GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A2 - HÀM NHIỀU BIẾN. ĐHQG TP.HCM

GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 CHÝÕNG II: TÍCH PHÂN BỘI §1 Tích phân kép I ÐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT Ðịnh nghĩa Cho hàm f(x,y) xác ðịnh miền ðóngờ bị chặn D Chia miền D thành n mảnh rời D1, D2, , Dn có diện tích lần lýợt  S1,  S2, ,  Sn Trong mảnh Di , lấy tùy ý ðiểm Mi(xi, yi) Lập tổng ậgọi tổng tích phân hàm f(x,y)) Gọi d(Di) khoảng cách lớn hai ðiểm Di Nếu tồn giới hạn hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn ðiểm Mi(xi,yi), hàm f(x,y) gọi khả tích miền D, S gọi tích phân kép hàm f(x,y) miền D, ký hiệu Nếu f(x,y) khả tích miền D, tích phân kép không phụ thuộc vào cách chia miền D Do ðóờ ta chia miền D ðýờng thẳng song song với trục tọa ðộề ẩhi ðóờ  Si =  x   y dS = dx dy Vì viết Ngýời ta chứng minh ðýợc rằngầ ổàm f(x,y) liên tục miền ðóngờ bị chặn D khả tích miền ðóề Tính chất: a) (diện tích D) 29 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 b) c) d) Nếu D = D1 D2 , D1 D2 =  e) Nếu f(x,y)  g(x,y)  (x,y) D f) Nếu m  f(x,y)  M  (x,y) D, m ∞ sốờ g) Nếu f(x,y) liên tục miền ðóngờ bị chặn D tồn ðiểm M(x0,y0) cho (Ðịnh lý giá trị trung bìnhấề gọi giá trị trung bình hàm f(x,y) Ðại lýợng D Ý nghĩa hình học Ta xét tốnầ ộ Tìm thể tích vật thể  giới hạn dýới miền D (Oxy), giới hạn mặt cong có phýõng trình z = f(x,y)  giới hạn xung quanh mặt trụ có ðýờng sinh song song với ẫz ðýờng chuẩn biên ắ ộề Ta tính thể tích  phýõng pháp gần ðúngề 30 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Chia miền D thành n mảnh rời D1,D2, ,Dn có diện tích  S1,  S2, , Sn Lấy mảnh nhỏ làm ðáyờ dựng hình trụ có ðýờng sinh song song với Oz, mặt phía giới hạn mặt z = f(x,y) Xét hình trụ thứ iầ ðáy Di, Lấy tùy ý ữ ðiểm ∞i(xi,yi) ta tích hình trụ thứ i  Vi  f(xi,yi). Si Thể tích gần ðúng  : Phép xấp xỉ xác n lớn mảnh Di có ðýờng kính nhỏ ậ d(Di): ðýờng kính Di ) Vậy II CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN KÉP Ðýa tích phân lặp Nếu 31 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu Ví dụ 1: Xác ðịnh cận tích phân ðýờng với miền D xác ðịnh y = 0, y = x, x = y = 0, y = x2, x + y = Giải: Có hai cách biểu diễn D: Do ðó Có ị cách biểu diễn D: 32 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Ví dụ 2: Tính , D giới hạn ðýờng y = x – 4, y2 = 2x Giải: Hồnh ðộ giao ðiểmầ Do ðóờ miền D ðýợc biểu diễn Vậy Ðổi biến tích phân kép a Ðổi biến tổng quát Giả sử x = x(u,v), y = y(u,v) hai hàm có ðạo hàm riêng liên tục miền ðóngờ bị chặn Duv Gọi Nếu f(x,y) khả tích Dxy ðịnh thức ỹacobi Duv ta có 33 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Ví dụ 3: Tính với D giới hạn ðýờng Giải: Các ðýờng thẳng viết lại Ðặt u = x + y, v = 2x – y Vậy b Tích phân kép tọa ðộ cực Công thức liên hệ tọa ðộ x = r.cos y = r.sin Ta cóầ Do vậyầ Ví