Giáo trình toán cao cấp phần 1

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KINH DOANH VÀ CÔNG NGHỆ HÀ NỘI PHAN ĐỨC CHÂU (Chủ biên) – NGUYỄN HỒN VŨ TỐN CAO CẤP Dùng cho sinh viên ngành Công nghệ Kĩ thuật 2022 MỤC LỤC Chƣơng MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN……………… 1.1 Các khái niệm 1.2 Các phép tốn tuyến tính ma trận 1.3 Phép chuyển vị 1.4 Phép nhân ma trận với ma trận …………………………………… 10 ĐỊNH THỨC ……………………………………………………… 12 2.1 Khái niệm cách tính …………………………………………… 12 2.2 Các tính chất định thức 15 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO ………………………………………… 17 3.1 Khái niệm ma trận nghịch đảo …………………………………… 17 3.2 Cách tìm ma trận nghich đảo ……………………………………… 18 HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 4.1 Đại cƣơng hệ phƣơng trình tuyến tính 4.2 Hệ Cramer ………………………………………………………… 4.3 Phƣơng pháp Gauss ……………………………………………… 20 20 22 23 4.4 Sơ lƣợc phƣơng pháp chiếu lặp giải hệ phƣơng trình tuyến tính cỡ lớn ……………………………………………… 25 Câu hỏi hƣớng dẫn ôn tập …………………………………………… 28 BÀI TẬP CHƢƠNG 1………………………………………………… 29 Chƣơng HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ………………………………………… 1.1 Các khái niệm ……………………………………………… 1.2 Các phép tính hàm số ………………………………………… 1.3 Các hàm sơ cấp …………………………………………… 35 35 37 38 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ……… 42 2.1 Các định nghĩa giới hạn …………………………………………… 2.2 Các định lý giới hạn …………………………………………… 2.3 Hai giới hạn quan trọng …………………………………………… 2.4 Hàm số liên tục …………………………………………………… 42 43 43 44 ĐẠO HÀM, VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ ……………… 3.1 Đạo hàm …………………………………………………………… 3.2 Đạo hàm cấp cao ………………………………………………… 3.3 Vi phân …………………………………………………………… 3.4 Vi phân cấp cao …………………………………………………… 3.5 Các định lý hàm khả vi ………………………………… 3.6 Cực trị …………………………………………………………… 3.7 Khoảng lồi, khoảng lõm, điểm uốn ……………………………… 3.8 Tiệm cận ………………………………………………………… 3.9 Khảo sát hàm số …………………………………………………… 3.10 Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số ………………… 47 47 50 51 52 53 57 58 58 59 60 TÍCH PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ …………………………… 4.1 Nguyên hàm tích phân bất định ………………………………… 4.2 Tích phân xác định ………………………………………………… 4.3 Tích phân suy rộng ………………………………………………… 4.4 Ứng dụng tích phân xác định tính đại lƣợng ………………… 61 61 69 75 78 Câu hỏi hƣớng dẫn ôn tập …………………………………………… 84 BÀI TẬP CHƢƠNG ……………………………………………… 85 Chƣơng HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN ……………………………………… 93 1.1 Hàm số hai biến số………………………………………………… 93 1.2 Hàm số n biến số ………………………………………………… 95 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC ………………………………………… 96 2.1 Giới hạn hàm số hai biến số ………………………………… 96 2.2 Giới hạn hàm số n biến số …………………………………… 99 2.3 