Tiếp nội dung phần 1, Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 cung cấp cho người học những kiến thức như: Hàm số nhiều biến số; Phương trình vi phân; Không gian vectơ; Ma trận và định thức; Hệ phương trình tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo!
CHƯƠNG HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 5.1 Các khái niệm 5.1.1 Hàm số hai biến số 5.1.1.1 Khái niệm hàm số hai biến số Khái niệm hàm số biến số phản ánh phụ thuộc hàm số biến số vào biến số khác: giá trị biến độc lập đặt tương ứng với giá trị biến phụ thuộc Trong thực tế, nhiều biến số phụ thuộc không vào mà phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác Ví dụ: sản lượng, tức số lượng sản phẩm nhà sản xuất, phụ thuộc vào mức sử dụng yếu tố đầu vào lao động, vốn, … Khái niệm hàm số n biến số phản ánh phụ thuộc hàm số biến số vào n biến số khác Để đơn giản trước hết ta đề cập đến trường hợp n = Cho cặp biến số có thứ tự (x; y), ta đồng cặp số với điểm M(x; y) mặt phẳng Mặt phẳng tọa độ gọi không gian hai chiều ký hiệu Theo quan điểm này, cặp biến số (x; y) xem biến điểm M(x; y) với miền biến thiên tập hợp D không gian 2 Định nghĩa Một hàm số f biến điểm M(x; y), với miền biến thiên D , quy tắc đặt tương ứng điểm M(x; y) D với số thực z Miền D gọi miền xác định hàm số f, số thực z ứng với điểm M(x; y) gọi giá trị hàm f M(x; y) ký hiệu f(M) f(x; y) Hàm f xác định gọi hàm số hai biến số x y x, y gọi biến số độc lập; z biến số phụ thuộc hàm số vào biến x, y Khi cho hàm hai biến, cách diễn đạt sau nhau: - Hàm số f xác định miền D ; - Hàm số f(M), M D; - Hàm số f(x; y), (x; y) D; - Hàm số z = f(x; y), (x; y) D 5.1.1.2 Miền xác định hàm số - 93 - Miền xác định hàm hai biến z = f(x; y) miền biến thiên biến điểm M Nếu biểu diễn hình học miền biến thiên tập hợp mặt phẳng tọa độ Thông thường hàm hai biến x, y cho dạng biểu thức f(x; y) Mỗi biểu thức có miền xác định tự nhiên Miền xác định tự nhiên biểu thức tập hợp tất cặp số thực (x; y) mà biểu thức có nghĩa ta gán giá trị x, y Nói chung miền xác định hàm hai biến cho dạng biểu thức tập D miền xác định tự nhiên biểu thức Ta quy ước, khơng nói thêm miền xác định biểu thức miền xác định hiểu miền xác định tự nhiên Ví dụ 5.1: Miền xác định hàm số z = x + y tồn mặt phẳng x0y Ví dụ 5.2: Miền xác định hàm số z ln4 x2 y2 tập tất điểm M(x; y) thỏa mãn điều kiện x2 + y2 < Như miền xác định hình trịn có tâm gốc tọa độ có bán kính r = 2, khơng kể điểm đường trịn 5.1.1.3 Đồ thị hàm hai biến Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số z = f(x; y) không gian ba chiều, ta dùng hệ tọa độ vng góc với trục hoành 0x biểu diễn biến số x, trục tung 0y biểu diễn biến số y trục cao 0z biểu diễn biến phụ thuộc z Miền xác định D hàm số z = f(x; y) tập hợp điểm mặt phẳng (0xy) Mỗi điểm M(x; y) cho tương ứng giá trị hàm số z, theo ta có tương ứng điểm P(x; y; z) không gian Định nghĩa Đồ thị hàm số z = f(x; y) tập hợp tất điểm P(x; y; z) khơng gian, M(x; y) điểm thuộc miền xác định D z giá trị hàm số điểm Ví dụ 5.3: Đồ thị hàm số z = x2 y2 nửa mặt cầu có tâm gốc tọa độ bán kính R = 5.1.1.4 Đường mức Cho z = f(x; y) hàm số xác định miền D z0 giá trị cố định hàm số Định nghĩa Đường mức hàm số z = f(x; y) tập hợp tất điểm M(x ; y) thỏa mãn điều kiện : f(x; y) = z0 , với z0 giá trị cố định Nói cách khác, đường mức hàm hai biến z = f(x; y) tập hợp tất điểm mặt phẳng ( 0xy ) mà hàm số nhận giá trị z0 cố định - 94 - Thông thường đường mức hàm hai biến