dụ 4: Tính , với ắ giới hạn bởiầ ậx –1)2 + y2  1, y  Giải: 34 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Rõ ràng Thay x = rcos , y = rsin vào ậx –1)2 + y2 = 1, ta ðýợc r ụ ịcos Vậy Do ðóầ Ví dụ 5: Tính với ắ hình trịn x2 + y2  R2 Giải: Chuyển sang hệ tọa ðộ cựcờ ta cóầ Do ðóầ BÀI TẬP -Tính tích phân kép a) b) c) 35 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 d) 2-Tính tích phân kép a) , D:  x  2; x2  y  2x b) , D:  x  2; -1  y  c) , D: xy = 1; y = ;x=2 3- Ðổi thứ tự biến lấy tích phân a) b) c) d) 4- Tính tính phân d) e) , D: ;y=0 , D: y = x; ;y=0 f) , D: x2 + y2  g) , D: ; a, b > 36 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 h) i) , D: , D: y = x + 1; y = x – 3; 5-Tính diện tích miền ắ giới hạn j) D: y = x2; y = x + k) D: y2 = x; y = 2x – x2 l) D: ; x =  1; y = -1 m) D: y = 2x; y = -2x; y = §2 Tích phân bội I ÐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT Ðịnh nghĩa Cho hàm số  (x,y,z) xác ðịnh miền ðóngờ giới nội  không gian ẫxyzề Chia miền  thành n miền nhỏ tích  V1,…ờ Vn Lấy tùy ý ðiểm Mi(xi,yi,zi) miền nhỏ thứ iề Lập tổng Nếu giới hạn : hữu hạnờ không phụ thuộc vào cách chia miền  , ∞i,  (x,y,z) gọi khả tích miền  , ỗ gọi tích phân bội ĩ hàm   , ký hiệu Týõng tự nhý tích phân képờ ta ký hiệu dxdydz thay cho dV tích phân bội ĩ thýờng viết 37 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Chú ýầ ỷếu  (x,y,z) = (thể tích  ) Tính chất Nếu Nếu  (x,y,z)  g(x,y,z)  (x,y,z)   Nếu  (x,y,z) liên tục miền ðóng, bị chặn  tồn ðiểm ậx0,y0,z0)   cho (Ðịnh lý giá trị trung bìnhấ II CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN BộI Tích phân bội hệ tọa ðộ Descartes Cho  giới hạn bỡiầ Mặt trênầ z ụ  2(x,y) Mặt dýớiầ z ụ  1(x,y) Xung quanh: mặt trụ có ðýờng sinh song song với trục ẫz ðýờng chuẩn biên miền ắ thuộc mặt phẳng ẫxyề ậắ hình chiếu  xuống mặt phẳng ẫxyấề Khi ðó 38 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Khi ðó ta nói fậ∞ấ khả tích cung ồửề Nếu cung thuộc mặt phẳng xy f hàm theo ị biến fậxờyấ dùng ký hiệu ầ Trong không gian xyzờ f hàm fậxờyờz ấ dùng ký hiệu Ý nghĩa thực tế: Xem dây vật chất hình dạng ỡ có mật ðộ khối lýợng fậ∞ấ phụ thuộc vào ðiểm M dâyờ khối lýợng dây vật chất ầ Tích phân ðýờng loại ữ có nhiều ứng dụng thực tếờ ðýợc trình bày mục ỗề≤ Ðịnh lý tồn Nếu hàm fậ∞ấ liên tục dọc theo cung trõn tích phân ðýờng loại ữ tồn tạiề Các tính chất Tích phân ðýờng loại ữ khơng phụ thuộc hýớng cungờ nghĩa làầ Nếu fờ g khả tích cung ồử k số kfựg khả tích ầ Nếu f khả tích ồử ũ ữ ðiểm cung ồử thìầ Nếu fậ∞ấ  khả tích ồử ầ 50 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu f khả tích trên ồử khả tích ồử vàầ Lýu ý: Nếu cung ồử trõn khúc ậnghĩa cung ồử chia thành ữ số hữu hạn cung trõnấ fậ∞ấ liên tục cung ồử ðịnh lý tồn tính chất nêu ðúngề Ðịnh lý (về giá trị trung bình) Nếu fậ∞ấ liêân tục cung trõn ồử có ðộ dài ỡề ẩhi