Giáo trình Toán cao cấp C1 - Trường ĐH Sư phạm Kỹ thuật TP.HCM

Nội dung giáo trình này gồm có 6 chương, cung cấp cho người học những kiến thức như: Ma trận-định thức; Hệ phương trình tuyến tính; Không gian vecto-Không gian Euclide và hình học giải tích; Trị riêng, vecto riêng, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương; Phép tính vi phân hàm một biến và ứng dụng;...

Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật TP.Hồ Chí Minh Khoa Khoa Học Cơ Bản Bộ Môn Toán GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP C1 Biên soạn: Ngô Hữu Tâm Trương Vónh An (Lưu hành nội - Tháng 9/ 2016) Lời mở đầu Giáo trình “Toán Cao cấp C1” biên soạn nhằm phục vụ cho nhu cầu tài liệu học tập sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh Nội dung giáo trình gồm chương: Chương : Ma trận – Định thức Chương : Hệ phương trình tuyến tính Chương 3: Không gian vec tơ-Không gian Euclide hình học giải tích Chương 4: Trị riêng, vec tơ riêng, chéo hóa ma trận, dạng toàn phương Chương 5: Phép tính vi phân hàm biến ứng dụng Chương 6: Cấp số, dịng tiền ứng dụng Nội dung môn học phong phú Tuy nhiên, thời lượng dành cho môn học có tín (45 tiết lên lớp) Do đó, để tiếp thu tốt môn học, bạn sinh viên cần đọc kỹ học giáo trình trước đến lớp Các bạn cần làm tập đầy đủ để hiểu rõ nắm vững khái niệm, nội dung, ý nghóa toán suy nghó việc ứng dụng vào đời sống Trước chương hay tác giả nêu nội dung, kiến thức mà sinh viên cần phải đạt Dựa vào mà bạn sinh viên biết phải học gì, cần phải hiểu rõ khái niệm nào, nội dung cần phải nắm vững toán dạng phải làm Trong chương, tác giả đưa vào nhiều ví dụ phù hợp để minh họa làm sáng tỏ khái niệm vừa trình bày đồng thời nhiều ứng dụng vào thực tế Sau chương hay học có phần tập chọn lọc phù hợp để sinh viên tự luyện tập nhằm đạt hiểu biết sâu rộng khái niệm đọc qua thấy ứng dụng rộng rãi kiến thức vào thực tế Mục tiêu chúng viết giáo trình này:  Dễ đọc, dễ hiểu, tự học với hỗ trợ chút giáo viên; TOÁN CAO CẤP C1 …………………………………………….…………………………………………….………… ……………… Trang  Người đọc nắm vững tất kiến thức môn học mà tốn thời gian Do đó, chọn cách trình bày hình thức khái niệm không phức tạp cho ngắn gọn đỡ thời gian; khái niệm phức tạp (chẳng hạn không gian vectơ) chọn cách trình bày từ cụ thể, trực quan, trừu tượng dần để bảo đảm bạn đọc hiểu  Đọc giáo trình hành trình khám phá tri thức khả ứng dụng vào sống Người đọc cảm thấy thích thú, hạnh phúc, tư logic trí tưởng tượng khả sáng tạo tăng lê rõ rệt  Người đọc biết ứng dụng học làm công cụ để học tiếp môn khác biết ứng dụng vào thực tế Tuy có nhiều cố gắng công tác biên soạn , chắn giáo trình thiếu sót Chúng xin trân trọng tiếp thu ý kiến đóng góp bạn sinh viên đồng nghiệp để giáo trình ngày hoàn chỉnh Thư góp ý xin gửi : Ngô Hữu Tâm Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật TP Hồ Chí Minh Khoa Khoa học Cơ Bộ môn Toán Email: tamnh@hcmute.edu.vn huutamngo@yahoo.com.vn TOÁN CAO CẤP C1 …………………………………………….…………………………………………….