Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 - Trường ĐH Kinh tế Nghệ An

Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 cung cấp cho người học những kiến thức như: Tập hợp và quan hệ; Hàm số và giới hạn; Đạo hàm và vi phân; Phép toán tích phân. Mời các bạn cùng tham khảo!

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ - - ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN Th.S Trần Hà Lan GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ - - LỜI NĨI ĐẦU Tốn học ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực đời sống, xã hội Các toán kinh tế, kế toán, toán khoa học kỹ thuật, giải nhằm phục vụ lợi ích người Tốn học đóng vai trị quan trọng việc diễn tả quy luật kinh tế Trên giới toán học ứng dụng nghiên cứu kinh tế ngày nhiều Một ngành học hình thành dựa kết hợp hai ngành toán học kinh tế học: Ngành kinh tế tốn Chính lý đó, sinh viên trường kinh tế địi hỏi phải biết kiến thức toán ngày nhiều phải biết sử dụng kiến thức để phân tích kinh tế, phân tích tình nghiên cứu kinh tế Để kịp thời phục vụ việc học tập sinh viên, Khoa sở Trường Đại học Kinh tế Nghệ An tổ chức biên soạn giáo trình Tốn cao cấp Đây giáo trình dùng chung cho hệ Cao đẳng hệ Đại học, dựa vào chương trình giảng dạy mơn Khoa học tự nhiên – Khoa sở lựa chọn nội dung giảng dạy phù hợp với trình độ hệ đào tạo Trong giáo trình này, chúng tơi cố gắng trình bày kiến thức tốn thật đơn giản khơng phá vỡ tính liên tục, tính hệ thống chúng Những khái niệm Toán học bản, phương pháp bản, kết chương trình bày đầy đủ Một số định lý không chứng minh, ý nghĩa định lý quan trọng giải thích rõ ràng, nhiều ví dụ minh họa đưa Giáo trình gồm chương: Chương 1: Tập hợp quan hệ Chương 2: Hàm số giới hạn Chương 3: Đạo hàm vi phân Chương 4: Phép tốn tích phân Chương 5: Hàm số nhiều biến số Chương 6: Phương trình vi phân - - Chương 7: Khơng gian vectơ Chương 8: Ma trận định thức Chương 9: Hệ phương trình tuyến tính Chương trình bày tóm tắt nội dung bao quát, thuộc tảng toán học nói chung: tập hợp, khái niệm phép tốn hai ngơi tập hợp, khái niệm ánh xạ Chương trình bày khái niệm hàm số giới hạn, có nói đến việc sử dụng quan hệ hàm số để biểu diễn quan hệ biến số kinh tế Chương 3, chương có số kiến thức đề cập bậc phổ thông, kiến thức chúng tơi trình bày cách xác có mở rộng Những kiến thức trình bày gọn kỹ, nhằm giúp sinh viên dễ dàng lĩnh hội Một vài ví dụ thực tế giới thiệu, qua sinh viên thấy việc cần thiết phải nắm kiến thức chương nhằm phục vụ cho việc học tập nghiên cứu môn học chuyên ngành Chương gồm kiến thức chưa học bậc phổ thông Tên chương “ Hàm số nhiều biến số ” nội dung chương đề cập đến hàm số hai biến số Chương chủ yếu đề cập đến phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp Mỗi dạng phương trình nêu có ví dụ minh họa để sinh viên biết cách giải nhận dạng phương trình Chương trình bày số khái niệm khơng gian vectơ Chương 8, chương trình bày kiến thức khái niệm nêu tên chương Các chương gồm kiến thức chưa học bậc phổ thông nên trình bày kỹ, sau mục có ví dụ minh họa nhằm giúp sinh viên nắm kiến thức tạo lập kỹ vận dụng kiến thức để làm tập Cuốn giáo trình biên soạn thời gian ngắn, chắn nhiều sai sót Rất mong góp ý bạn đọc để sách ngày hoàn thiện Tác giả - - CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các khái niệm 1.1.1.1 Tập hợp phần tử Thuật ngữ “Tập hợp” dùng rộng rãi toán học Chúng ta thường nói tập hợp số nguyên, tập hợp điểm mặt phẳng, tập hợp nghiệm phương trình, tập hợp học sinh lớp học Tập hợp khái niệm tốn học, dùng làm sở cho khái niệm khác thân khơng định nghĩa qua khái niệm đơn giản Khi nói tập hợp ta đối tượng có tính chất Chẳng hạn nói tập hợp số tự nhiên, đối tượng tập hợp số tự nhiên; nói tập hợp học sinh lớp học, đối tượng tập hợp học sinh lớp học Các đối tượng tập hợp cho gọi phần tử tập hợp Để phân biệt, ta gọi tên tập hợp chữ in hoa A, B, C  ký hiệu phần tử chữ in thường a, b, c  Để nói a phần tử tập hợp A ta dùng ký hiệu: a  A (đọc là: “ a thuộc A ”) Ngược lại a phần tử tập hợp A viết: a  A (đọc “ a khơng thuộc A ”) Ví dụ 1.1: Ở chương trình phổ thông ta biết tập hợp sau: Tập hợp  số tự nhiên; Tập hợp  số nguyên; Tập hợp  số hữu tỉ; Tập hợp  số thực Cho tập hợp A nghĩa xác định tất phần tử Có hai cách cho tập hợp: Cách 1: Cho tập hợp cách liệt kê phần tử tập hợp Ví dụ 1.2: +) Nếu A tập hợp số nguyên dương nhỏ ta viết: A = {1; 2; 3; 4; 5} +) Có thể liệt kê phần tử tập hợp  số tự nhiên tập  số nguyên sau:  = { 0; 1; 2;  } - -  = { 0; 1; 2; 3  } Cách 2: Cho tập hợp cách tính chất phần tử Nếu P(x) mệnh đề tính chất x A tập hợp phần tử x có tính chất P(x) ta viết: A   x p ( x) Ví dụ 1.3: +) Nếu A tập hợp tất số nguyên chẵn ta viết: A   n  Z n ch½n +) Có thể mơ tả tập hợp  số hữu tỉ sau: p     p, q  Z ; q   q  Nếu A tập hợp hữu hạn, tức liệt kê tất phần tử ta ký hiệu A số phần tử tập hợp A 1.1.1.2 Tập rỗng Tập A gọi tập rỗng khơng chứa phần tử Có tập rỗng ký hiệu  Như || = Viết A   (đọc A không rỗng) nghĩa A chứa phần tử 1.1.1.3 Tập đẳng thức tập hợp +) Giả sử cho hai tập hợp A B Nếu phần tử A phần tử B ta nói A tập B, ký hiệu A  B (đọc A B) B  A (đọc B chứa A) +) Hai tập hợp A B gọi A B B  A, ký hiệu A = B +) Nếu tập hợp A khơng tập hợp B ta viết A  B +) Tập A gọi tập thật tập hợp B A  B A  B Quy ước: Tập hợp  tập tập hợp 1.1.1.4 Biểu đồ Venn Để dễ hình dung tập hợp mối liên hệ tập hợp, người ta dùng tập hợp điểm mặt phẳng để minh họa Thông thường ta xét tập hợp phần tử tập hợp bao trùm, gọi không gian hay vũ trụ Tập không gia mô tả tập hợp điểm hình chữ nhật Mỗi tập hợp không gian minh họa tập hợp điểm giới hạn đường - - khép kín bên hình chữ nhật Cách minh họa ước lệ gọi Biếu đồ Venn Ví dụ, biểu đồ Venn hình mơ tả hai tập hợp A, B, A tập B A B 1.1.2 Các phép toán tập hợp 1.1.2.1 Phép hợp phép giao - Phép hợp Hợp hai tập hợp A B tập hợp mà phần tử phần tử tập hợp đó, ký hiệu A B Như vậy: A  B ={x  A x  B} Ví dụ 1.4: Cho hai tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4}; Khi đó: B = {0; 1; 3; 5; 7} A  B = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 7} - Phép giao Giao hai tập hợp A B tập hợp mà phần tử phần tử đồng thời thuộc hai tập hợp A B, ký hiệu A  B Như vậy: A  B ={x  A x  B} Ví dụ 1.5: Cho hai tập hợp số A = {0; 1; 2; 3; 4}; Khi đó: B = { 0; 1; 3; 5; 7} A  B = {0; 1; 3} - Các tính chất phép hợp phép giao tập hợp +) Tính giao hốn A  B = B  A; A  B = B  A - - +) Tính chất kết hợp A  (B  C) = (A  B)  C; A  (B  C) = (A  B)  C +) Tính chất phân phối A  (B  C) = (A  B) (A  C); A (B  C) = (A  B)  (A  C) 1.1.2.2 Phép trừ tập hợp phần bù tập hợp - Hiệu hai tập hợp Hiệu tập hợp A tập hợp B tập hợp gồm tất phần tử thuộc tập hợp A không thuộc tập hợp B, ký