Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 (Dùng cho sinh viên học các hệ Kinh tế)

Giáo trình Toán cao cấp được biên soạn dành cho sinh viên học các hệ Kinh tế. Giáo trình được chia thành 10 chương, phần 1 này gồm 6 chương, cung cấp cho học viên những kiến thức về: ma trận và định thức; véctơ và không gian véctơ; hệ phương trình tuyến tính; dạng toàn phương; hàm số, giới hạn và sự liên tục; đạo hàm và vi phân hàm một biến;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Nguyễn Sinh Bảy, Nguyễn Văn Pứ, Nguyễn Ngọc Hiền, Nguyễn Sỹ Thìn, Nguyễn Khánh Tồn, Lê Ngọc Tú, Đinh Thị Nhuận TOÁN CAO CẤP (DÙNG CHO SINH VIÊN HỌC CÁC HỆ KINH TẾ) NHÀ XUẤT BẢN THỐNG KÊ, 2017 Mục lục Lời nói đầu Chương Ma trận định thức 1.1 Ma trận 1.1.1 Khái niệm mở đầu 1.1.2 Ma trận vuông 1.1.3 Các phép toán ma trận 1.1.4 Ba phép biến đổi sơ cấp ma trận 1.2 Định thức 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Tính chất định thức 1.2.3 Cách tính định thức 1.2.4 Phương trình đặc trưng giá trị riêng 1.3 Hạng ma trận 1.3.1 Định nghĩa, tính chất 1.3.2 Cách tính hạng ma trận 1.4 Ma trận nghịch đảo 1.4.1 Định nghĩa, tính khả nghịch 1.4.2 Các tính chất ma trận nghịch đảo 1.4.3 Cách tính ma trận nghịch đảo 1.4.4 Dùng ma trận nghịch đảo giải phương trình ma trận Chương Vectơ không gian vectơ 2.1 Khái niệm phép toán vectơ 2.1.1 Vectơ n chiều 2.1.2 Các phép toán vectơ n chiều 2.2 Hệ vectơ độc lập, phụ thuộc tuyến tính 2.2.1 Khái niệm 2.2.2 Dấu hiệu nhận biết 2.3 Hạng sở 2.3.1 Cơ sở hạng hệ vectơ 2.3.2 Các phép biến đổi sơ cấp hệ vectơ 2.4 Không gian vectơ i 3 9 11 13 16 17 17 18 20 20 21 22 25 31 31 31 32 33 33 35 36 36 38 41 2.4.1 Cơ sở không gian Rn 2.4.2 Phép đổi sở 2.4.3 Không gian tuyến tính sinh hệ vectơ 2.4.4 Biểu diễn tuyến tính Chương Hệ phương trình tuyến tính 3.1 Cách biểu diễn hệ 3.2 Hệ có hình dáng đặc biệt 3.2.1 Hệ 3.2.2 Hệ Cramer 3.3 Biện luận tập nghiệm 3.4 Cách giải hệ phương trình tuyến tính 3.4.1 Phương pháp biến đổi sơ cấp 3.4.2 Phương pháp Cramer 3.4.3 Phương pháp ma trận nghịch đảo Chương Dạng toàn phương 4.1 Các khái niệm 4.1.1 Mở đầu dạng toàn phương 4.1.2 Dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc 4.1.3 Phép biến đổi tuyến tính 4.1.4 Giá trị riêng vectơ riêng 4.2 Đưa dạng tồn phương tắc, chuẩn tắc 4.2.1 Phương pháp giá trị riêng 4.2.2 Phương pháp Jacobi 4.2.3 Phương pháp Lagrange 4.2.4 Định luật quán tính 4.3 Tính xác định dấu, tính khơng xác định dấu 4.3.1 Định nghĩa hệ 4.3.2 Dấu hiệu nhận biết tính xác định dấu 4.4 Một vài ứng dụng dạng toàn phương 4.4.1 Nhận dạng đường, mặt bậc hai 4.4.2 Tìm cực trị hàm số nhiều biến số Chương Hàm số, giới hạn liên tục 5.1 Số thực hàm số biến số 5.1.1 Tập số thực 5.1.2 Hàm số biến số 5.2 Giới hạn hàm số 5.3 Các định nghĩa 5.3.1 Một số giới hạn dạng vô định 5.3.2 Hai giới hạn quan trọng 5.3.3 Vô bé vô lớn 41 43 45 48 53 53 55 55 55 56 59 59 62 63 80 80 80 82 82 83 84 84 86 91 95 96 97 98 105 105 108 112 112 112 113 120 120 126 128 129 5.4 Sự liên tục hàm số biến số 5.4.1 Các định nghĩa 5.4.2 Các phép tính hàm