Hàm số liên tục …………………………………………………… 100 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN ………………………………… 3.1 Đạo hàm riêng …………………………………………………… 3.2 Vi phân …………………………………………………………… 3.3 Đạo hàm riêng cấp cao vi phân toàn phần cấp cao …………… 101 101 103 105 CỰC TRỊ TỰ DO HÀM NHIỀU BIẾN …………………………… 108 4.1 Khái niệm điều kiện cần cực trị …………………………… 108 4.2 Điều kiện đủ ……………………………………………………… 109 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN RÀNG BUỘC ………………………… 113 5.1 Cực trị có điều kiện hàm biến phƣơng trình ràng buộc… 113 5.2 Cực trị có điều kiện hàm n biến phƣơng trình ràng buộc… 116 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ… 119 Câu hỏi hƣớng dẫn ôn tập ………………………………………… 121 BÀI TẬP CHƢƠNG ……………………………………………… 122 TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………… 125 Chƣơng MA TRẬN, ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MA TRẬN VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN 1.1 Các khái niệm Một bảng số gồm m.n số thực xếp thành m dòng n cột đƣợc gọi ma trận cấp mxn đƣợc ký hiệu nhƣ sau:  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  A = (aij)mxn A   21     a m1 a m2 a mn  Các số aij (phần tử nằm dòng thứ i cột thứ j ma trận A) đƣợc gọi phần tử ma trận A Ma trận cấp 1xn đƣợc gọi ma trận hàng: A  (a11 ,a12 , ,a1n ) Ma trận cấp mx1 đƣợc gọi ma trận cột:  a11    a 21   A=       a m1  Hai ma trận cấp A = (aij)mxn B = (bij)mxn đƣợc gọi tất phần tử tƣơng ứng chúng đôi nhau: aij = bij (i = 1, , m; j = 1, , n) Ma trận cấp nxn, tức ma trận có số dịng số cột nhau, đƣợc gọi ma trận vuông cấp n Trong ma trận vuông: phần tử a11 , a22, , ann  a11 a12 a1n  a   21 a 22 a 2n      a n1 a n a nn  đƣợc gọi phần tử nằm đường chéo Tổng quát, phần tử ma trận số thực phức, biểu thức toán, liệu, Trong học phần này, ta tập trung xét ma trận số thực, tức phần tử aij thuộc tập số thực Ma trận đối tƣợng toán học đƣợc sử dụng hầu hết ngành khoa học kĩ thuật Ma trận có nhiều ứng dụng kĩ thuật, chẳng hạn nhƣ mơ hình hóa mạng điện, đƣờng giao thơng, q trình sản xuất, Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1.1 Xét mạng điện gồm nhánh nút, có nút nối đất Ta đánh số nhánh nút cách ngẫu nhiên Khi đó, mạng mơ tả ma trận A = (ajk), đó: aj k 1 nhánh k từ nút j   1 nhánh k vào nút j 0 nhánh k không dính đến nút j  A gọi ma trận nút mạng, mạng hình vẽ có dạng: Nhánh Nút 11 Nuùt 22 Nuùt 33 1 1 0 3 nút nối đất 0 1 0 1 1 1.2 Các phép tốn tuyến tính ma trận 1.2.1 Cộng hai ma trận cấp Tổng hai ma trận cấp A = (aij)mxn B = (bij)mxn ma trận ký hiệu A + B đƣợc xác định nhƣ sau: A + B = (aij+bij)mxn Chú ý: Ma trận khơng, kí hiệu θ, ma trận cấp tùy ý, có tất phần tử Ma trận θ có đặc tính trung hòa với phép cộng 1.2.2 Nhân ma trận với số Tích ma trận A = (aij)mxn với số  ma trận ký hiệu