đường mặt phẳng Mỗi giá trị z0 cố định tương ứng với đường mức Ví dụ 5.4: Các đường mức hàm số z 2x 3y đường thẳng có phương trình 2x 3y z0 , với z0 số hình 5.1 đường mức hàm số ứng với giá trị z0 6; z0 0; z0 6 x -3 O -2 y 2x + 3y = 2x + 3y = 2x + 3y = -6 5.1.2 Hàm số n biến số 5.1.2.1 Không gian điểm n chiều Theo phương pháp tọa độ, điểm mặt phẳng đồng với hai số thực có thứ tự (x; y) điểm không gian ba chiều đồng với ba số có thứ tự (x; y; z) Trên mặt phẳng tọa độ (trong không gian hai chiều) khoảng cách hai điểm M(x; y) M’(x’; y’) xác định theo công thức: d( M ; M ') ( x x ')2 ( y y ')2 Tương tự, không gian ba chiều khoảng cách hai điểm M(x; y; z) M’(x’; y’; z’) xác định theo công thức: d( M ; M ') ( x x ')2 ( y y ')2 ( z z')2 Một cách tổng quát ta có định nghĩa điểm n chiều khơng gian n chiều sau: Định nghĩa Mỗi n số thực có thứ tự ( x1 ; x2 ; ; xn ) gọi điểm n chiều Để gán tên cho điểm n chiều ( x1 ; x2 ; ; xn ) ta dùng chữ in hoa, chẳng hạn điểm X ta viết: X ( x1 ; x2 ; ; xn ) X( x1 ; x2 ; ; xn ) - 95 - Định nghĩa Không gian điểm n chiều (gọi tắt không gian n chiều) tập hợp tất điểm n chiều, khoảng cách hai điểm X( x1 ; x2 ; ; xn ) X '( x '1 ; x '2 ; ; x 'n ) xác định theo công thức: d( X; X ') ( x1' x1 )2 ( x2' x2 )2 ( xn' xn )2 (5.1.1) Không gian n chiều ký hiệu n Ta chứng minh khoảng cách không gian n , xác định theo cơng thức (5.1.1), thỏa mãn tính chất biết khoảng cách không gian hai chiều không gian ba chiều: Với ba điểm X, X’, X” thuộc không gian n ta có: (i) d(X; X’) 0, d(X; X’) = X = X’(xi = xi’ với i = 1, 2,…, n) (ii) d(X ; X’) = d(X’ ; X) (iii) d(X; X’) + d(X’; X’’) d(X; X’’) 5.1.2.2 Khái niệm hàm số n biến số Định nghĩa Một hàm số f biến điểm X( x1 ; x2 ; ; xn ) , với miền biến thiên D n , quy tắc đặt tương ứng điểm X( x1 ; x2 ; ; xn ) D với số thực z Miền D gọi miền xác định hàm số f, số thực z ứng với điểm X( x1 ; x2 ; ; xn ) gọi giá trị hàm f X ký hiệu f(X) f(x1; x2; …; xn) Hàm f định nghĩa gọi hàm số n biến số Các khái niệm khác hàm số n biến số định nghĩa tương tự định nghĩa hàm hai biến số 5.1.3 Các hàm số thường gặp phân tích kinh tế Để tiếp cận với phương pháp phân tích định lượng kinh tế học, ta làm quen với số hàm số mà nhà kinh tế hay sử dụng phân tích hoạt động kinh tế Các ký hiệu biến số kinh tế đưa ký hiệu thông dụng tài liệu kinh tế học, thường lấy chữ đầu từ tiếng Anh tương ứng 5.1.3.1 Hàm sản xuất - 96 - Hàm sản xuất hàm số biểu diễn phụ thuộc sản lượng tiềm doanh nghiệp vào lượng sử dụng yếu tố sản xuất Khi phân tích hoạt động sản xuất, nhà kinh tế thường lưu tâm đến hai yếu tố sản xuất quan trọng tư (capital lao động (labor) Gọi K lượng tư (vốn) L lượng lao động sử dụng Với trình độ cơng nghệ mình, sử dụng K đơn vị tư L đơn vị lao động, doanh nghiệp có khả sản xuất lượng sản phẩm tối đa, ký hiệu Q (gọi sản lượng tiềm năng) Hàm sản xuất có dạng: Q f K ; L (5.1.2) Hàm số (5.1.2) cho biết số lượng sản phẩm mà doanh nghiệp có khả sản xuất mức sử dụng kết hợp vốn lao động Khi phân tích sản xuất, người ta giả thiết doanh nghiệp khai thác hết khả công nghệ, tức Q ln sản lượng tiềm năng, hàm sản xuất f công nghệ xác định Dạng hàm sản xuất mà nhà kinh tế học hay sử dụng hàm Cobb – Douglas: Q aK L , a, , số dương Đường mức hàm sản xuất có phương trình: f ( K ; L ) Q0 (Q0 const, Q0 0) Trong kinh tế học, thuật ngữ “ đường mức ” hàm sản xuất có tên gọi đường đồng lượng, hay đường đẳng lượng (isoquant) Đường đồng lượng tập hợp yếu tố sản xuất (K; L) cho mức sản lượng Q0 cố định 5.1.3.2 Hàm chi phí hàm lợi nhuận Như ta biết, tổng chi phí sản xuất TC (Total cost) tính theo sản lượng gọi hàm chi phí, có dạng: TC TC(Q) Nếu tính theo yếu tố sản xuất hàm chi phí hàm số yếu tố sản xuất: TC wK K wL L C0 - 97 - wK giá thuê đơn vị tư (chẳng hạn sử dụng xưởng máy), wL giá thuê đơn vị lao động (chẳng hạn làm việc công nhân); C0 chi phí cố định Nếu doanh nghiệp cạnh tranh có hàm sản xuất Q f ( K ; L ) giá thị trường sản phẩm p tổng doanh thu doanh nghiệp hàm số hai biến số K L: TR pQ p f ( K ; L ) Tổng lợi nhuận doanh nghiệp cạnh tranh hàm số: p f ( K ; L ) (wK K wL L C0 ) 5.1.3.3 Hàm chi phí kết hợp Trên thực tế, có nhiều doanh nghiệp sản xuất kết hợp nhiều loại sản phẩm Giả sử doanh nghiệp sản xuất n sản phẩm Với trình độ cơng nghệ định, để sản xuất sản phẩm gồm Q1 đơn vị sản phẩm 1, Q2 đơn vị sản phẩm 2, , Qn đơn vị sản phẩm n, doanh nghiệp phải bỏ khoản chi phí TC Như TC hàm số n biến số: TC TC(Q1 ; Q2 ; ; Qn ) (5.1.3) Hàm số (5.1.3) gọi hàm chi phí kết hợp 5.1.3.4 Hàm đầu tư Lượng đầu tư I (Investment) kinh tế phụ thuộc vào tổng thu nhập Y lãi suất r Hàm đầu tư hàm số biểu diễn quan hệ này: I = I(Y; r) Hàm đầu tư đồng biến với thu nhập (khi lãi suất không đổi) nghịch biến với lãi suất (khi thu nhập không đổi) 5.1.3.5 Hàm lợi ích Sở thích người tiêu dùng yếu tố quan trọng chi phối định mua sắm, tức ảnh hưởng tới phía cầu hoạt động kinh tế Các nhà kinh tế học dùng biến số lợi ích U (Utility) để biểu diễn mức độ ưa thích người tiêu dùng tổ hợp hàng hóa cấu tiêu dùng Ta gọi tổ hợp hàng hóa túi hàng Giả sử cấu tiêu dùng gồm có n mặt hàng - 98 - Mỗi túi hàng n số thực X( x1 ; x2 ; ; xn ) , xi (i 1; n) lượng hàng hóa Hàm lợi ích hàm số dặt tương ứng mối túi hàng X( x1 ; x2 ; ; xn ) với giá trị lợi ích U định theo quy tắc: Túi hàng ưa chuộng gán giá trị lợi ích lớn Hàm lợi ích có dạng tổng quát sau: U U ( x1 ; x2 ; ; xn ) Một dạng hàm lợi ích hay sử dụng hàm Cobb – Douglas: U ax11 x22 xnn ( a, 1 , , , n số dương ) Tập mức hàm lợi ích có phương trình: U ( x1 ; x2 ; ; xn ) U0 ( U0 const ) Trong kinh tế học, tập mức hàm lợi ích gọi tập bàng quan (Indifferent set) Tập bàng quan tập hợp tất túi hàng đem lại mức lợi ích cho người tiêu dùng (tập hợp túi hàng ưa chuộng nhau) Trường hợp n = 2, tập bàng quan gọi đường bàng quan (Indifferent curve) Phương trình đường bàng quan phương trình hai biến số: U ( x1 ; x2 ) U0 Chú ý rằng, hàm lợi ích sử dụng để biểu diễn sở thích người tiêu dùng: túi hàng ưa chuộng gán giá trị lợi ích lớn Giá trị lợi ích U mang ý nghĩa ước lệ Nếu V = g(U) hàm dương đồng biến hai hàm lợi ích U = U(X) V = g[U(X)] mơ tả sở thích 5.1.3.6 Hàm cung hàm cầu thị trường nhiều hàng hóa liên quan Hàm cung ( hàm cầu ) biểu diễn lượng hàng hóa mà người bán lòng bán (người mua lòng mua) mức giá Lượng cung lượng cầu loại hàng hóa thị trường khơng phụ thuộc vào giá hàng hóa mà cịn bị chi phối giá hàng hóa liên quan thu nhập người tiêu dùng Trên thị trường n hàng hóa liên quan hàm cung hàng hố hàm cầu hàng hóa i có dạng ( với giả thiết thu nhập không thay đổi ): - 99 - Qsi Si ( p1 ; p2 ; ; pn ) Qdi Di ( p1 ; p2 ; ; pn ) Trong Qsi lượng cung hàng hóa i; Qdi lượng cầu hàng hóa i, pi (i 1; n) giá hàng hóa i Mơ hình cân thị trường n hàng hóa liên quan có dạng Qsi Qdi Qsi Si ( p1; p2 ; ; pn ) Qdi Di ( p1; p2 ; ; pn ) i 1;2; ; n Hệ phương trình xác định giá cân Si ( p1; p2 ; ; pn ) Di ( p1; p2 ; ; pn ) i 1;2; ; n 5.2 Giới hạn tính liên