản viết sau: "Nam thích Mai" viết theo phép tốn vị từ là: thích (Nam, Mai) "Đơng thích Mai" viết theo phép tốn vị từ là: thích (Đơng, Mai) Tổng quát khẳng định viết sau: Thích (X, Z) AND thích (Y, Z) → NOT thích (X, Y) ⇔ (Thích (X, Z) ∧ thích (Y, Z) → ¬ thích (X, Y) Ví dụ 2: Cho vị từ "Quả bóng màu xanh" Phép tốn vị từ cho phép mô tả theo quan hệ tri thức theo dạng: (quả bóng, xanh) Cách thể thuận tiện việc dùng biến hàm xử lý tri thức Trong lĩnh vực trí tuệ nhân tạo, để lập trình vị từ người ta sử dụng ngơn ngữ Trang: 50 Chương 3: Vị từ lượng từ Prolog Đó ngơn ngữ cấp cao có đặc điểm gần với ngôn ngữ tự nhiên, ông C.Cameraller (Đại học Marseilles, Pháp) nhóm đồng cho đời năm 1973 Ví dụ: Ta có tam đoạn luận sau: "Người ta chết Socrates người Vậy Socrates phải chết" Trong phần không sâu vào ngơn ngữ Prolog (vì học kỹ mơn ngơn ngữ lập trình) mà giới thiệu khái niệm lập trình Prolog có sử dụng vị từ a) Hằng: Là giá trị xác định không gian vị từ ký hiệu chữ thường dùng để đặt tên đối tượng đặc biệt hay thuộc tính b) Biến: Dùng để thể lớp tổng quát đối tượng hay thuộc tính Biến viết ký hiệu bắt đầu chữ in hoa Vậy dùng vị từ có biến để thể vị từ tương tự Ví dụ: Vị từ "Quả bóng màu xanh" viết lại: "X màu Y" Quả bóng xanh xác định khơng gian vị từ X, Y biến c) Các vị từ: Một kiện hay mệnh đề phép toán vị từ chia thành phần Vị từ tham số Tham số thể hay nhiều đối tượng mệnh đề, vị từ dùng để khẳng định đối tượng Ví dụ: Câu "X thích Y" có dạng thích (X, Y) Thích vị từ cho biết quan hệ đối tượng ngoặc Đối số ký hiệu thay cho đối tượng toán d) Hàm: Được thể ký hiệu, cho biết quan hệ hàm số Ví dụ: Hoa mẹ Mai, Đông cha Cúc Hoa Đông bạn Ta co hàm số viết để thể quan hệ Mẹ (Mai) = Hoa Cha (Cúc) = Đông Trang: 51 Chương 3: Vị từ lượng từ Bạn (Hoa, Đông) Các hàm dùng vị tự là: Bạn (Mẹ (Mai), Cha (Cúc) 3.3 Các lượng từ Khi tất môtk hàm mệnh đề điều gán cho giá trị xác định Ta chân trị hàm mệnh đề Tuy nhiên, cịn có cách khác để biến vị từ thành mệnh đề mà người ta gọi lượng hóa (hay lượng từ) 3.3.1 Lượng từ tồn ( ∃ ) Câu xác định "Tập hợp biến x làm cho P(x) không tập hợp rỗng" mệnh đề Hay "Tồn phần tử x không gian cho P(x) đúng" mệnh đề gọi lượng từ tồn P(x) Ký hiệu: ∃x P(x) 3.3.2 Lượng từ với ( ∀ ) Câu xác định "Tập hơp x làm cho P(x) tất tập hợp E" mệnh đề Hay "P(x) với giá trị x không gian" mệnh đề gọi lượng từ với P(x) Ký hiệu: ∀xP(x) Ví dụ: Cho vị từ P(x) = {số nguyên tự nhiên x số chẵn} Xét chân trị hai mệnh đề ∀xP(x) ∃xP(x) Giải: ∀x P(x) = {tất số nguyên tự nhiên x số chẵn} mệnh đề sai x = ∃x P(x) = {hiện hữu số nguyên tự nhiên x số chẵn} mệnh đề x = 10 Chú ý: Cho P vị từ có khơng gian E Nếu E = {e1, e2, en}, mệnh đề ∀xP(x) tất mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) Nghĩa ∀x P(x) ⇔ P(e1) ∧ P(e2) ∧ ∧ P(en) Tương tự ∃xP(x) có mệnh đề P(e1), P(e2), P(en) Nghĩa ∃xP(x) ⇔ P(e1)∨ P(e2) ∨ ∨ P(en) Trang: 52 Chương 3: Vị từ lượng từ - Nếu khơng gian E tập trống ∀xP(x) ∃xP(x) có chân trị ? (Sinh viên tự giải đáp) Ví dụ: Cho P(a,b) = {cặp số nguyên tương ứng thỏa a + b = 5} Hãy xác định chân trị mệnh đề sau: ∀(a,b) P(a,b) {Tất cặp số nguyên tượng ứng ∃(a,b) P(a,b) {Hiện hữu cặp số nguyên tương ứng (a,b) cho a + b V F = 5} ∃b∀a P(a,b) {Hiện hữu cặp số nguyên tương ứng b cho cho F số nguyên tương ứng a ta có a + b = 5} ∀a∃b P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng a, hữu số nguyên tưng V ứng b cho a + b = 5} ∃a∀b P(a,b) {Hiện hữu cặp số nguyên tương ứng a cho cho F số nguyên tương ứng b ta có a + b = 5} ∀b∃a P(a, b) {Mọi số nguyên tương ứng b, hữu số nguyên tưng V ứng a cho a + b = 5} Định lý 1: Cho vị từ P(a, b) có trọng lượng Khi đó: a) ∀a∀b P(a,b) ∀b∀a P(a, b) có chân trị Nghĩa : ∀a∀b P(a,b) ↔∀b∀a P(a, b) Ký hiệu: ∀(a,b) P(a,b) b) ∃a∃b P(a,b) ∃b∃a P(a, b) có chân trị Nghĩa là: ∃a∃b P(a,b) ↔ ∃b∃a P(a, b) Ký hiệu: ∃(a,b) P(a,b) c) Nếu ∃a∀b P(a,b) ∀b∃a P(a,b) điều ngược lại chưa Nghĩa : ∃a∀b P(a,b) → ∀b∃a P(a,b) d) Nếu ∃b∀a P(a,b) ∀a∃b P(a,b) điều ngược lại chưa Nghĩa : ∃b∀a P(a,b) → ∀a∃b P(a,b) Trang: 53 Chương 3: Vị từ lượng từ Định lý 2: ¬ (∀ x P(x)) ∃ x (¬ P(x) có chân trị ¬ (∃ x P(x)) ∀ x (¬ P(x) có chân trị Giải thích: Phủ định với ∀x P(x) nói tập hợp x làm cho P(x) không tất tập hợp E Vậy nói hữu phần tử x ∈ E mà chúng P(x) sai hay nói hữu phần tử x ∈ E mà chúng P(x) ¬ ∃ x P(x) nói tập hợp x mà chúng P(x) là tập hợp trống Nghĩa là, tập hợp x mà chúng P(x) sai tập hợp E hay khơng có phần tử làm P(x) Ta có ∀ x (¬ P(x)) Ví dụ: Phủ định "Mọi số nguyên n chia chẵn cho 3" "Tồn số ngun n khơng chia chẵn cho 3" - Phương pháp ứng dụng Để đạt phủ định mệnh đề xây dựng liên kết biến vi từ với phương tiện định lượng, người ta thay định lượng với ∀ tồn ∃, tồn ∃ với với ∀ sau thay vị từ phủ định vị từ Định lý 3: Cho P Q hai vị từ có khơng gian Mệnh đề ∀x (P(x) ∧ Q(x)) (∀x (P(x) ∧ ∀x (Q(x)) có chân trị Nếu mệnh đề ∃x (P(x) ∧ Q(x)) ta có mệnh đề: (∃x P(x)) ∧ (∃xQ(x)) Mệnh đề ∃x (P(x) ∨ Q(x)) (∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)) có chân trị Nếu mệnh đề ∀x (P(x) ∨ Q(x)) ta có mệnh đề ∀xP(x) ∨ ∀xQ(x) đúng, điều ngược lại khơng ln ln Chú thích: Nếu P Q hai vị từ có khơng gian E Ta có : - Tập họp A⊂ E : Tập hợp phần tử x thuộc E mà chúng P(x) - Tập họp B⊂ E: Tập hợp phần tử x thuộc E mà chúng Q(x) Trang: 54 Chương 3: Vị từ lượng từ Khi người ta lưu ý rằng, A∧B tập hợp x thuộc E mà chúng mệnh đề P(x)∧Q(x) Trong A∨B tập hợp x E mà mệnh đề P(x)∨Q(x) 3.4 Dịch câu thông thường thành biểu thức logic Sau giới thiệu lượng từ, biểu