ðó tồn ðiểm thuộc cung AB thỏa ầ Công thức tính tích phânðýờng loại mặt phẳng a) Cung có phýõng trình tham số : Cho hàm số fậxờyấ liên tục cung trõn tham số ầ , cung có phýõng trình Chia [a,b] thành n ðoạn ðiểmầ a = to < t1< … ≥ tn ụ b ề Khi ðó cung ồử ðýợc chia týõng ứng thành n cung ðiểm ồkậxậtkấờ y(tk)), k= 0,1,2…ềờnề Theo ðịnh lý giá trị trung bình ta có ầ Lấy ðiểm ∞kậxậtkấờ yậtkấấ có tổng tích phânầ 51 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Vế phải tổng tích phân xác ðịnhờ qua giới hạnờ ta ðýợcầ b) Cung có phýõng trình: y = y(x), a  x  b : Khi ðó từ cơng thức trênờ ta có ầ c) Cung AB có phýõng trình tọa ðộ cực Nếu xem  tham sốờ ta có ầ Vậy ầ Cơng thức tính tích phân ðýờng loại không gian Cho hàm số fậxờyờ zấ liên tục cung trõn ồử khơng gianề ũung phýõng trình tham số ầ có Hồn tồn týõng tự nhý phần ỗềỏềaờ ta cóầ Các thí dụ 52 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 a) Thí dụ 1: Tính A(1,0), B(0,1) Với ũ ðýờng cạnh tam giác có ðỉnh ẫậếờếấờ (Hình ữềịấ Ta có ầ Trên : y=0, dl = dx nênầ Trên : x=0, dl = dy nênầ Trên : y= 1-x  Vậy ầ 53 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 b) Thí dụ 2: Tính Với ũ ðýờng cong có phýõng trìnhầ Sử dụng tọa ðộ cựcầ Vậyầ c) Thí dụ 3: Tính 0 t  Với cung có phýõng trìnhầ x ụ acost y ụ asintờ zụ bt Xem t tham sốờ ta có ầ d) Thí dụ 4: Tính với ðýờng ỡ phần góc tọa ðộ thứ giao tuyến mặt ỳaraboloid elliptic có phýõng trình zụ ị- x2-2y2 mặt trụ parabolic z = x2 từ ðiểm ậếờữờếấ ðến ậữờếờữấ Dùng tham số tụ x ta có ầ 54 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Vì ỡ nằm góc tọa ðộ thứ nhấtờ nên ta ðýợc phýõng trình tham số sauầ Do ðó ầ Vậyầ Ứng dụng tích phân ðýờng loại a) Khối lýợng cung: Giả sử cung vật chất chiều dài ỡ có khối lýợng riêng phụ thuộc ðiểm ∞ dây cung  (M) Khi ðó với ữ cung nhỏ ồiồi+1, có ầ Vậyầ Qua giới hạn ta ðýợc ầ b) Moment tĩnh (moment thu nhất), trọng tâm cung phẳng : Cho cung phẳng thuộc mặt phẳng xyờ có khối lýợng riêng phụ thuộc ðiểm ∞ậxờyấ dây cung  (x,y) Theo ðịnh nghĩa moment cõ họcờ 55 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 ta có cơng thức moment cung ∞y ầ ðối với trục ẫx ∞x ðối với trục ẫy Từ ðó trọng tâm khối lýợng cung ồử ðýợc xác ðịnh bởiầ Nếu cung ðồng chấtờ  (x,y) = số ầ ∞ụ  L (L chiều dài cung AB), tọa ðộ trọng tâm ầ Cũng nhớ ầ cung khơng cắt trục ẫx quay quanh trục ẫx diện tích mặt trịn xoay cung phẳng ðó tạo ầ Từ công thức toạ ðộ trọng tâmờ cóầ Thí dụ 5: Tìm trọng tâm nửa vịng trịn tâm ẫ bán kính Ởề Giảiầ Xét nửa vịng trịn ồử tâm ếề ắo tính ðối xứng nên trọng tâm ậxờyấ phải nằm trục ẫy ậ ) Khi nửa vòng tròn ồử quay quanh trục ẫx ta ðýợc cầu có diện tích mặt cầu làầ S ụ ở R2, ðộ dài nửa cung tròn ồử ỡ ụ  R Vậy trọng tâm có tung ðộ ầ c) Moment tĩnh (moment thứ nhất), trọng tâm cung không gian: 56 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Nếu cung khơng