tục 5.2.1 Giới hạn hàm số hai biến số 5.2.1.1 Giới hạn dãy điểm mặt phẳng Định nghĩa Dãy điểm Mn(xn; yn) gọi dần tới điểm M0(x0; y0) n +, lim dn n Nếu gọi dn khoảng cách hai điểm M0 Mn : dn ( xn x0 )2 ( yn y0 )2 Khi ta kí hiệu lim Mn M0 Mn M0 n n Rõ ràng dãy điểm Mn(xn; yn) dần tới điểm M0(x0; y0) lim xn x0 lim yn y0 n n Giả sử hàm số z = f(M) = f(x, y) xác định lân cận V điểm M0, trừ điểm M0 5.2.1.2 Giới hạn hàm số - 100 - Định nghĩa Hàm số f(M) gọi giới hạn L điểm M(x; y) dần tới điểm M0(x0; y0) với dãy điểm Mn(xn; yn) thuộc lân cận V, dần tới điểm M0(x0; y0) ta ln có lim f ( xn ; yn ) L n Khi ta viết: lim f ( x; y) L x x0 y y0 lim ( x;y )( x0 ;y0 ) f ( x; y) L Định nghĩa Hàm số f(M) gọi có giới hạn L M(x; y) dần đến M0(x0; y0) với > 0, tồn > cho: d M0 ; M f M L , ký hiệu là: lim f ( M ) L M M0 lim f ( x; y) L ; x x0 y y0 lim ( x,y )( x0 ;y0 ) f ( x; y) L Trong định nghĩa điều kiện d(M0; M) < thay điều kiện |x – x0| < , |y – y0| < Ví dụ 5.5: Chứng minh lim(5x 2y 1) x1 y2 Giải: Ta có 5x 2y 1 5 x 1 2 y 2 x y Với > 0, chọn = , x , y 5x 2y 1 Vậy ta có điều phải chứng minh Ví dụ 5.6: Chứng minh khơng tồn giới hạn Giải: Hàm số f ( x; y) xy ( x;y )(0;0) x2 y2 lim xy xác định \{(0,0)} 2 x y - 101 - 1 Với dãy xn , yn , (0;0) n , ta có (f(xn, yn)) = n n lim f ( xn ; yn ) n Mặt khác với dãy lim f ( x 'n ; y 'n ) n 2 x’ n ; y’ n , (0;0) n n n , ta có lim f ( xn ; yn ) n Vậy theo định nghĩa 2, ta suy không tồn giới hạn xy ( x;y )(0;0) x2 y2 lim Chú ý: Các định lý giới hạn tổng, thương, tích hàm số biến số cho hàm số hai biến số chứng minh tương tự 5.2.1.3 Giới hạn lặp Giới hạn định nghĩa gọi giới hạn bội giới hạn kép điểm (x0; y0) (các trình x x0 , y y0 diễn đồng thời, không phụ thuộc lẫn nhau) Ngồi giới hạn kép ta cịn xét giới hạn lặp sau: Với y cố định, y y0 ta tính giới hạn lim f ( x; y) ( y), sau tính tiếp x x0 giới hạn lim ( y) M Trong trường hợp ta viết: y y0 lim lim f ( x; y) M y y0 x x0 Tương tự, ta có: lim f ( x; y) ( x) , y y0 lim ( x) N x x0 Ta ký hiệu lim lim f ( x; y) N x x0 y y0 Chú ý: Nói chung giới hạn lặp giới hạn kép khác nhau, chí giới hạn lặp với thứ tự khác khác x2 y2 Ví dụ 5.7: Cho hàm số f ( x; y) 2 ( x, y ) x y ( x y)2 Chứng minh lim(lim f ( x; y)) lim(lim f ( x; y)) x0 y0 y0 x0 - 102 - 3 Ví dụ 8.22: Cho A 3 ; tìm A1 1 8 Giải: Ta có det( A) 1 nên A1 c11 40 c12 13 c13 5 c21 16 c22 c23 c31 c32 c33 Do 40 13 5 40 16 9 ' C 16 C 13 9 5 Vậy 40 16 ' A C 13 5 3 det( A) 2 1 1 8.4.3 Các tính chất ma trận nghịch đảo Ta thừa nhận tính chất sau +) Nếu ma trận A có ma trận nghịch đảo : ( A1 ) 1 A A1 A 1 Hệ thức thứ suy trực tiếp từ định nghĩa ma trận nghịch đảo, hệ thức thứ hai suy từ mệnh đề nói định thức tích hai ma trận vng cấp: AA1 E A A1 +) Nếu hai ma trận vng cấp A B có ma trận nghịch đảo ma trận AB có ma trận nghịch đảo ( AB ) 1 B 1 A1 8.5 Hạng ma trận 8.5.1 Khái niệm hạng ma trận Cho ma trận cấp m n a12 a1n a11 a a22 a2 n 21 A am amn am1 - 169 - Gọi p số nguyên dương thoả mãn p m; n Định nghĩa Ma trận vuông cấp p suy từ A cách bỏ (m – p) dòng (n – p) cột gọi ma trận cấp p A Định thức ma trận gọi định thức cấp p A Ví dụ 8.23: Xét ma trận cấp 3 3 A 1 1 2 2 Ta có: min{3; 4} = 3, p = 1; 2; Các định thức cấp A 3 4 3 3 2 1; ; ; 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 Các định thức cấp hai A là: 3 7; 1 2 3.v.v Định nghĩa Hạng ma trận A cấp cao định thức khác A Hạng ma trận A ký hiệu ( A) (hoặc r ( A) ) Ví dụ 8.24: Xét ví dụ trên: Các định thức cấp khơng có