NGUYỄN QUANG HUY LÊ THỊ MAI TRANG HOÀNG THỊ MINH THẢO GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A1 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 3 LỜI NÓI ĐẦU Giáo trình Toán cao cấp A1 là một trong nhiều[.]
NGUYỄN QUANG HUY LÊ THỊ MAI TRANG HOÀNG THỊ MINH THẢO GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình Tốn cao cấp A1 nhiều giáo trình Bộ mơn Toán, Khoa Khoa học ứng dụng, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM biên soạn nhằm chuẩn hóa giáo trình đại học, đặc biệt môn học thuộc giai đoạn đào tạo đại cương chương trình đào tạo 150 tín Giáo trình gồm bốn chương bốn phụ lục, chúng tơi biên soạn dựa đề cương mơn “Tốn cao cấp A1”, có tham khảo nhiều tài liệu khác, góp phần vào việc giảng dạy, học tập mơn “Tốn cao cấp A1” môn học khác Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM Chúng xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô cơng tác Bộ mơn Tốn giúp đỡ chúng tơi nhiều q trình biên soạn giáo trình Chúng tơi cảm ơn TS Nguyễn Văn Toản TS Lê Xuân Trường ý kiến đóng góp cho thảo Dù chúng tơi cố gắng trình biên soạn giáo trình khơng tránh khỏi thiếu sót Vì thế, chúng tơi mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp bạn sinh viên để giáo trình hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin gửi hộp thư: huynq@hcmute.edu.vn MỤC LỤC Lời nói đầu Chương 1: Giới hạn liên tục 1.1 Tập hợp 1.2 Ánh xạ 16 1.3 Hàm số 19 1.4 Giới hạn 32 1.5 Hàm số liên tục 51 Bài tập chương 57 Chương 2: Phép tính vi phân hàm biến 62 2.1 Đạo hàm 62 2.2 Vi phân 76 2.3 Các định lý hàm khả vi 80 2.4 Công thức Taylor công thức Maclaurin 84 2.5 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 92 Bài tập chương 118 Chương 3: Phép tính tích phân hàm biến 124 3.1 Tích phân bất định 124 3.2 Tích phân xác định 144 3.3 Tích phân suy rộng 165 Bài tập chương 185 Chương 4: Chuỗi 190 4.1 Chuỗi số 190 4.2 Chuỗi hàm 205 4.3 Chuỗi lũy thừa 209 4.4 Chuỗi Taylor chuỗi Maclaurin 215 4.5 Chuỗi Fourier 220 Bài tập chương 231 Phụ lục 1: Giải gần nghiệm phương trình 235 Phụ lục 2: Tính gần tích phân xác định 239 Phụ lục 3: Một số đề thi mẫu 246 Phụ lục 4: Một số câu hỏi trắc nghiệm 253 Tài liệu tham khảo 260 Chương GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 1.1 TẬP HỢP 1.1.1 Khái niệm 1.1.1.1 Tập hợp - phần tử Tập hợp khái niệm tốn học Việc biểu diễn qua khái niệm khác khơng có Có thể hiểu tập hợp tạo thành vật, tượng quy tụ lại với theo tính chất Ví dụ tập hợp số, tập hợp điểm đường thẳng, tập hợp sinh viên lớp, Người ta thường ký hiệu tập hợp chữ in hoa A, B, , Y , Z Các đối tượng tạo nên tập hợp gọi phần tử tập hợp ký hiệu chữ in thường a, b, , y, z Nếu a phần tử tập hợp A ta viết a A (đọc là: a thuộc A ) Nếu a không phần tử tập hợp A ta viết a A (đọc là: a khơng thuộc A ) Ví dụ, với tập hợp số tự nhiên 5 5 1.1.1.2 Tập hợp rỗng Tập hợp không chứa phần tử gọi tập rỗng ký hiệu 1.1.1.3 