diễn tập hợp rộng lớn câu thông thường thành biểu thức logic Việc làm nhằm mục đích loại điều chưa rõ ràng người ta sử dụng câu suy luận việc lập trình logic trí tuệ nhân tạo Ví dụ 1: Biểu diễn câu "Mọi người có xác người bạn tốt nhất" thành biểu thức logic Giải: Giả sử B(x,y) câu "y bạn tốt x" Để dịch câu ví dụ cần ý B(x,y) muốn nói cá nhân x có cá nhân khác y cho y bạn tốt x, z cá nhân khác y z khơng phải bạn tốt x Do đó, câu ví dụ dịch thành: ∀x ∃y ∀z [B(x,y) ∧ ((z ≠ y) → ¬ B(x, z))] Ví dụ 2: Biểu diễn câu: "Nếu người phụ nữ sinh con, người mẹ người khác" thành biểu thức logic: Giải: Giả sử F(x) = "x phụ nữ" P(x) = "x sinh con" M(x,y) = "x mẹ y" Vì ví dụ áp dụng cho tất người nên ta viết thành biểu ∀x (F(x) ∧ P(x)) → ∃y M(x,y) thức sau: Ví dụ 3: Xét câu sau Hai câu tiền đề câu ba kết luận Toàn tập hợp câu gọi suy lý "Tất sư tử Hà Đông dữ" "Một số sư tử Hà Đông không uống cà phê" "Một số sinh vật không uống cà phê" Giải: Gọi P(x)= {x sư tử hà đông} Q(x)= {x dữ} R(x)= {x uống cà phê} Giả sử khơng gian tập hợp tồn sinh vật, ta có cách suy diễn sau: Trang: 55 Chương 3: Vị từ lượng từ ∀x ( P(x) → Q(x) ∃x ( P(x) ∧ ¬ R(x)) ∃x ( Q(x) ∧ ¬ R(x)) 3.5 Tổng kết chương Có số điều cần lưu ý việc phủ định lượng từ định lý Ví dụ : Hãy xét phủ định câu sau : "Tất sinh viên lớp học mơn Tốn rời rạc 2" Câu câu sử dụng lượng từ với sau: ∀xP(x) Trong P(x) = { x học mơn Tốn rời rạc } Phủ định câu : " Không phải tất sinh viên lớp học mơn Tốn rời rạc 2" Điều có nghĩa :" Có sinh viên lớp chưa học Tốn rời rạc 2" Đây lượng từ tồn phủ định hàm mệnh đề ban đầu viết sau : ∃x¬P(x) Ta có : ¬ ∀xP(x) ⇔ ∃x¬P(x) ¬ ∃xP(x) ⇔ ∀x¬P(x) Phép phủ định lượng từ minh họa rõ bảng thích sau: Phủ định ¬ ∃xP(x) Mệnh để tương Khi phủ định Khi sai đương ∀x¬P(x) P(x) sai với x Có x để P(x) Có x để P(x) sai ¬ ∀xP(x) ∃x¬P(x) P(x) với x 3.6 Bài tập chương Cho vị từ P(x) xác định sau: P(x) = {x ≤ 3} Q(X) = {x+ số lẻ} Nếu không gian tập số nguyên, xác định chân trị mệnh đề sau: Trang: 56 Chương 3: Vị từ lượng từ c) ¬ P(3) a) P(1) b) Q(1) d) Q(6) e) P(7)∧Q(7) f) P(3)∧Q(4) g) P(4) h) ¬ (P(-4)∨Q(-3) i) ¬ P(-4) ∧¬ Q(-3) Các vị từ P(x), Q(x) cho tập R(x) = {x > 0} Nếu không gian tập số nguyên a) Xác định chân trị mệnh đề sau: P(3) ∨ [Q(3)∨¬ R(3)] ¬P(3) ∧ [Q(3) ∨ [Q(3) ∨ R(3)] P(2) → [Q(2) → R(2)] [P(2) ⇔ Q(2)] → R(2) P(0) → [¬ Q(1) ⇔ R(1) [P(-1) ⇔ Q(-2) ⇔ R(-3) b) Xác định tất giá trị x cho [P(x) ∧ Q(x)] ∧ R(x) mệnh đề c) Tìm giá trị nguyên dương nhỏ cảu x cho vị từ P(x) → [¬ Q(x) ∧ R(x) mệnh đề Cho vị từ P(x) xác định sau: P(x) = {x2 = 2x} không gian tập hợp số nguyên Xác định giá trị đúng, sai mệnh đề: a) P(0) b) P(1) c) P(2) d) P(-2) e) ∃x P(x) f) ∀x P(x) Cho vị từ biến P(x,y) Q(x,y) xác định sau: P(x,y) = {x2 ≥ y} Q(x,y) = {x+2