hiệu A\ B Vậy: A\ B = { x  A x  B } Ví dụ 1.6: Cho A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}; B = {0; 2; 4; 6; 8} Ta có: A\ B = { 1; 3; 5} B \ A = { 6; 8} - Phần bù tập hợp Cho tập hợp E A tập E, nghĩa A E Lúc E\ A gọi phần bù A E, ký hiệu A Nhận xét: A  E; A = E \ A = A Ví dụ 1.7: Trong tập hợp tất số thực  , tập hợp số vô tỉ phần bù tập hợp tất số hữu tỉ Định lý (Định lý De Mocgan hay Nguyên lý đối ngẫu) Với A  E; B  E, ta có A  B  A  B; A  B  A  B Nghĩa là: - Phần bù hợp tập hợp giao phần bù chúng - Phần bù giao tập hợp hợp phần bù chúng Chứng minh: Ta chứng minh đẳng thức đầu đẳng thức sau tương tự Xét x  E, ta có: x  A  B  x  A  B  ( x  A x  B )  ( x  A x  B )  x  A  B; x  A  B  ( x  A x  B )  ( x  Avà x  B )  x  A  B  x  A  B; Vậy: - - A B  A B 1.2 Quan hệ 1.2.1 Tích Descartes - Tích Descartes tập hợp Tích Descartes hai tập hợp X Y tập hợp tất cặp có thứ tự (x; y) x phần tử tập X y phần tử tập Y Tích Descartes X Y gọi tắt tích X Y Ký hiệu tích hai tập hợp X Y X  Y : X  Y   ( x; y ) x  X ; y  Y  Chú ý: Ký hiệu (x; y) cặp có thứ tự : x phần tử đứng trước, y phần tử đứng sau Với x y hai phần tử khác (x; y) (y; x) hai cặp có thứ tự khác Từ hai tập hợp X Y ta có hai tập tích X  Y Y  X Ví dụ 1.8: Cho X = {1; 2}; Y = {3; x} X  Y = {(1;3); (1;x); (2;3); (2;x)}; Y  X  (3;1);(3;2);( x;1);( x;2) X  X = {(1;1); (1;2); (2;1); (2;2)} - Tích Descartes n tập hợp Tích Descartes n tập hợp X1; X2; ; Xn tập tất n phần tử có thứ tự (x1; x2; ; xn) xk phần tử tập hợp Xk ( k = 1; 2; …; n), ký hiệu X  X    X n X  X  X n  ( x1 ; x2 ; ; xn ) xk  X k ; k  1; n  Tích đề X  X    X (n lần) viết gọn Xn X  X  X  X n  ( x1 ; x2 ;; xn ) xk  X ; k  1; n 1.2.2 Quan hệ 1.2.2.1 Khái niệm quan hệ Theo nghĩa thông thường, quan hệ tập hợp tính chất đặc trưng hay quy ước liên kết phần tử tập hợp Quan hệ hai ngơi liên kết phần tử theo cặp Chẳng hạn, quan hệ hôn nhân cộng đồng người liên kết hai người có đăng ký kết hôn; quan hệ chia hết liên kết số nguyên theo cặp ( p; q), p số chia hết cho q Một cách khái quát, quan hệ hai tập hợp X quy tắc xác định cặp phần tử ( x; y) có quan hệ với theo quy tắc Nếu xem cặp phần tử (x; y) tập hợp X phần tử tập tích X2 quan hệ xác định - - tập hợp   X2 Ta đồng quan hệ tập hợp X với tập  tập tích X2 Định nghĩa Quan hệ hai tập hợp X tập tập hợp X2 Ví dụ 1.9: Trong tập hợp số thực  , quan hệ “không lớn hơn” tập hợp: ( x; y ) : x  , y  , x  y   1.2.2.2 Quan hệ tương đương Cho   X2 quan hệ tập hợp X Nếu ( x; y)  ta nói phần tử x có quan hệ  với phần tử y viết xy Định nghĩa Một quan hệ  tập hợp X gọi quan hệ tương đương có tính chất sau: - Tính phản xạ: xx, xX ( phần tử x tập hợp X có quan hệ  với nó) - Tính đối xứng : xy yx ( x có quan hệ  với y y có quan hệ  với x ) - Tính bắc cầu: Nếu xy yz xz (nếu x có quan hệ  với y y có quan hệ  với z x có quan hệ  với z ) Ví dụ 1.10: Quan hệ “ x đồng dạng với y ” quan hệ tương đương tập hợp tất tam giác Quan hệ “ x bạn y ” tập hợp sinh viên trường đại học quan hệ tương đươngvì quan hệ khơng có tính bắc cầu 1.2.2.3 Quan hệ thứ tự: Định nghĩa Một quan hệ  tập hợp X gọi quan hệ thứ tự có tính chất sau: - Tính phản xạ: xx, xX ( phần tử x tập hợp X có quan hệ  với nó) - Tính bắc cầu: Nếu xy yz xz (nếu x có quan hệ  với y y có quan hệ  với z x có quan hệ  với z ) - Tính đối xứng: Nếu xy yx x = y (phần tử x trùng