αA đƣợc xác định nhƣ sau: αA = (α.aij)mxn Chú thích: Tích (-1)A ký hiệu ma trận –A đƣợc gọi ma trận đối ma trận A 1.2.3 Các tính chất bản: Với A, B, C ma trận cấp,  ,  số thực bất kỳ: a) A + B = B + A b) (A + B) + C= A + (B + C) c) A + θ = A d) e) f) g) A + (-A) = θ  (A + B) =  A +  B (  + β)A =  A + βA (  β)A =  (βA) 1.3 Phép chuyển vị ma trận Cho ma trận cấp  a11 a12 a1n  a a 22 a 2n  21  A     a m1 a m2 a mn  Ma trận chuyển vị A, kí hiệu AT (T viết tắt từ tiếng Anh transpose, có kí hiệu A'), ma trận có đƣợc từ A cách chuyển hàng thành cột, cột thành hàng:  a11 a T A   12   a1n a 21 a 22 a 2n a m1  a m2    a mn  Ví dụ 1.2 1   5 A  3   A T    2  5  Chú ý: Ma trận đối xứng ma trận vng có đặc tính A = AT 1.4 Phép nhân ma trận với ma trận Cho ma trận A cấp mxn ma trận B cấp nxp (Số cột A số dòng B)  a11 a A = (aij)mxn =  21   a m1 a12 a 22 a m2 a1n  a 2n  ,   a mn   b11 b12   b 21 22 B = (bjk)nxp =    b n1 b n b1p   b2p    b np  1.4.1 Định nghĩa Ta gọi tích ma trận A với ma trận B ma trận cấp mxp, ký hiệu AB đƣợc xác định nhƣ sau:  c11 c12   c21 c22 AB = C = (cik)mxp =   cm1 cm2 c1p   c2p    cmp  đó: n cik   a ijb jk  a i1b1k  a i2 b2k   a in bnk j 1 (i = 1, 2, , m; k = 1, 2, , p) Cơng thức phát biểu thành quy tắc nhƣ sau: Phần tử nằm dòng thứ i cột thứ k ma trận AB tổng n số hạng số hạng tích phần tử thuộc dòng thứ i ma trận A với phần tử tƣơng ứng thuộc cột thứ k ma trận B  b1k    b cik = (ai1 ai2 ain)  2k  = ai1b1k + ai2b2k + + ainbnk      b nk  Ví dụ 1.3 Nhân hai ma trận: 10 4.4 Ứng dụng tích phân xác định tính đại lƣợng 4.4.1 Tính diện tích miền phẳng Từ ý nghĩa hình học tích phân xác định, f(x) liên tục, khơng âm b [a, b], ta có  f  x  dx diện tích hình thang cong dƣới đƣờng cong f(x) [a, b] a b Nếu f(x) ≤ [a, b]  f (x)dx ≤ 0, gọi diện tích đại số Muốn tính diện tích a hình học hình thang cong dƣới đƣờng f(x) [a, b], hai trƣờng hợp ta có: b S   f (x) dx (4) a Trƣờng hợp hình phẳng hình chữ nhật cong giới hạn hai đƣờng cong liên tục f1(x) f2(x) đƣờng thẳng x = a, x = b diện tích S bằng: f1(x) y u b S   f1 (x)  f (x) dx (5) a f2(x) a b x u u Trƣờng hợp hình thang cong hay hình chữ nhật cong tựa đáy trục Oy, tƣơng tự, ta có: O y d y d x(y) x1(y) x2(y) c c O x d S   x(y) dy c x O d S   x1 (y)  x (y) dy (6) c Ví dụ 2.31 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng parabol y = x2 + đƣờng thẳng x + y = Ta tìm tọa độ giao điểm hai đƣờng: 78  y  x   x A  2   x B  x  y  1 27 S   (3  x)  (x  1) dx   (2  x  x )dx  (đvdt) 2 2 Ví dụ 2.32 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng parabol x = 4y – 2y2, trục Oy đƣờng thẳng y = 1/2 2   27 S   (4y  2y )dy  2y  y3   1/ 12  1/ 2 Chú thích Bài tính diện tích tích phân theo biến x Tuy nhiên phải chia miền cần tính diện tích thành phần cộng vào 4.4.2 Tính độ dài đƣờng cong phẳng Giả sử ta có đƣờng cong AB chiếu đƣợc lên trục Ox, có nghĩa phƣơng trình đƣờng cong viết đƣợc dƣới dạng: y = f(x), với x : xA  xB Ta chia đƣờng cong thành vô số đoạn nhỏ, đoạn đƣợc gọi vi phân cung, kí hiệu ds y ds dy A O B dx xA xB x Do độ dài ds ngắn, ta xấp xỉ đoạn thẳng, có hình chiếu lên trục tọa độ dx dy Theo Pitago, ds2 = dx2 + dy2 Thay dy = y’(x).dx, ta đƣợc: s  ds  dx2  (y '.dx)2   (y ')2 dx độ dài đƣờng cong đƣợc tính theo cơng thức: 79 LAB  (B) xB (A) xA  ds    (y ')2 dx (x A  x B ) (7) Trƣờng hợp đƣờng cong chiếu đƣợc lên trục Oy, tức phƣơng trình viết đƣợc dƣới dạng x = x(y), y yB B yA A O x Ttƣơng tự nhƣ trên, thay dx = x′(y).dy, ta được: (B) LAB  yB  ds   (A) (x '(y))2  1.dy (y A  y B ) (8) yA Ví dụ 2.33 Tính chu vi miền phẳng giới hạn đƣờng cong y3 = x2 y   x2 Giải y Giải hệ phƣơng trình, ta đƣợc giao điểm đƣờng cong A(1, 1) B(-1, 1) Theo C B A hình vẽ, chu vi miền phẳng là: L = 2(LOA + LAC ) O Đoạn OA có phƣơng trình y3 = x2 hay x = y3/2, có đạo hàm là: x’(y) = 1/2 y Đoạn AC có phƣơng trình y   x  y'  x  x2 ; Ta tính độ dài đoạn đƣờng cong OA AC 80 x LOA  yA  yO LAC  xA  xC (x '(y))2  dy   1/2 9  9   13 13  y  dy    y   d  y      1 ;  04  4  27    (y')2 dx    x2 dx x    dx    arcsin  ;  2x    x 0  13 13     Vậy, L     5,102 27   4.4.3 Tính thể tích vật thể theo thiết diện ngang vật thể trịn xoay Giả sử ta cần tính thể tích vật thể V biết diện tích thiết diện ngang điểm x, vng góc với trục Ox, S(x) Phân hoạch vật thể V thành vô số phần, mặt phẳng P vng góc với Ox Mỗi lát cắt cực mỏng xấp xỉ với hình trụ đứng, có diện tích đáy S(x), chiều cao (tức độ dày lát cắt) dx Khi đó, thể tích lát cắt dV = S(x).dx; Thể tích vật thể V là: b V   S(x) dx (9) a với a b tọa độ hai đầu mút vật thể Ox, tức khoảng biến thiên x S(x) P a x dx b x Ta xét vật thể trịn xoay tạo hình thang cong x1ABx2, quay quanh trục Ox Mỗi thiết diện ngang x (x1 ≤ x ≤ x2), vng góc với Ox, tạo thành hình trịn có bán kính y = f(x), với f(x) phƣơng trình đƣờng cong AB Từ cơng thức (9), ta suy cơng thức tính thể tích vật thể trịn xoay này: x2 V    y2 dx (x1  x ) (10) x1 81 Trƣờng hợp vật thể tròn xoay tạo hình thang cong y1Aby2, tựa đáy trục Oy, quay quanh trục Oy: đƣờng cong AB có phƣơng trình x = x(y), thể tích vật thể trịn xoay tạo thành tính theo cơng thức: y2 V    x dy (y1  y2 ) (11) y1 y B y A O x1 y2 y = f(x) x2 x B x = x(y) y x y1 O A x Ví dụ 2.34 Tính thể tích phần giới hạn mái nhà trần nhà, đáy hình chữ nhật có cạnh a b, cạnh c chiều cao h Giải c O x K Q M B C b h N P H A x a Trên hình vẽ, lấy trục Ox hƣớng xuống dƣới Kí hiệu S(x) diện tích mặt cắt hình chữ nhật vng góc với chiều cao cách cạnh c khoảng x Từ hình học sơ cấp ta có: OK MK OK.CH x.