định thức cấp khác không.Vậy ( A) (chú ý: ( A' ) ( A); A ma trận vng) 8.5.2 Các phương pháp tìm hạng ma trận 8.5.2.1 Phương pháp định thức bao quanh Định nghĩa 10 Ta nói định thức D ( cấp r 1) ma trận A định thức bao quanh định thức D ( cấp r ) D thành lập cách bổ sung thêm dịng cột A ngồi r dòng r cột chọn để lập định thức D Nếu D định thức cấp r ma trận cấp m n ( r < m r < n ) để lập định thức cấp r bao quanh D, ta có m r cách chọn thêm dòng n r cách chọn thêm cột (ngồi dịng cột chọn để lập định thức D), số định thức cấp r bao quanh định thức D (m r )(n r ) - 170 - Mệnh đề Nếu ma trận A có định thức D cấp r mà định thức cấp r bao quanh ( có ) hạng ma trận A r Từ mệnh đề nêu trên, ta tính hạng ma trận theo phương pháp lặp sau: Xuất phát từ định thức D cấp r ma trận, ta cần tính định thức cấp r bao quanh (nếu có) Nếu tất định thức cấp r bao quanh D 0, ma trận khơng có định thức cấp r (khi r số dòng số cột ma trận), hạng ma trận r Nếu số định thức cấp r bao quanh D có định thức D khác ta lại chuyển sang xét định thức cấp r bao quanh D (nếu có) Lặp lại q trình này, sau số hữu hạn bước ta xác định hạng ma trận Ví dụ 8.25: Xét ma trận cấp 3 3 A 1 1 2 2 Nhận thấy có: D 3 0; Khi đó, ta tính định thức cấp bao quanh D, thấy: 3 1 0; 1 1 3 2 1 Vậy hạng A 8.5.2.2 Phương pháp biến đổi Xét ma trận dạng: - 171 - b11 b12 0 b 22 0 0 0 b1s b2 s bss b1n b2 n bsn 0 (8.5.1) s n bii 0, i 1, 2, , s Nếu xóa dịng gồm tất phần tử phía dịng thứ s (nếu có) hạng ma trận (8.5.1) khơng thay đổi (do dịng biểu diến tuyến tính qua dịng cịn lại), mặt khác ta thấy ma trận (8.5.1) có định thức khác 0: b11 b12 b1s b22 b2 s 0 b11b22 bss bss Điều chứng tỏ hạng ma trận A s Do phép biến đổi sơ cấp khơng làm thay đổi tính khác khơng hay không định thức ma trận, nên khơng thay đổi hạng ma trận Vì ta áp dụng chúng để đưa ma trận dạng (8.5.1) áp dụng suy hạng ma trận cho 3 Ví dụ 8.26: Xét ma trận A 1 1 2 2 Khi đó: 1 2 1 3 d (5/7) d 7 0 0 0 0 5 0 d1( 2) d 0 A d1(1) d Từ ta có r ( A) = - 172 - CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 9.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn liên tiếp 9.1.1 Các khái niệm hệ phương trình tuyến tính 9.1.1.1 Hệ phương trình tuyến tính tổng qt Hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình, n ẩn x1 , x2 , , xn hệ có dạng tổng quát sau: a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 22 2n n am1x1 am x2 amn xn bm (9.1.1) đó: aij , bi số cho trước: số aij gọi hệ số ẩn x j phương trình thứ i, bi gọi số hạng tự phương trình thứ i ( i 1,2, , m; j 1, 2, , n ) 9.1.1.2 Ma trận hệ số ma trận mở rộng Hệ phương trình (9.1.1) cho tương ứng hai ma trận: a11 a12 a a22 A 21 am1 am a1n a2 n amn a11 a12 a a22 A 21 am1 am a1n b1 a2 n b2 amn bm Khi A gọi ma trận hệ số, A gọi ma trận mở rộng hệ phương trình tuyến tính (9.1.1) 9.1.1.3 Nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Nghiệm hệ phương trình tuyến tính n ẩn (9.1.1) n số có thứ tự (1; ; ; n ) mà gán x1 1 , x2 , , xn n vào tất phương trình hệ ta đẳng thức Nghiệm hệ phương trình (9.1.1) viết ba dạng sau: (1; ; ; n ) ; 1 2 ; n - 173 - x1 1 x 2 xn n Giải hệ phương trình tuyến tính có nghĩa tìm tập hợp tất nghiệm hệ phương trình 9.1.1.4 Hệ tương đương phép biến đổi tương đương Định nghĩa Hai hệ phương trình tuyến tính với ẩn số gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm, tức nghiệm hệ đồng thời nghiệm hệ ngược lại (hoặc hai hệ vô nghiệm) Khi giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp sơ cấp, ta thường phải biến đổi hệ phương trình dạng thuận tiện cho việc xác định nghiệm Định nghĩa Một phép biến đổi biến hệ phương trình tuyến tính thành hệ tương đương gọi phép biến đổi tương đương 9.1.1.5 Các phép biến đổi sơ cấp Định nghĩa Các phép biến đổi sau một hệ phương trình tuyến tính gọi phép biến đổi sơ cấp: +) Đổi chỗ hai phương trình hệ +) Nhân hai vế phương trình hệ với số +) Biến đổi phương trình hệ cách lấy tích hai vế phương trình khác (trong hệ đó) với số k cộng vào hai vế tương ứng phương trình Định lý Các phép biến đổi sơ cấp phép biến đổi tương đương 9.1.2 Hệ phương trình dạng tam giác dạng hình thang Ý tưởng chung phương pháp sơ cấp để tìm nghiệm hệ phương trình nhiều ẩn số khử dần ẩn để quy việc giải phương trình ẩn số Việc khử dần ẩn số hệ phương trình tuyến tính dẫn đến hai dạng (nếu hệ có nghiệm) Theo hình dạng vế trái, ta gọi hệ phương trình hệ tam giác hệ hình thang 9.1.2.1 Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác Hệ phương trình tuyến tính dạng tam giác hệ có dạng sau: a11x1 a12 x2 a1n xn b1 a22 x2 a2 n xn b2 ann xn bm tất hệ số a11, a22 , ann khác - 174 - (9.1.2) Đây hệ phương trình có số phương trình số ẩn, theo thứ tự từ xuống, ẩn số dần ( aij i j ) Phương trình cuối hệ cịn lại ẩn số Từ phương trình hệ (9.1.2), ta xác định được: xn bn n ann Tiếp theo, thay xn n vào phương trình phía ta lại có phương trình ẩn số xn 1 , từ xác định xn1 n 1 Lặp lại trình theo trình tự từ lên ta tìm được: xn2 n 2 , , x1 1 Hệ phương trình (9.1.2) có nghiệm nhất: (1; ; ; n ) Ví dụ 9.1: Giải hệ phương trình : x1 x2 x3 x2 x3 x3 16 Giải Hệ phương trình cho có dạng tam giác Từ phương trình thứ ba, ta tìm x3 Thay x3 vào phương trình thứ hai ta có: x2 16 x2 Tiếp theo, thay x3 , x2 vào phương trình thứ nhất, ta có x1 x1 Vậy hệ cho có nghiệm (3;2;4) 9.1.2.2 Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang Hệ phương trình tuyến tính dạng hình thang có đặc điểm giống hệ tam giác phương trình hệ khuyết dần ẩn số theo thứ tự từ xuống, hệ hình thang có số phương trình nhỏ số ẩn, phương trình phương trình nhiều ẩn số: a11x1 a12 x2 a1m xm a1n xn b1 a22 x2 a2 m xm a2 n xn b2 amm xm ann xn bm (m n; aii 0, i 1, 2, , m) - 175 - (9.1.3) Ở dạng (9.1.3) ta gọi m ẩn đầu x1, x2 , , xm ẩn ẩn cịn lại gọi ẩn tự Gán cho ẩn tự giá trị tùy ý xm1 m1, , xn n chuyển số hạng chứa chúng sang vế phải ta hệ tam giác ẩn chính: a11x1 a12 x2 a1m xm b1 a1( m1) m1 a1n n a22 x2 a2 m xm b2 a2( m1) m1 a2 n n amm xm bm am ( m1) m1 amn n Theo phương pháp giải hệ tam giác, ta xác định giá trị ẩn x1 , x2 , , xm theo m1 , , n Nghiệm hệ (9.1.3) có dạng: x1 c11 m1 c1( nm ) n d1 xm cm1 m1 cm ( nm ) n d m (9.1.4) x m1 m1 xn n Hệ hình thang (9.1.3) có vô số nghiệm Nghiệm viết dạng (9.1.4) với ( m1 , , n ) n m số bất kỳ, gọi nghiệm tổng quát Mỗi số thực ( m1 , , n ) gán cho ẩn tự cho tương ứng nghiệm hệ (9.1.3), gọi nghiệm riêng Ví dụ 9.2: Giải hệ phương trình x1 x2 x3 x4 x5 3 x2 x3 x4 x5 x3 x4 x5 Giải Đây hệ hình thang với ẩn x1, x2 , x3 ẩn tự x4 , x5 Chuyển số hạng chứa ẩn tự sang vế phải gán x4 , x5 , ta hệ sau: x1 x2 x3 6 x2 x3 x3 2 3 Theo quy tắc giải hệ tam giác ta tìm được: - 176 - x3 2; x2 3 4; x1 4 3 19 Nghiệm tổng quát hệ phương trình là: (4 3 19; 3 4; 2) Mỗi hai số ( ; ) cho tương ứng nghiệm riêng Chẳng hạn, với 0, ta có nghiệm riêng (19;4;2;0;0) 9.1.3 Điều kiện có nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định lý sau cho phép ta vào hạng ma trận hệ số hạng