Tập hợp A B x, x A x B 1.1.1.4 Tập hợp A B A B B A 1.1.2 Các phép toán tập hợp Cho hai tập hợp A B Ta có số phép toán sau: a) Phép giao A B x x A x B Hình 1.1 b) Phép hợp A B x x A x B Hình 1.2 c) Hiệu hai tập hợp A \ B x x A x B Hình 1.3 d) Phần bù tập hợp Cho A X Phần bù A X tập X \ A ký hiệu C XA Hình 1.4 e) Tích Descartes A B (a, b) a A, b B Mở rộng: Tích Descartes n tập hợp Ai , i 1, n A A A An (a , a , a , , an ) Ai , i 1, n 3 Đặc biệt, A A A An ta ký hiệu: n A A A A A n 1.1.3 Một số tập hợp số thông dụng { } a) Tập số tự nhiên: = 1, 2, , n, b) Tập số nguyên: 0, 1, 2,, n, p c) Tập số hữu tỷ: p, q , q q d) Tập số thực: (, ) e) Khoảng đóng: [a, b] x x , a x b f) Khoảng mở: (a, b) x x , a x b g) Khoảng nửa đóng, nửa mở: [a, b) x x , a x b , (a, b] x x , a x b , [a, ) x x , a x , (a, ) x x , a x , (, a] x x , x a , (, a) x x, x a 1.1.4 Số phức Lịch sử phát triển khái niệm số theo chu trình thúc đẩy phát triển thực tế sản xuất toán học Đầu tiên người ta dùng số để đếm, lúc cần số tự nhiên Số âm xuất bắt đầu xảy chuyện nợ nần, xuất tình phải trừ số nhỏ cho số lớn Số hữu tỷ xuất phải thực phép chia khơng hết Cịn số vô tỷ xuất người ta thấy cạnh huyền tam giác vuông cân cạnh biểu diễn dạng thương hai số nguyên, thuật ngữ số thực có nghĩa độ dài đoạn thẳng có thực Việc giải phương trình x tập số thực khơng thực được, số phức xuất để giải toán 1.1.4.1 Định nghĩa Số phức có dạng z a bi , (a, b ) a gọi phần thực Ký hiệu: Re( z ) a b gọi phần ảo Ký hiệu: Im( z ) b i gọi đơn vị ảo số phức Quy ước: i 1 Tập tất số phức kí hiệu là: z a bi / a, b Ví dụ 1.1 Các số phức z 3i ; z 2 15i ; z i ; z 5 Số phức liên hợp Số phức z a bi , (a, b ) có số phức liên hợp z a bi Hai số phức Cho hai số phức z1 a1 b1i ; z2 a2 b2i Ta có a1 a2 z1 z2 b1 b2 1.1.4.2 Các phép toán dạng đại số z1 a1 b1i ; z2 a2 b2i Cho hai số phức: z1 z2 ( a1 a2 ) (b1 b2 )i a Phép cộng, trừ: b Phép nhân: z1.z2 ( a1a2 b1b2 ) ( a1b2 b1a2 )i c Phép chia: z1 a1 b1i (a1 b1i )(a2 b2i ) a1a2 b1b2 (b1a2 a1b2 )i z2 a2 b2i a2 b2 a2 b2 a2 b2 (z ¹ 0) Với z a bi z 1 1 gọi số nghịch đảo z z a bi Ví dụ 1.2 Cho hai số phức z1 3i ; z2 4i Ta có z1 z2 i ; z1 z2 7i; z1 z2 14 5i; z1 3i (2 3i)(1 4i ) 10 11 i 2 z2 4i 4 17 17 n 4k i n 4k n i Chú ý: Với n , ta có 1 n 4k i n 4k 10 (k ) ... MAI TRANG HOÀNG THỊ MINH THẢO GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 LỜI NĨI ĐẦU Giáo trình Tốn cao cấp A1 nhiều giáo trình Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học... chuẩn hóa giáo trình đại học, đặc biệt môn học thuộc giai đoạn đào tạo đại cương chương trình đào tạo 150 tín Giáo trình gồm bốn chương bốn phụ lục, biên soạn dựa đề cương mơn “Tốn cao cấp A1? ??, có... tập mơn “Tốn cao cấp A1? ?? môn học khác Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật TP HCM Chúng xin chân thành cảm ơn Quý Thầy Cô cơng tác Bộ mơn Tốn giúp đỡ chúng tơi nhiều q trình biên soạn giáo trình Chúng