………… ……………… Trang Chương MA TRẬN - ĐỊNH THỨC Chương gồm nội dung sau:  Khái niệm ma trận, số ma trận đặc biệt;  Các phép toán ma trận, tính chất;  Phép biến đổi sơ cấp hàng, ma trận tương đương hàng;  Ma trận rút gọn bậc thang, hạng ma trận  Khái niệm cách tính định thức;  Các tính chất định thức;  Hai cách thường sử dụng để tính định thức;  p dụng định thức tìm hạng ma trận  Khái niệm ma trận khả nghịch ma trận đảo ma trận vuông;  Các tính chất ma trận khả nghịch;  Điều kiện cần đủ để ma trận vuông khả nghịch;  Hai cách tìm ma trận đảo ma trận khả nghịch;  Ứng dụng ma trận đảo để giải phương trình ma trận hệ phương trình tuyến tính TOÁN CAO CẤP C1 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang §1 MA TRẬN Trong này, bạn học  Khái niệm ma trận, số ma trận đặc biệt;  Các phép toán ma trận, tính chất;  Phép biến đổi sơ cấp hàng, ma trận tương đương hàng;  Ma trận rút gọn bậc thang, hạng ma trận -1- Ma trận (matrices) 1.1 -Định nghóa ký hiệu ( K =  tập số thực K =  tập số phức) Một ma trận A cấp mn (cỡ mn, kích thước mn) K bảng chữ nhật gồm mn phần tử K viết thành m hàng n cột sau:  a11   a 21 A=    a  m1 a12 a 22  a m2 a1n    a 2n       a mn   hay  a11 a 21 A=     a m1 a12 a 22  a m2 a1n   a n       a mn   Trong aij  K phần tử (số hạng) vị trí hàng thứ i cột thứ j ma trận A Đôi ma trận A ký hiệu vắn tắt là: A = [aij]mxn = ( aij)mxn = A mxn Ký hiệu M mxn(K) tập hợp tất ma trận cấp mn K  Ma trận không (zero matrix ) ma trận mà tất phần tử 0, ký hiệu 0  0 mxn (hay nhầm lẫn): mxn =    0   0   0 =0        a11     a 21   Ma trận cột (column matrix) ma trận có cột : A =      a   n1   Ma traän hàng (row matrix) ma trận có hàng: A = a11 a12 a1n  TOAÙN CAO CẤP C1 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang  Ma trận có số hàng số cột gọi ma trận vuông (square matrix) Ma trận vuông  a11   a 21 có n hàng gọi ma trận vuông cấp n: A =    a  n1 a12 a 22  an2  a1n    a 2n  = [aij]nxn      a nn  Các phần tử a11, a22, …, ann gọi phần tử chéo ma trận vuông A Vết ma trận vuông A, ký hiệu Tr(A), định nghóa sau: Tr(A) ĐN  a11 +a22 +….+ann Ký hiệu M n(K) tập hợp tất ma trận vuông cấp n K  Ma trận vuông A = [aij]nxn gọi ma trận tam giác aij = i > j, tức  a11   có dạng: A =      a12  a1n    a 2n       a nn  a 22   Ma traän vuông A = [aij]nxn gọi ma trận tam giác aij = j > i, tức  a11   a 21 có dạng: A =    a  n1 a 22  an2         a nn     Ma trận vuông D gọi ma trận chéo D vừa ma trận tam giác vừa ma trận tam giác dưới, tức có dạng :  a11   D=      a 22  0          a nn   kýhiệu  dg(a11 , a22 , ……, an n)  Ma trận chéo mà tất phần tử chéo gọi ma trận đơn vị, ma trận đơn 1  0     0 vị cấp n ký hiệu In hay I nhầm lẫn: In =  =I       0  1   Ví dụ 1.1 3    ma trận cấp  ; a11  3, a12  4,  , a 23  9   a) A   6 TOÁN CAO CẤP C1 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang   3   b) A     ma trận vuông cấp  12    0 5  5     c) C    ma trận tam giác trên; C '     ma trận tam giác  0 12    13       0 0   0 0 d) D   = dg (4,3,1,2) ma trận chéo cấp 0  0    0 2    0 1     0 0 1 0  , I    , I   e) 32   0  , 23    0 0 0 1  0 0    0  0  1.2 - Các phép toán ma trận 1.2.1- Định nghóa -Ví dụ minh họa a) Ma trận nhau: Ma trận A = [aij]mxn gọi ma trận B = [bij]mxn, ký hiệu A = B, neáu a ij  bij i  1, m j  1, n ĐN A = B  aij = bij ,  i = , m vaø j = 1, n  x  y  1  3  , B    Tìm x, y, z , t để A  B t  3  4 Ví dụ 1.2 Cho A    2z Giải x  y 1  A B    2z  t  x y    z  t        b)Phép cộng, trừ ma trận cấp: Cho A = [aij]mxn, , B = [bij]mxn ÑN A + B  [aij + bij]mxn ; A-B ĐN  [aij - bij]mxn Tức cộng, trừ hai ma trận cấp cộng, trừ số hạng vị trí với TOÁN CAO CẤP C1 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang c) Phép nhân số với ma trận: Cho A = [aij]mxn ,   K ÑN  A  aijmxn Tức nhân số với ma trận nhân số với tất số ma trận   1 6 1  , B    Tính A  B , A  3B , A  3B 2  2 Ví dụ 1.3 Cho A   1 Giaûi   1    +   = A  B =     2 8 0   3 4   1    + 3  = A  3B = 2    2  22 17     21 10    1 6 1   3  = A  3B = 2 1   2   14          2 d) Phép nhân hai ma trận có cấp thích hợp:(số cột ma trận trước phải số hàng ma trận sau) Cho ma trận A  aik m n , B  bkj n p ÑN  n   k   mxp AB    a ik b kj  Sơ đồ phép nhân ma trận sau: Cột j n  aik bkj k 1 Coät j  a11 a12   a1n   b11  b1 j  b1 p          b  b2 j  b2 p           21            Haøng i  ai1   ain      haøng i                      a m1 a m   a mn  bn1  bnj  bnp             AB A B e) Phép lũy thừa ma trận vuông: Cho ma trận vuông A = [aij]nxn A0 = I , A1 = A , A2 = AA,…., Ak = Ak 1 A = A.A A     k -lần TOÁN CAO CẤP C1 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang 1 2 2 1  , B    Tính AB , A , A ; giải thích Ví dụ 1.4 Cho A     3   4 không tồn ma trận BA Giaûi 1 AB =  1 1 A =  1 2  1        = =           12  2  2   2     8    =   =                      22     =   A = A A =          11 13  Vì B có cột A có hàng nên không tồn BA 8       11 f) Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị A = [aij]mxn, ký hiệu A T , ma trận xác ĐN định A T  [ a Tji ]nxm với a Tji = aij ; tức AT có từ A cách chuyển hàng thành cột Ví dụ 1.5 2 1  A T = a) Với A    4    b) Với B       3   6 8 1 4   6  7   0 T   B  9     1.2.2- Tính chất phép toán ma trận Với ma trận A, B, C có cấp thích hợp để thực phép toán với số ,   K  A+B=B+A  Amxn.0nxp = 0mxp = 0mxk.Akxp  A + (B + C) = (A + B) + C  0Amxn = 0mxn , 0mxn = 0mxn  Amxn + 0mxn = Amxn  (A  B) = A  B ( + )A = A + A  A(B + C) = AB + AC (A + B)C = AC + BC  (A) = ()A = (A)  (AB)C = A(BC) = ABC  (A + B)T = AT + BT , (AB)T = BTAT (ABC)T = CTBTAT 11 ImAmxn = Amxn = AmxnIn 12 Neáu A = [aij]nxn AIn = A = In A (AB) = A(B) = (A)B TOÁN CAO CẤP C1 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang  Chú ý Phép nhân ma trận tính chất giao hoán Ví dụ 1.6  0    2   0 , B   , C   1  Tính (3 A  B )C , C T A T a) Cho A    4  2  2   1 1   b) Cho A    vaø f(x) = 3x2 + 2x - Tính f ( A)  1 2   Giaûi  0   11   2   1  =   ; BC  a) AC =  25         0    1   0     1  =   2 14    2      11      39 13   -2   =   (3 A  B )C = AC  BC =   25   14   47 15  11 25   C T A T = ( AC) T   5 9       b) A  AA     =  1  1     6 5    4  4        0  16 13 17          f ( A) = A  A  I =   +2    4  =  13 11 14   4   1   0  17 14 12          1.3 - Phép biến đổi sơ cấp hàng – Hạng ma trận 1.3.1 - Định nghóa Có loại phép biến đổi sơ cấp hàng (elementary rows operations) Loại Hoán vị hai hàng : hi  hj Loại Nhân số khác vào hàng : hi  hi,   Loại Thay hàng hàng cộng với  lần hàng khác hi + hj  hi , ij Kết hợp loại loại ta : hi + hj  hi ,   0, ij TOÁN CAO CẤP C1 …….……………………………………………………….……………………………………………………… Trang ...Lời mở đầu Giáo trình ? ?Toán Cao cấp C1? ?? biên soạn nhằm phục vụ cho nhu cầu tài liệu học tập sinh viên Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật thành phố Hồ Chí Minh Nội dung giáo trình gồm chương:... (A-1) -1 = A  Nếu A khả nghịch AT khả nghịch (AT )-1 = (A-1)T  Nếu A = [aij]nxn, B = [bij]nxn, C =[cij]nxn khả nghịch tích AB, ABC khả nghịch -1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 (AB) = B A ; (ABC) =C B A TOÁN... chắn giáo trình thiếu sót Chúng xin trân trọng tiếp thu ý kiến đóng góp bạn sinh viên đồng nghiệp để giáo trình ngày hoàn chỉnh Thư góp ý xin gửi : Ngô Hữu Tâm Trường Đại học Sư Phạm Kỹ thuật