với phần tử y) Ví dụ 1.11: +) Quan hệ “ x  y ” quan hệ thứ tự tập hợp tất số thực - 10 -   +)Trường hợp 3: R x; m2  (kx  l )2 trường hợp ta đặt:    kx  l  msin t , với t   ,   2 (với a, b, c, k, l, m số; ak ≠ 0) Ví dụ 4.21: Tính tích phân I   Giải: Ta có dx (5  2x  x ) (5  2x  x2 )   (1  x)2 Đặt :  x  2tan t  dx  2dt cos2 t  (1  x)2  , thay vào I ta cost được: I  dx (5  2x  x2 )3  Mặt khác ta có sin t  1 cos2 t = ta được: I  x 1 x  2x  2dt cos2 t  costdt  sin t  C 4      cost  tan t  tan2 t  x 1 x2  x  thay vào kết  C 4.4 Tích phân xác định 4.4.1 Khái niệm tích phân xác định 4.4.1.1 Bài tốn tính diện tích hình thang cong: Cho hàm số f(x) liên tục, khơng âm [a; b] Hãy tính diện tích hình thang cong aABb giới hạn trục Ox, đường cong y = f(x) hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) (Hình vẽ bên) Chia tùy ý đoạn [a; b] thành n y y = f(x) đoạn chia nhỏ điểm chia: a = x0 < x1 < < xi < xi+1 < < xn–1 < xn = b A B Từ điểm chia ấy, dựng đường thẳng vng góc với trục Ox Khi đó, hình thang cong aABb chia thành n hình thang cong nhỏ O a x1 xi i xi+1 xn-1 b x Diện tích hình thang cong nhỏ thứ i - 78 - xem gần diện tích hình chữ nhật có kích thước xi = xi + – xi f(i), với i điểm thuộc đoạn [xi; xi + 1] Do đó, diện tích S hình thang cong aABb gần bằng: n-1 Sn = f(0)x0 + f(1)x1 + + f(n -1)xn -1 =  f ( )x i i i 0 Dễ thấy độ dài đoạn nhỏ xi nhỏ độ chênh lệch S Sn bé Do đó, diện tích S hình thang cong aABb xem giới hạn tổng Sn maxxi  S lim max xi 0 n1  f ( )x i i i 0 4.4.1.2 Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm số f(x) xác định bị chặn đoạn [a; b] Chia cách tùy ý đoạn [a; b] điểm chia: a = x0 < x1 < < xi < xi+1 < < xn–1 < xn = b Trên đoạn nhỏ [xi; xi +1], lấy điểm i lập tổng n-1 In = f(0)x0 + f(1)x1 + + f(n -1)xn -1 =  f ( )x i i i 0 Nếu n   cho maxxi  0, In dần tới giới hạn xác định I không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] cách chọn i đoạn [xi; xi +1] giới hạn gọi tích phân xác định hàm số f(x) đoạn [a; b] b Ký hiệu là:  f ( x) dx a Khi ta nói rằng: +) Hàm số f(x) khả tích đoạn [a; b] +) Đoạn [a; b] gọi khoảng lấy tích phân, +) a cận dưới, b cận trên, x biến số lấy tích phân, +) f(x) hàm số dấu tích phân, +) f(x)dx biểu thức dấu tích phân Chú ý: - Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số lấy tích phân, phụ thuộc vào hàm số f(x) cận lấy tích phân Tức ký hiệu b  f ( x) dx ta thay đổi biến số x biến số khác, chẳng hạn t, z a hay u, giá trị tích phân khơng thay đổi Ta có: - 79 - b  b b b f ( x) dx   f (t ) dt   f ( z) dz   f (u) du a a a a - Với tốn tính diện tích hình thang cong xét ta có diện tích S hình thang tính cơng thức: b S  f ( x)dx a - Trong định nghĩa ta giả thiết a < b Nếu a > b ta có: b  a f ( x) dx   f ( x) dx a b a Đặc biệt a = b thì:  f ( x)dx  a 4.4.2 Điều kiện khả tích Định lý Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] f(x) khả tích [a; b] Định lý Nếu f(x) bị chặn [a; b] có số hữu hạn điểm gián đoạn đoạn [a; b] f(x) khả tích [a; b] Định lý Nếu f(x) bị chặn đơn điệu [a; b] khả tích [a; b] b Ví dụ 4.22: Tính tích phân I   ex dx (a < b) a Giải: Hàm số f ( x)  ex liên tục đoạn [a; b] nên khả tích đoạn [a; b b] Ta có:  e dx  x a n1 lim max xi 0  f ( )x , giới hạn vế phải không phụ thuộc i i i 0 vào cách chia đoạn [a; b] cách chọn điểm i Vì vậy, ta chia đoạn [a; b] chọn điểm i cách