(a  c) x(a  c)   MK    NP  c  2MK  c  ; OH CH OH 2h h Mặt khác, 82 OK OM MN OK.CA x.b xb    MN    QN  2MN  ; OH OC CA OH 2h h Nhƣ vậy, ta có S(x)  QN.NP   b(a  c) x2  hbc.x  ;  h Cuối cùng, theo cơng thức (9) ta tính đƣợc thể tích khối theo S(x) nhƣ sau:  b(a  c)h3 bch3   ab bc  bh V   S(x)dx      h     (c  2a) h     h Ví dụ 2.35 Cho miền phẳng giới hạn đƣờng parabol y = 2x – x2 trục Ox Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo nên quay miền phẳng xung quanh trục Ox Oy Giải - Miền phẳng quay quanh Ox y Theo công thức (10) ta có: C B 4 x  16 Vx   (2x  x ) dx    x3  x     15 3 2 A O x - Quay quanh Oy Thể tích phần cần tính hiệu thể tích vật thể trịn xoay tạo hình thang cong OABC quay quanh trục Oy, trừ thể tích vật thể trịn xoay tam giác cong OBC tạo nên quay quanh Oy Từ phƣơng trình parabol y = 2x – x2, ta tìm đƣợc phƣơng trình đƣờng cong AB là: x    y, phƣơng trình đƣờng cong BO x    y Theo cơng thức (11) ta có:     8 8 Vy     y dy     y dy   (1  y)dy   (1  y)3/2  3 0 0 2 83 Câu hỏi hƣớng dẫn ôn tập Hàm số Hàm hợp, hàm ngƣợc Các hàm sơ cấp Khái niệm giới hạn Các dạng giới hạn vô định cách khử vô định Liên tục hàm số Đạo hàm, vi phân hàm biến Các định nghĩa, ý nghĩa, công thức tính Bảng đạo hàm hàm sơ cấp Đạo hàm vi phân cấp cao Các Định lý hàm khả vi Khảo sát hàm số Sơ đồ toán khảo sát vẽ đồ thị Nguyên hàm tích phân bất định Định nghĩa, tính chất Tích phân phần tích phân đổi biến Cách tìm ngun hàm hàm thƣờng gặp Tích phân xác định Định nghĩa ý nghĩa hình học Định lý NewtonLeibnitz tích phân xác định Dùng tích phân xác định tính đại lƣợng: diện tích miền phẳng, độ dài cung, thể tích vật thể Tích phân suy rộng 84 BÀI TẬP CHƢƠNG § Hàm số - Giới hạn – Liên tục Bài Những hàm sau đây, hàm chẵn, hàm lẻ, hàm không chẵn không lẻ? 1) f (x)  x2 sin 2x 2) (x)   2x  sin x  a kx  a kx 3) u(x)  x  2x 1 4) y(x)  5) y  3x  a x 6) z  5x sin 3x Bài Tìm miền xác định hàm số: 2) u  x 1  2x  x  5x   2x 4) p  x sin x 5) q  log (x  9) 6) y  x 1 x 4 1) y   x 3) v  arccos 7) u  2  2 8) r  sin   2  1 x 9) v  3cos 2x 10) v  lg(x  1)  arcsin x Bài Tìm giới hạn sau (dạng 0/0 ): x  2x  x  3x  10 x 2 x  2x  3x  5x  1) lim x  x2   xm  m 3) lim x 1 x  x    x n  n tg x x 0   tg x 4) lim sin x x   cos x 2) lim (m, n nguyên dƣơng) 1 x x 1  x 5) lim 85 x 6) lim x 1  x cos x2  x 2 arctg(x  2) 7) lim x3  x 1 arcsin(x  1) 8) lim sin x  tg x   tg x 9) lim x 0 Bài Tìm giới hạn (dạng / ):  7n 2 1) lim n   n 2) lim n     2n    (2n  1) n3 4) lim n   22   n tg 2x 3) lim    x cotg  x 4  n2 1 n     n  2x  x  x 6) lim 5) lim Bài Tìm giới hạn sau (dạng 0. ): 1) lim (1  x) tg x 1 x 2) lim x arccotg x x    3) lim x   arctg x  x  2  5) lim n sin n  4) lim sin 2x cotg x x  x n 6) lim 2n tg 2 n n  Bài Tìm giới hạn sau (dạng   ):  2) lim x  x  5x   tg    tg  3) lim     cos        4) lim   cotg x  x 0  sin 2x  5) lim x  86    