ma trận mở rộng để nhận biết hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hay không ( Ta thừa nhận định lý ) Định lý Cronecker – Capelli: Điều kiện cần đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm hạng ma trận mở rộng hạng ma trận hệ số 9.1.4 Phương pháp Gauss giải hệ phương trình tuyến tính tổng qt Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính cách khử dần ẩn số để đưa dạng tam giác dạng hình thang gọi phương pháp khử ẩn liên tiếp, hay phương pháp Gauss Nội dung phương pháp sau: Xét hệ phương trình (9.1.1) Khơng làm tính tổng quát, ta giả sử a11 (nếu khơng ta đổi chỗ phương trình lại thứ tự ẩn số để có điều đó) Trước hết ta khử ẩn x1 phương trình từ phương trình thứ hai trở xuống cách cộng vào hai vế phương trình thứ i (i = 2, 3, , m) tích vế tương ứng phương trình thứ với số ai1 a11 Chú ý rằng, phép biến đổi sơ cấp phép biến đổi tương đương, sau m phép biến đổi vậy, ta hệ tương đương: a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 ' a22 x2 a2' n xn b2' ' am' x2 amn xn bm' : aij' aij ai1 a a1 j , b'j bi i1 b1 (i 1; m; j 1; n) a11 a11 - 177 - (9.1.5) Trong hệ (9.1.5) có khả xuất phương trình với vế trái đồng ( hệ (9.1.1) có phương trình có vế trái tỷ lệ với vế trái phương trình thứ ): 0.x1 0.x2 0.xn b (9.1.6) Nếu b phương trình (9.1.6) đẳng thức với số gán cho x1, x2 , , xn , ta loại bỏ phương trình khỏi hệ Nếu b phương trình (9.1.6) đẳng thức sai với số gán cho x1 , x2 , , xn , hệ vô nghiệm Tiếp theo, cách tương tự, ta lại khử ẩn x2 phương trình từ phương trình thứ ba trở xuống hệ (9.1.5) (nếu có), sau ta lại khử ẩn x3 phương trình từ phương trình thứ tư trở xuống hệ (9.1.5)(nếu có) v.v Phương pháp khử ẩn theo cách nêu thủ tục lặp Sau số hữu hạn bước biến đổi, trình khử ẩn kết thúc ba trường hợp sau: +) Hệ nhận có chứa phương trình dạng (9.1.6) với b +) Hệ nhận có dạng tam giác +) Hệ nhận có dạng hình thang Trong trường hợp thứ nhất, hệ phương trình vơ nghiệm, cịn hai trường hợp sau ta biết cách giải nghiệm Như vậy, xét theo số nghiệm hệ phương trình tuyến tính phân thành loại: hệ vơ nghiệm, hệ có nghiệm nhất, hệ có vơ số nghiệm Như ta biết, hệ phương trình tuyến tính hoàn toàn xác định biết ma trận mở rộng nó, phép biến đổi hệ phương trình tuyến tính tương ứng với phép biến đổi ma trận mở rộng Các phép biến đổi ma trận mà ta nói đến hiểu theo nghĩa sau: +) Nhân dòng ma trận với số có nghĩa nhân số nằm dịng với số ; +) Cộng dịng vào dịng i có nghĩa cộng số dòng vào số tương ứng dòng i Các phép biến đổi sơ cấp hệ phương trình tuyến tính thực tương ứng ma trận mở rộng sau: Biến đổi hệ phương trình Đổi chỗ hai phương trình hệ Biến đổi ma trận mở rộng Đổi chỗ hai dòng tương ứng ma trận mở rộng Nhân hai vế phương trình với Nhân dịng tương ứng ma trận mở rộng - 178 - số 0 với số 0 Cộng vào vế phương trình thứ i Cộng vào dịng thứ i ma trận mở rộng tích vế tương ứng phương trình tích dịng thứ k với số ( để biến đổi thứ k với số ( để biến đổi phương dòng thứ i ) trình thứ i ) Trong trình biến đổi, ma trận mở rộng có dịng có tất số ta bỏ dịng (tương ứng với việc loại khỏi hệ phương trình có tất hệ số vế trái số hạng tự vế phải 0) Ví dụ 9.3: Giải hệ phương trình: x1 x2 x3 5 2 x1 x2 x3 13 3x x x 15 Giải: Ma trận mở rộng: 1 3 5 A 13 4 15 Các phép biến đổi khử ẩn thực ma trận mở rộng sau: 1 3 5 1 11 23 0 10 10 30 d1 ( 2) d d 2' A 0 d1 ( 3) d d 3' 3 5 1 0 1 11 23 0 100 200 Ma trận cuối ma trận mở rộng hệ phương trình dạng tam giác: d ( 10) d d 3' x1 