đặc biệt để việc tính tốn đơn giản Ta chia đoạn [a; b] thành n đoạn nhỏ điểm chia: b a x0 = a, x1 = a + x, , xi = a + ix, ,xn = a + nx với x  n chọn điểm i  xi (i = 0, 1, 2, , n – 1) Khi đó, ta có: I n  ex0 x  ex1x   exn1x  ea (1  ex   e( n1)x )x Biểu thức dấu ngoặc cấp số nhân, số hạng đầu 1, công bội x ba 1 enx a 1 e x = e x, nx = b – a Vậy: I n  e 1 ex 1 ex a - 80 - b Do đó:  a 1 eba e dx  lim e x x 1 ex x a x  ea (1 eba ) x  ex  ea (1 eba ) lim  eb – ea Nhận xét: Việc tính tích phân xác định trực tiếp từ định nghĩa ví dụ phức tạp hàm số dấu tích phân hàm số sơ cấp ex Ở phần đưa phương pháp tính tích phân xác định đơn giản 4.4.3 Các tính chất tích phân xác định Căn vào định nghĩa tích phân xác định, chứng minh tính chất sau: Giả sử tích phân xác định sau tồn Khi đó: b a b  kf ( x)dx  k a f ( x)dx a b b b  [ f ( x)  f ( x)] dx   a b c  a (k số); b f1( x)dx   f2 ( x)dx ; a c a b f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx ; a c đẳng thức c không nằm a b Giả sử tích phân sau tồn a < b Khi đó: b d Nếu f(x)  0, x  [a; b]  f ( x)dx  0; a b e Nếu f(x)  g(x), x  [a; b]  b f ( x)dx   g( x)dx; a a f Nếu m  f(x)  M, x  [a; b], m, M số thì: b m(b  a)   f ( x)dx  M (b  a) a g Nếu f(x) liên tục đoạn [a; b]    [a; b] cho: b  f ( x)dx  f ( )b – a a Chú ý: Tính chất gọi định lý giá trị trung bình - 81 - b f ( x) dx gọi giá trị Giá trị hàm số f(x) điểm : f ( )  b  a a trung bình hàm số f(x) đoạn [a; b] 4.4.4 Liên hệ tích phân xác định nguyên hàm Công thức Newton Leibnitz Cho đến nay, ta xét hai khái niệm nguyên hàm tích phân xác định cách độc lập Thực chất hai khái niệm có mối liên hệ với Trong mục này, ta thiết lập mối quan hệ 4.4.4.1 Đạo hàm tích phân theo cận x Giả sử f(x) hàm số liên tục [a; b] Xét tích phân  f (t )dt với a a  x  b Nếu giữ cận a cố định, để cận thay đổi giá trị tích phân x phụ thuộc vào x Đặt I ( x)   f (t )dt a Hàm số I(x) xác định [a; b] Nó có tính chất sau: Định lý Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b] x    I '( x)    f (t )dt   f  x x [a; b]   a x ' Chứng minh: Cho x số gia x cho x + x  [a; b] Khi ta có: I(x + x) = xx x xx  f (t )dt   f (t )dt +  a a x f (t )dt xx Do I(x) = I(x + x) – I(x) =  f (t )dt x Theo tính chất g tích phân xác định, ta có: I(x) = f()x,  điểm nằm x x + x Do đó: I f ( )x  lim  lim f ( ) x0 x x0 x x I ' x  lim Khi x  x + x  x, suy   x Vì hàm số f(x) liên tục x nên I '( x)  lim f ( ) = lim f ( )  f ( x) ■ x0  x - 82 - Nhận xét: Từ định lý ta suy f(x) liên tục [a; b] x x   a; b , hàm số I ( x)   f (t )dt nguyên hàm f(x) Vậy a khẳng định hàm số liên tục [a; b] có nguyên hàm đoạn 4.4.4.2.Công thức Newton - Leibniz Định lý Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) liên tục [a; b] thì: b  f ( x)dx  F(b)  F(a) (4.4.1) a Chứng minh: Theo giả thiết F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Mặt khác, x theo định lý 4, I ( x)   f (t )dt nguyên hàm f(x) Do đó: a x  f (t )dt = F(x) + C, x [a; b] a a Cho x = a, ta  f (t )dt = = F(a) + C  C =  F(a) a x Vậy  f (t )dt = F(x)  F(a), x [a; b] a b Cho x = b, ta  f ( x)dx  F(b) – F(a).