1) lim    x 2 x  x 4   2x   x  x     6) lim  tg x   cos x  x  Bài Tìm giới hạn sau (dạng 1)  t 3  1) lim   t  t    2t 1 2) lim x  2x x 0 4) lim(1  cos x) 2/cos x  3) lim (tg x) tg 2x  x x  6) lim  x 5) lim(1  3tg x)cotg x x 0 x   cotg x   tg x  sin x 8) lim   x 0  sin x   1/sin x 7) lim (cos3x) x 0 Bài Tìm giới hạn: 1) lim x 0 sin 3x  2x  3) lim x   5) lim x x  7) lim h 0 2) lim n  x2  x 1  x2  x 1  x2 1  x  sin(x  h)  sin(x  h) h  n n  n3  sin ax x 0 tg bx 4) lim 6) lim  x x(1  tg x) cos 2x arccos 8)* lim x 20 x2 x p5  2p  p  3p  p 2 p3  2p  3p  9) lim x  sin x 10) lim 11) lim sin 3x cotg 5x  2x   12) lim   x   2x   x 0 x 0 13)* lim x2 1 x  x 1 x) tg 14)* lim(sin  x x 1 x Bài Tìm điểm gián đoạn (nếu có) hàm số sau Vẽ đồ thị hàm số 1) f (x)  x 4 2) g(x)  3x  x  2x  20 87 3) h(x)  arccotg x 4) p(x)  | x 3| x 3 5) f (x)  lg(x  3x) Bài 10 Tìm điểm gián đoạn (nếu có) hàm số sau Vẽ đồ thị hàm số   x f (x)    x x  x  2 x  f (x)  4  2x 2x    x   x  2,5 2,5  x   2x   f (x)    x    x  1   x   § Vi phân hàm biến Bài 11 Tìm đạo hàm cấp hàm số: a) y = x2.ex d) y = s in x-cos x sin x  cos x b) y = x3.arctan x e) y = (2x + 5)4 c) y = arcsin x x f) y = exarctan ex - ln  e2x Bài 12 Tìm vi phân hàm sau: a) y = 3x3ln x – x3 b) ln (2x3 + 3x2) c) y =  3x Bài 13 Tính đạo hàm cấp n hàm sau: 88 x a) y = x5 + 2x4 – 3x3 – x2 – 0,5x + b) y = d) y = cos x e) y = ekx c) y = sin x Bài 13 Tìm vi phân cấp hàm số: y = (2x – 3)3 Bài 14 Tính gần giá trị arcsin 0,51 (dùng công thức vi phân) Bài 15 Dùng qui tắc L’Hospital tìm giới hạn: x   lnx x 1 ex  e b) lim c) lim xe x /2 x  x  e x e) lim x 2lnx f) lim (sin x) x a) lim d) lim g) lim(1  x) x  sin x x 0 x3 x3 x  e x x 0 ln x x  x 0 x  3x  h) lim x 1 x  4x  Bài 16 Tìm cực trị hàm số sau: a) y = (x – 5)ex b) y = x  x c) y = (x – 1)4 Bài 17 Tìm cực trị, khoảng lồi, lõm, điểm uốn hàm số: a) y = (x – 2)(x + 1)2 b) y = 3x5 – 5x4 – c) y = x1/3 Bài 18 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: x3  a) y = x2 4x  x b) y  c) y = x + 2arc cotg x Bài 19 Xác định kích thƣớc bể chứa nƣớc hình trụ đóng kín (cả đáy) tích V cho trƣớc có diện tích tồn phần nhỏ (Gợi ý Xác định theo đại lượng bán kính đáy r chiều cao bể h) Bài 20 Chọn vị trí xây cầu bắc qua sông, cho độ dài quãng đƣờng nối địa điểm A B, nằm bên bờ sơng ngắn (xem hình vẽ) Bài 21 Một nghiên cứu mơ hình hóa nhiệt độ T (oC) khoảng thời gian từ sáng đển chiều thành phố hàm số: 1 T(t)  t  t  t  36 A a H x C h c-x D c b B (0  t  12) a Vẽ đồ thị hàm số T(t) b Tại thời điểm nhiệt độ cao nhất? Mức nhiệt độ cao ngày bao nhiêu? 