gian với khối lýợng riêng  (x,y,z) týõng tự trýờng hợp phẳng ta có khối lýợng cung moment tĩnh cung ồử ðối với mặt tọa ðộ xếyờ xếzờ yếz ầ Và trọng tâm khối lýợng cung có cơng thức ầ Nếu cung ồử ðồng chất ậ =hằng sốấ ầ Thí dụ 6: Cho nửa vòng tròn thép ðặt mặt phẳng y0z có phýõng trình y2 + z2 = 1, z  Biết khối lýợng riêng  (x,y,z) = – z Hãy tìm khối lýợng trọng tâm nửa vịng trịn ðóề (Hình ữềĩấ Do nửa vòng tròn nằm mặt phẳng yzờ nên trọng tâm có xụ ếề Ngồi ðối xứng có khối lýợng phân bố ðối xứng ðối qua trục ẫz nên trọng tâm có y=0 Phýõng trình tham số nửa vòng tròn ầ xụế y ụ cos t z ụ sin t ế t Vậyầ 57 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 d) Moment qn tính (moment thứ hai) Ta có cơng thức moment qn tính cung với trục toạ ðộ ầ với khối lýợng riêng  (x,y,z) ðối Tổng quátờ moment quán tính ðối với ðýờng thẳng  ðýợc tính ầ Với rậxờyờzấ ầ khoảng cách từ ðiểm M(x,y,z) ðến ðýờng thẳng  Khi cung cung phẳng ta có khái niệm cơng thức týõng tựề e) Diện tích mặt trụ Cho cung khơng gian với z  có hình chiếu vng góc xuống mặt phẳng xếy cung Xem mặt trụ với ðýờng sinh song song trục ẫz, ðýờng chuẩn ũắ giới hạn cung ũắờ giới hạn dýới cung ồửờ giới hạn bên ðýờng thẳng ồũờ ửắ 58 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 (Hình ữềở ấ Giả sử cung ũắ có phýõng trình z ụ fậ∞ấờ∞ AB Chia cung AB thành n phần ðiểm ồụồoờ ồ1, ……ờ ồn ụ Khi ðó mặt trụ ðýợc chia týõng ứng thành n mặt trụ nhỏờ mặt trụ thứ i với ðáy cung ồiồi+1 có diện tích ðýợc tính gần ðúng diện tích hình chữ nhật có ðáy  i = AiAi+1 chiều cao fậ∞kấờ với ∞k  AiAi+1 Si ụ  i x f(Mi) Khi ðó diện tích mặt trụ có diện tích tính gần ðúng làầ Qua giới hạnờ ta cóầ Thí dụ 7: Tính diện tích phần mặt trụ x2 + y2 = R2 nằm mặt zụ ế z= góc x  , y  Giải: Do mặt trụ giới hạn ðýờng cong z ụ , giới hạn dýới ¼ vịng trịn x2 + y2 = R2 mặt phẳng xyờ nên có phýõng trình ầ Xụ Ởcos t, y = Rsin t ,  t   /2 Vậy ầ Ta cóầ 59 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 II TÍCH PHÂN ÐÝỜNG LOẠI HAI Ðịnh nghĩa tích phân ðýờng loại hai mặt phẳng Cho hàm ỳậxờyấờ ẵậxờyấ xác ðịnh cung thuộc mặt phẳng xyề ũhia cung th ành n phần tùy ý ðiểm ụ ồo ≥ ồ1 < …… ≥ ồn ụ ửờ với ồiậxiờyiấ Trên cung AiAi+1 lấy ðiểm ∞i ậxiờ yiấ tùy ýờ i ụ ữờ ị … n ðặt xi = x i+1 – xi , yi = yi+1 – yi Lập tổng ầ Nếu Sn có giới hạn hữu hạn ỗ n   cho max{ li }  với li ðộ dài cung AiAi+1 không phụ thuộc vào cách chia cung ðoạn ồiồi-1 cách chọn Mi, ỗ ðýợc gọi tích phân ðýờng loại ị fậ∞ấ cung ồử ðýợc ký hiệu làầ Vậyầ Ðịnh lý Nếu hàm ỳậxờyấ ẵậxờyấ liên tục miền mở chứa cung ồử trõn khúc tích phân ðýờng loại ị ln tồn tạiề Tính chất a) Do ðổi hýớng cung thành tổng tích phân xi = x i+1 – xi , yi = yi+1 – yi ðýợc thay - xi , -yi nên tích phân ðýờng loại ị bị ðổi dấuề Ta có ầ 60 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Do ðó ðýờng lấy tích phân ðýờng cong kín ũờ ta quy ýớc