■ a Công thức (4.4.1) gọi công thức Newton – Leibniz b Ký hiệu F(b) – F(a) = F(x) a Khi cơng thức (4.4.1) viết : b  b f ( x)dx  F ( x) a a 4.4.5 Phương pháp đổi biến số 4.4.5.1 Đổi biến số thuận b Cho tích phân I =  f ( x)dx , hàm số f(x) liên tục [a; b] a Thực phép đổi biến số x = (t) Nếu: a) () = a, () = b; - 83 - b) (t) ’(t) liên tục [; ]; c) f[(t)] liên tục [; ],  b ta có công thức  f ( x)dx   f ((t )) '(t )dt  a Thật vậy, F(x) nguyên hàm f(x) F[(t)] nguyên hàm f[(t)]’(t) Áp dụng công thức Newton – Leibniz, ta có: b  b f ( x)dx = F( x) a = F(b) – F(a) a Hay:    f ((t )) '(t )dt = F((t ))  = F[()]  F[( )] = F(b) – F(a)  Ví dụ 4.23: Tính tích phân I   dx 1  x  2 Giải: Đặt x  tan t  dx  (1  tan2 t )dt x   t    Đổi cận    x   t     Thay vào I ta được: I   dx 1  x  2 =  dx  1 tan = t   cos2 tdt =  (1  cos2t )dt 0 p 1 p (t  sin2t )   2 4.4.5.2 Đổi biến ngược Nếu hàm dấu tích phân f(x) có dạng f(x) = g[(x)] ’(x) để tích b phân  a b f ( x)dx   g[( x)] '( x)dx ta đổi biến số (x) = t Nếu (x) biến thiên a đơn điệu có đạo hàm ’(x) liên tục [a; b] g(t) liên tục [(a), b (b)], ta có cơng thức:  a b f ( x)dx =  g[( x)] '( x)dx = a - 84 -  ( b)   ( a) g(t )dt  Ví dụ 4.24 : Tính tích phân I   cos xdx  5sin x  sin x Giải: Đặt sin x  t  cos xdx  dt  x  0 t     Đổi cận:  thay vào I ta được:   x   t      I  cos xdx dt  2  5sin x  sin x t  5t   t     ln  ln  dt =   =     t  t  2  t   0 4.4.6 Phương pháp tính tích phân phần Giả sử u(x) v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [a; b] Từ cơng thức tính tích phân phần tích phân bất định cơng thức Newton – Leibniz, suy công thức: b b  udv  uv b a   vdu a a Ví dụ 4.25: Tính tích phân I   arctan x dx Giải:  dx  u  arctan x  du  Đặt     x2 dv  dx    v  x 1 Khi I = x arctan x   xdx   =  ln1  x2    ln2 1 x 4 4.4.7 Tích phân suy rộng 4.4.7.1 Tích phân suy rộng có cận vô hạn Giả sử hàm số f(x) xác định khoảng [ a;  ) Khi đó, với t  [ a;  ) tồn tích phân: t F(t )   f ( x)dx a - 85 - Định nghĩa Giới hạn tích phân F(t) t   gọi tích phân suy rộng hàm số f(x) khoảng [ a;  ) ký hiệu sau:   t f ( x)dx  lim t   a (4.4.2) f ( x)dx a Nếu giới hạn vế phải tồn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng (4.4.2) hội tụ Ngược lại, giới hạn vế phải vơ hạn khơng tồn ta nói tích phân phân kỳ Tích phân hàm số f(x) khoảng (; a],(;  ) định nghĩa tương tự: a  a f ( x)dx  lim t    t   f ( x)dx v f ( x)dx  lim  v u  u  f ( x)dx Tương tự tích phân thơng thường, ta sử dụng công thức     a f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx  a hai tích phân vế phải hội tụ ( a số ) Ví dụ 4.26:   dx  lim  x2 b b    dx arctan x b  lim arctan(b)  arctan0    lim  x2 b  0 b  Tương tự dx     x2    dx dx dx     x2    x2    x2        Ví dụ 4.27: Xét hội tụ I   dx x Với t > 1, ta có t F (t )     (t 1 1)   dx    1   x    ln t   - 86 -  1 t1  1  ;  t  t  1   1 Với   1: I  lim F(t )  lim t1  1  ; t  t  1  Với   : I  lim F(t )  lim ln t  ; Với   1: I  lim F (t )  lim t  t  Kết luận: Tích phân suy rộng I   dx hội tụ   phân kỳ   x 4.4.7.2 Tích phân suy rộng hàm khơng bị chặn Các hàm số không bị chặn đoạn [a; b] khơng khả tích, tức tích phân xác định đoạn khơng tồn theo nghĩa thơng thường Ta mở rộng khái niệm tích phân cho trường hợp Giả sử hàm số f(x) liên tục điểm x   a; b , f(x) có giới hạn vô hạn x  b Ta gọi điểm b điểm kỳ dị hàm số f(x) Với t   a; b , hàm số f(x) liên tục [ a; t ] , tồn tích phân: t I (t )   f ( x)dx a Định nghĩa Giới hạn tích phân I(t) t  b gọi tích phân suy rộng hàm số f(x) đoạn [ a; b] ký hiệu sau: b  t f ( x)dx  lim  f ( x)dx t b a (4.4.3) a Nếu giới hạn vế phải tồn hữu