89 Bài 22 Hai nhà máy A B, nằm cách 15km, thải tƣơng ứng 75 ppm (parts per million) 300 ppm chất ô nhiễm dạng hạt Mỗi nhà máy đƣợc bao quanh khu vực hạn chế bán kính 1km khơng đƣợc phép có nhà nồng độ chất nhiễm tỉ lệ nghịch với khoảng cách đến nhà máy Nên đặt nhà đâu đƣờng nối hai nhà máy để giảm thiểu tổng ô nhiễm hai nơi? § Ngun hàm tích phân bất định Bài 23 Dùng tính chất tích phân tính tích phân sau: a)  ( x  1)(x  2) x2  5cos 2x b)  dx sin x.cos x dx 2 3x c)   32x  23x.32 x dx Bài 24 Dùng phƣơng pháp đổi biến, tính tích phân: a) dx  (1  x) x b) dx  e 3  e  c) x x  arcsin x dx 1 x2 Bài 25 Tính tích phân sau phƣơng pháp tích phân phần: a)  ( x  3x  1)cos2x dx d)  arctan x dx x2 b)  x 2e3x dx c)  x 2lnx dx e)  arccos x dx f)  arctan 2x 1 dx Bài 26 Tính tích phân hàm hữu tỉ a) 3x   x  6x  10 dx b) 2x   (x  1)(x  1) dx c) 3x   x  2x dx Bài 27 Tính tích phân hàm số lƣợng giác 90 dx a)   3cos x d)  sin x  cos cos xdx x sin x dx b)   sin x  cos x e)   cos dx x  5sin x c) cos x dx   sin x  cos x Bài 28 Tính tích phân hàm vô tỉ a) x dx 1 x2 b)  dx 1  x  c)  (x  1) dx x  2x  § Tích phân xác định áp dụng tính đại lƣợng Bài 29 Dùng phép đổi biến tính tích phân: a) y dy   y6 d)  1 x2 dx x2  /2 ln b)  e x  dx c) 0 e)   x2 1 dx x dx  cos x f) x  x dx 3 Bài 30 Dùng phƣơng pháp tích phân phần tính tích phân: e a)  x lnxdx b)  x.arc tan x dx c) 1  xe x dx Bài 31 Cho miền D giới hạn y = x2 y – x – = - Tính diện tích miền D - Tính thể tích vật thể tạo nên miền D quay quanh trục Ox Bài 32 Cho miền D giới hạn đƣờng y = x2 + 1, y = x, x = 0, x = - Tính diện tích miền D - Cho miền D lần lƣợt quay xung quanh trục Ox Oy Tính thể tích Vx Vy vật thể tạo thành Bài 33 Tính độ dài cung 9y2 = 4(3 - x)3 nằm hai giao điểm với trục Oy Bài 34 Tình chu vi hình phẳng giới hạn đƣờng x2 = (y + 1)3 đƣờng y = Bài 35 Một nhà nghiên cứu mơ hình hóa nhiệt độ T (oC) thị trấn chu kì thời gian từ sáng đến chiều hàm số: T(t)   (t  4) (0  x  12) 91 với t số tính từ sáng a Tính nhiệt độ trung bình hàng ngày, khoảng từ sáng đến chiều.(Gợi ý Dùng gia trị trung bình tích phân với t khoảng [2, 11]) b Vào thời gian ngày (cũng khoảng từ sáng đến chiều), cho nhiệt độ nhiệt độ trung bình câu (a)? Bài 36 Tại vùng, phần đất đai bị số ngƣời lấn chiếm đƣợc bao phía sơng, phía khác núi nhƣ hình vẽ (hai trục tọa độ lấy đơn vị mile) Tính tổng diện tích đất đai bị lấn chiếm y y = – x2 Núi x Sông 92 O ... thức cấp theo cột 1, tƣơng tự cho dòng cột khác định thức cấp cao 15 '' a 11  a 11 a12 a 21  a '' 21 a 22 '' a 31  a 31 a 32 a13 a 11 a12 a 23  a 21 a 22 a 33 a 31 a 32 '' a13 a 11 a12 a 23  a '' 21 a... 1 1 1 1 c) 1 1 x y z t d) 0 e) 2 2 1 1 x f) 0 y x 0 0 y x 0 2 0 0 y x 0 0 y x Bài Tính định thức: a) 13 547 13 647 28423 28523 246 427 327 b) 10 14 543 443 342 7 21 6 21 18 27 c) 12 15 18 14 16 18 ... d) 1 1 1 1 e) 1 1 10 10 20 f) g) 1 1 1 4 16 27 64 h) 1 a b ? ?1 i) ? ?1 2 ? ?1 2 3 1 1 1 a c b c 4 4 4 Bài Các ma trận sau có khả nghịch khơng? Nếu có, tìm ma trận nghịch đảo ma trận phụ hợp:  ? ?1? ??