hýớng dýõng ũ hýớng mà ði dọc ũ miền bị chặn ũ nằm phía bên tráiề ổýớng ngýợc lại hýớng âmề Tích phân theo hýớng dýõng ðýợc ký hiệu ầ (hình ịềữấ b) Nếu ỳậxờyấờ ẵậxờyấ khả tích cung , , cung ðýợc chia thành ị cung ỳờ ẵ khả tích ị cung ðó ta có : Cơng thức tính tích phân ðýờng loại mặt phẳng a) Cung AB có phýõng trình tham số : Cho hàm số ỳậxờyấờ ẵậxờyấ liên tục miền mở ắ chứa cung trõn Cung có phýõng trình tham số ầ xụxậtấ y ụ yậtấ a t  b, t=a ứng với ðiểm t ụ b ứng với ðiểm ửề Từ ðịnh nghĩa coi tích phân (giới hạn ị tích phânấ sauầ tổng ị tích phân riêng biệt 61 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Chia [a,b] thành n ðoạn ðiểm ầ a ụ to ≥ t1 < …… ≥ tn ụ b ề ẩhi ðó cung ồử ðýợc chia týõng ứng thành n cung ðiểm ồkậxậtkấờ yậtkấấờ kụếờữờị…ềờnề Theo ðịnh lý ỡagrange ta có ầ thỏaầ Lấy ðiểm ∞kậxậtkấờ yậtkấấ có ầ Týõng tự cóầ Nhý cơng thức tính tích phân ðýờng loại ị ðýợc tính thơng qua tích phân xác ðịnhầ Nếu cung có phýõng trình yụyậxấờ a t  b ta có Chú ý : Các công thức ðúng cung trõn khúcề Bài tốn cõ học dẫn tới tích phân ðýờng loại 2: công lực sinh cung Xét tốn tìm cơng lực Nếu lực sinh dọc theo cung khơng ðổi công ðýợc biết ầ Trong trýờng hợp tổng quátờ chia cung ðiểm ụ ồo ≥ ồ1 < …… ≥ ồn ụ B Trên cung ồiồi-1 lấy ðiểm ∞i tùy ýờ với i ụ ữờ ị … nề ỷếu cung AiAi+1 bé xấp xỉ ðoạn thẳng ồiồi+1 lực 62 không ðổi xấp xỉ Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Khi ðó cơng sinh cung ồiồi+1 ðýợc xấp xỉ Khi ðóờ cóầ ồiồi+1 = xi + yi ≠ậ∞iấ ề ồiồi-1 = P(x,y) xi + Q(x,y).yi Và nhý công sinh cung ồử ðýợc xấp xỉ tổng ầ Nếu Sn có giới hạn hữu hạn ỗ n   cho max{ li }  với li ðộ dài cung AiAi-1 không phụ thuộc vào cách chia cung ðoạn ồiồi-1 cách chọn ∞iờ ỗ ðýợc gọi tích phân ðýờng loại ị fậ∞ấ cung ồử ðýợc ký hiệu làầ Vế phải tổng tích phân ðýờng loại ị hàm số ỳậxờyấờ ẵậxờyấ dọc theo cung AB Qua giới hạn ta ðýợc ầ Từ tốn tích phân ðýờng loại ị cịn gọi tích phân cơng cịn nhiều tốn thực tế dẫn tới việc tìm giới hạn dẫn tới việc tính tích phân ðýờng loại ịề Một số thí dụ tích phân ðýờng loại Thí dụ 1: Tính tích phân ðýờng loại ị ầ AB ðýờngầ với ồậếờếấờ ửậữờữấề ũung a) Ðoạn thẳng ồử có phýõng trình y ụ xờ ế  x  b) Ðýờng ỳarabol y ụ x2 Giải: a) Với ồử ầ y ụ xờ ế  x  ầ 63 Sýu tầm by hoangly85 GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A2 Thí dụ 2: Tính Theo ðýờng khơng cắt ðýờng thẳng xựy ụế ta cóầ Vậy theo gợi ý ta cóầ b) Nếu ỳờ ẵ thoả ðịnh lý ữờ tìm ðýợc hàm U thỏa dU ụ ỳdx ự ẵdy ta có ầ Thật , giả sử cung ồử có phýõng trình ầ xụxậtấờ yụyậtấờ a t  b Khi ta cóầ Thí dụ 3: Tính Ta nhận thấy ầ xdy ự ydx ụ dxyề Vậy theo nhận xét ta cóầ Thí dụ 4: Tính Ta có ầ 71 Sýu tầm by hoangly85 ... ầ Cơng thức tính tích phânðýờng loại mặt phẳng a) Cung có phýõng trình tham số : Cho hàm số fậxờyấ liên tục cung trõn tham số ầ , cung có phýõng trình Chia [a,b] thành n ðoạn ðiểmầ a = to < t1