hạn ta nói tích phân suy rộng (4.4.3) hội tụ Ngược lại, giới hạn vế phải vô hạn không tồn ta nói tích phân phân kỳ Trường hợp hàm số f(x) liên tục điểm x  (a; b] có giới hạn vơ hạn x  a ( a điểm kỳ dị ), tích phân suy rộng hàm số f(x) đoạn [ a; b] định nghĩa tương tự: b  a b f ( x)dx  lim  f ( x)dx ta t Trường hợp hàm số f(x) liên tục khoảng (a; b) có giới hạn vơ hạn hai trình x  a x  b ( a b điểm kỳ dị ), tích phân suy rộng định nghĩa sau: - 87 - b  v f ( x)dx  lim  f ( x)dx v b u a  u a Tương tự tích phân thơng thường, ta sử dụng cơng thức b  c b f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a a c hai tích phân vế phải hội tụ ( a < c < b ) Ví dụ 4.28:  1   1 dx   lim arcsin x c  lim ( arcsin x)  c1  x c1 dx  lim  1 x2 c1 c c dx 1 x2 c1 0 dx 1 x  c  limarcsin x  lim(arcsin x )  c1 c1 1 x dx  lim   1 dx 1 x2 + dx  1 x2 b Ví dụ 4.29: Xét hội tụ = dx  (b  x)   +  =  , a < b,  > a Giải: Hàm số dấu tích phân trở nên vơ x = b c c  dx dx (b  x)1   Với   1, ta có:   lim    lim     c b cb ( b  x ) ( b  x )  1  a  a a = lim (b  c)1  (b  a)1    cb 0   Nhưng c  b , (b – c)1       b b Với  = 1, ta có:  a c dx dx  lim  (b  x) cb a (b  x)   lim[ln( b  c)  ln(b  a)]    cb b Tóm lại: dx  (b  x)  , hội tụ  < 1, phân kỳ   a 4.5 Ứng dụng tích phân kinh tế học 4.5.1 Ứng dụng tích phân bất định 4.5.1.1 Xác định quỹ vốn dựa vào luồng đầu tư - 88 - Giả sử việc đầu tư tiến hành liên tục theo thời gian Ta xem lượng đầu tư I quỹ vốn K biến số phụ thuộc hàm số vào thời gian t : I = I(t), K = K(t) Lượng đầu tư I(t) thời điểm t lượng bổ sung quỹ vốn thời điểm Nói cách khác, I(t) tốc độ tăng K(t), : I (t )  K '(t ) Nếu biết hàm đầu tư I(t) ta xác định quỹ vốn K(t) : K (t )   I (t )dt Hằng số C tích phân bất định xác định ta biết quỹ vốn ban đầu K  K (0) Ví dụ 4.30: Giả sử lượng đầu tư thời điểm t xác định dạng hàm số : I (t )  140t 0,75 Và quỹ vốn thời điểm xuất phát K(0) = 150 Quỹ vốn thời điểm t : K (t )   140t dt  140 t  C Tại thời điểm xuất phát K(0) = C = 150, : K (t )  80 t  150 4.5.1.2 Xác định hàm tổng biết hàm giá trị cận biên Giả sử biến số kinh tế y mang ý nghĩa tổng giá trị (tổng chi phí, tổng doanh thu, tổng số tiêu dùng, …) xác định theo giá trị biến số x : y = f(x) Như ta biết, đạo hàm y '  f '( x) giá trị cận biên x (tại điểm x) Nếu biết hàm giá trị cận biên y '  f '( x)  g( x) ta xác định hàm tổng y = f(x) thông qua phép tốn tích phân y  f ( x)   g( x)dx Chú ý tích phân bất định tập hợp vô hạn nguyên hàm, cần phải lưu ý đến thơng tin bổ sung xác định hàm tổng Ví dụ 4.31: Giả sử chi phí cận biên MC mức sản lượng Q : MC  25  30Q  9Q2 chi phí cố định FC = 55 Hãy xác định hàm tổng chi phí chi phí khả biến Giải Hàm tổng chi phí nguyên hàm hàm chi phí cận biên : TC   (25  30Q  9Q2 )dQ  25Q  15Q2  3Q3  C0 Chi phí cố định phần chi phí khơng phụ thuộc sản lượng Q, nên - 89 - FC  55  TC(0)  C0  TC  25Q  15Q2  3Q3  55 Chi phí khả biến VC hiệu số tổng chi phí chi phí cố định Trong trường hợp này, ta có VC  TC  FC  25Q  15Q2  3Q3 Ví dụ 4.32 Giả sử doanh thu cận biên MR mức sản lượng Q xác định dạng hàm số : MR  60  2Q  2Q2 Xác định hàm tổng doanh thu hàm cầu sản phẩm Giải Hàm tổng doanh thu TR nguyên hàm hàm doanh thu cận biên : TR   (60  2Q  2Q2 )dQ  60Q  Q2  Q3  R0 Doanh thu bán hàng Q = R0  Vậy : TR  60Q  Q2  Q3 Gọi p = p(Q) hàm ngược hàm cầu Q = D(p), ta có : TR = p(Q).Q Suy : p(Q)  TR  60  Q  Q2 Q 4.5.2 Ứng dụng tích phân xác định 4.5.2.1 Tính xác suất Xét biến số x nhận giá trị số khác cách ngẫu nhiên, gọi biến ngẫu nhiên Xác suất để biến ngẫu nhiên x nhận giá trị x0 tính thơng qua hàm số gọi hàm mật độ xác suất, hay hàm tần suất Hàm mật độ xác suất biến ngẫu nhiên liên tục x hàm số liên tục f(x) thỏa mãn điều kiện sau : +) f ( x)  ( xác suất số không âm ) +) Nếu miền biến thiên x khoảng [A; B] B  f ( x)dx  A +) Xác suất để x nhận giá trị khoảng [a; b] tính theo cơng thức b P(a  x  b)   f ( x)dx  ( A  a  x  b  B) a Ví dụ 4.33: Gọi t thời gian xếp hàng để mua hàng cửa hàng lớn ( đo phút ) Qua số liệu thực nghiệm, người ta ước lượng hàm tần suất : - 90 - t (0  t  3) 81 Xác suất để khách hàng phải xếp hàng từ đến phút f (t )  p  15 t dt  t   0,1852 81 81 81 4.5.2.2 Thặng dư người tiêu dùng thặng dư nhà sản xuất Khái niệm hàm cung, hàm cầu, điểm cân thị trường trình bày mục 2.1.7 Thơng qua mơ hình thị trường, người ta đánh giá lợi ích thị trường người mua người bán Trong mơ hình thị trường, hàm cầu Q = D(p) cho biết lượng hàng hóa Q mà người mua lịng mua mức giá p ( Q lượng cầu toàn thị trường ) Khi biểu diễn đồ thị mối liên hệ giá lượng cầu, nhà kinh tế thường sử dụng trục tung để biểu diễn giá p trục hoành để biểu diễn lượng Q Với cách biểu diễn đường cầu đồ thị hàm cầu ngược p  D1(Q) ( hàm ngược hàm cầu Q = D(p)) Giả sử điểm cân thị trường ( p0 ; Q0 ) hàng hóa bán với giá p0 thị trường Khi đó, người mua lẽ lòng trả giá p1  p0 hưởng khoản lợi p1  p0 đơn vị hàng hóa mua theo giá thị trường ( Đoạn FM hình dưới) Tổng số hưởng lợi tất người tiêu dùng diện tích tam giác cong AEp0 Các nhà kinh tế gọi thặng dư người tiêu dùng ( Consumers’ Surplus ) Thặng dư người tiêu dùng tính theo cơng thức : Q0 CS  D1(Q)dQ  p0Q0 p A p -1 p = D (Q) p1 p0 O -1 p = D (Q) M E F Q1 Q0 Q p0 F p2 B N O Q2 Q0 E Q Hàm cung Q = S(p) thị trường cho biết lượng hàng hóa Q mà nhà - 91 - sản xuất lòng bán mức giá p Đường cung đồ thị hàm cung ngược p  S1(Q) Nếu hàng hóa bán thị trường mức giá cân p0 nhà sản xuất lẽ lòng bán mức giá p2  p0 hưởng khoản lợi p0  p2 đơn vị hàng hóa bán theo giá thị trường ( đoạn FN hình ) Tổng số hưởng lợi tất nhà sản xuất diện tích tam giác cong BEp0 Các nhà kinh tế gọi thặng dư nhà sản xuất ( Producers’ Surplus ) Thặng dư nhà sản xuất tính theo cơng thức : Q0 PS p0Q0   S1(Q)dQ Ví dụ 4.33: Cho biết hàm cầu ngược p  42  5Q  Q2 Giả sử sản phẩm bán thị trường với giá p0  Hãy tính thặng dư người tiêu dùng Giải Với p0  ta có Q0  ( loại giá trị Q0  9 ) Vậy thặng dư người tiêu dùng : CS  (42  5Q  Q2 )dQ  24    42Q  Q2  Q3   24  0  248 - 92 - ... có: ) f ( A1  A2 )  f ( A1 )  f ( A2 ); A1; A2  X ; ) f ? ?1 ( B1  B2 )  f ? ?1 ( B1 )  f ? ?1 ( B2 ); B1; B2  Y ; ) f ? ?1 ( B1  B2 )  f ? ?1 ( B1 )  f ? ?1 ( B2 ); B1; B2  Y 1. 2.3.3 Đơn... Cuốn giáo trình biên soạn thời gian ngắn, chắn cịn nhiều sai sót Rất mong góp ý bạn đọc để sách ngày hoàn thiện Tác giả - - CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ QUAN HỆ 1. 1 Tập hợp 1. 1 .1 Các khái niệm 1. 1 .1. 1 Tập...ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH NGHỆ AN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KINH TẾ NGHỆ AN Th.S Trần Hà Lan GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP LƯU HÀNH NỘI BỘ - - LỜI NĨI ĐẦU Tốn học ứng dụng rộng rãi