x2 x3 5 x2 11x3 23 100 x3 200 Giải hệ ta nghiệm (3; 1;2) Ví dụ 9.4: Giải hệ phương trình: - 179 - x1 x2 x3 x4 2 x x x x 3x1 + 8x2 11x3 x4 2 x1 x2 x3 x4 10 Giải: Ma trận mở rộng: 5 1 A 11 3 2 10 1 Các phép biến đổi khử ẩn thực ma trận mở rộng sau: 1 d (2) d d ;d ( 3) d d A d (1) d d 0 0 ' ' 3 ' 4 1 d (2) d d ;d ( 7) d d 0 0 ' 3 ' 4 5 1 3 6 5 1 11 5 1 3 10 16 17 20 32 31 1 5 1 3 d ( 2) d d 0 10 16 17 0 0 Ma trận cuối ma trận mở rộng hệ phương trình: ' 4 x1 x2 x3 x4 x2 x3 x4 10x3 16 x4 17 03 Sau phép biến đổi trên, ta nhận hệ có chứa phương trình với tất hệ số vế trái số hạng tự vế phải 3, hệ phương trình cho vơ nghiệm Ví dụ 9.5: Giải hệ phương trình: - 180 - x1 x2 x3 x4 x5 2 x1 x2 x3 x4 x5 3 x x x x x 5 Giải: Ma trận mở rộng: 1 4 A 7 2 6 Các phép biến đổi khử ẩn thực ma trận mở rộng sau: 1 ' 4 5 1 2 5 0 11 4 7 d ( 2) d d A 0 d ( 3) d d 2 3 ' 1 4 d (2) d d 0 5 1 2 5 0 1 ' 3 Từ ma trận mở rộng cuối cùng, ta có nghiệm hệ phương trình: (27 30a 2b; 20 19a 2b;4a 3; a; b) 9.2 Hệ phương trình tuyến tính Hệ phương trình tuyến tính trường hợp riêng hệ phương trình tuyến tính tất số hạng tự 0: a11x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 22 2n n am1x1 am x2 amn xn (9.1.7) Khi giải hệ phương trình tuyến tính phương pháp khử ẩn liên tiếp ta cần ý đặc điểm sau: +) Hệ phương trình tuyến tính (9.1.7) có nghiệm ( x1 0; x2 0; ; xn 0) , gọi nghiệm khơng, hay nghiệm tầm thường Do đó, hệ phương trình tuyến tính có hai khả xảy ra: +) Hệ có nghiệm nghiệm tầm thường (quá trình khử ẩn kết thúc dạng tam giác); +) Hệ có vơ số nghiệm (q trình khử ẩn kết thúc dạng hình thang) - 181 - +) Mọi hệ phương trình tuyến tính với số phương trình nhỏ số ẩn có vơ số nghiệm (q trình khử ẩn chắn kết thúc dạng hình thang) +) Một hệ phương trình tuyến tính xác định biết ma trận hệ số phép biến đổi sơ cấp biến hệ thành hệ tương đương Do đó, giải hệ phương pháp khử ẩn liên tiếp ta cần biểu diễn phép biến đổi ma trận hệ số Ví dụ 9.6: Giải hệ phương trình 2 x1 x2 x3 x4 4 x1 x2 x3 x4 2 x x x3 x4 Giải: Ma trận hệ số: 1 A 2 1 5 ' 1 3 9 0 4 12 d (2) d d A 0 d (1) d d 2 3 ' 2 d ( ) d d3' 0 1 3 9 0 0 Ma trận hệ số cuối cho hệ phương trình: x1 x2 x3 x4 x3 x4 Giải hệ theo phương pháp biết, ta nghiệm tổng quát: x1 a x 2a 8b x3 3b x4 b - 182 - ( a, b ) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Đình Thúy, Nguyễn Quỳnh Lan, Tốn cao cấp cho nhà kinh tế, Nhà xuất Đại học Kinh tế quốc dân, 2012 [2] Lê Đức Vĩnh, Nguyễn Thị Thanh Tâm, Giáo trình Tốn cao cấp, Nhà xuất Đại học nơng nghiệp, 2013 [3] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp (tập 1, 2, 3), Nhà xuất Giáo dục, 2000 [4] Nguyễn Đình Trí, Lê Trọng Vinh, Dương Thủy Vỹ, Giáo trình Tốn cao cấp (tập 1, 2) (Dùng cho sinh viên trường CĐ), Nhà xuất Giáo dục, 2000 [5] Lê Văn Hốt, Trần Cơng Chín, Trương Lâm Đơng, Hồng Ngọc Quang, Nguyễn Thanh Vân, Tốn cao cấp (Dành cho sinh viên ĐH chuyên ngành kinh tế), Trường ĐH Kinh tế Thành phố Hồ Chí Minh, 2002 - 183 - ... 12Q1 4Q2 Q1 Q Q2 34 4Q1 6Q2 Q2 Mặt khác : 2? ?? 2? ?? 2? ?? 11 12; ? ?22 6; 12 4 Q 12 Q 22 Q1Q2 - 121 - Điều kiện đủ 11? ?22 12. .. a 12 a11a 22 a21a 12 a11a 22 a 12 a21 , a21 a 22 a11 f xx'''' ( x0 ; y0 ); a 12 f xy'''' ( x0 ; y0 ); a21 fyx'''' ( x0 ; y0 ); a 22 fyy'''' ( x0 ; y0 ) Khi ta thừa nhận kết sau: Quy tắc - 117 -. .. ) - 122 - p2 48 2Q2 ( sản phẩm thứ hai ) Hãy xác định mức sản lượng giá tối ưu cho sản phẩm Giải Hàm lợi nhuận: p1Q1 p2Q2 Q 12 Q 22 5Q1Q2 (56 4Q1 ).Q1 (48 2Q2 ).Q2 Q 12