liên tục Chương Đạo hàm vi phân hàm biến 6.1 Đạo hàm 6.1.1 Các khái niệm 6.1.2 Tính đạo hàm cơng thức 6.1.3 Đạo hàm bậc cao 6.2 Vi phân 6.3 Một số ứng dụng đạo hàm, vi phân 6.3.1 Tính gần vi phân 6.3.2 Tính giới hạn dạng vô định 6.3.3 Tìm cực trị hàm số Chương Hàm hai biến 7.1 Các khái niệm mở đầu 7.1.1 Giới hạn tính liên tục hàm hai biến 7.1.2 Đạo hàm vi phân hàm hai biến 7.2 Hàm ẩn 7.3 Bài toán cực trị 7.3.1 Cực trị tự 7.3.2 Cực trị có điều kiện Chương Phép tính tích phân 8.1 Tích phân bất định 8.1.1 Nguyên hàm định nghĩa tích phân 8.1.2 Các tính chất tích phân bất định 8.1.3 Bảng công thức tính tích phân 8.1.4 Các phương pháp tính tích phân bất định 8.2 Tích phân xác định 8.2.1 Định nghĩa tích phân xác định 8.2.2 Các tính chất tích phân xác định 8.2.3 Công thức Newton - Leibnitz 8.2.4 Các phương pháp tính tích phân xác định 8.3 Tích phân suy rộng 8.3.1 Trường hợp khoảng lấy tích phân vơ hạn 8.3.2 Trường hợp hàm số có điểm gián đoạn vơ cực Chương Phương trình vi phân 9.1 Các khái niệm mở đầu 9.2 Phương trình vi phân cấp 9.2.1 Giới thiệu chung phương trình vi phân cấp 9.2.2 Phương trình cấp biến số phân li 133 133 135 143 143 143 147 152 153 154 154 156 159 167 167 169 173 176 178 178 181 193 193 193 194 194 198 207 207 208 209 211 215 215 222 232 232 233 233 235 9.2.3 Phương trình đẳng cấp cấp 9.2.4 Phương trình tuyến tính cấp 9.2.5 Phương trình Bernoulli 9.3 Phương trình vi phân cấp hai 9.3.1 Giới thiệu phương trình vi phân cấp hai 9.3.2 Các trường hợp giảm cấp 9.3.3 Phương trình tuyến tính cấp hai 9.4 Ôn lại Số phức (phần phụ lục) Chương 10 Phương trình sai phân 10.1 Sai phân phương trình sai phân 10.1.1 Lưới thời gian sai phân 10.1.2 Khái niệm phương trình sai phân 10.1.3 Tính chất phương trình dạng tuyến tính 10.2 Phương trình tuyến tính cấp 10.2.1 Phương trình hệ số 10.2.2 Phương trình khơng hệ số 10.2.3 Phương trình hệ số biến thiên 10.2.4 Phương trình khơng hệ số biến thiên 10.3 Phương trình tuyến tính cấp hệ số 10.3.1 Phương trình 10.3.2 Phương trình khơng 10.4 Phần tham khảo 10.4.1 Phương trình tuyến tính cấp k hệ số 10.4.2 Phương trình tuyến tính không cấp hệ số biến thiên 10.4.3 Phương trình sai phân dạng phi tuyến 10.4.4 Một vài ứng dụng phương trình sai phân 10.4.5 Một vài toán thực tiễn Tài liệu tham khảo 238 241 248 249 249 250 254 260 274 274 274 276 277 279 279 280 286 287 295 295 297 300 300 301 303 304 307 315 Lời nói đầu (CHO LẦN XUẤT BẢN) Giáo trình tập thể giáo viên giảng dạy mơn Tốn Cao cấp, Bộ mơn Tốn, Trường Đại học Thương mại biên soạn lại sở giáo trình tên, xuất năm 2000 Trong giáo trình này, chúng tơi có lược vài nội dung đưa vào số nội dung khác cho phù hợp với quy định chương trình Bộ Giáo dục Đào tạo đối tượng sinh viên khối Kinh tế Chắc giáo trình cịn nhiều thiếu sót Chúng tơi mong nhận góp ý, nhận xét quý độc giả Xin trân trọng cám ơn Hà Nội, ngày 20 tháng 01 năm 2008 Các tác giả (CHO BẢN TÁI BẢN LẦN 1) Giáo trình Toán Cao cấp tập thể giảng viên cựu giảng viên, Bộ mơn Tốn Kinh tế, Trường Đại học Thương mại biên soạn vào năm 2008 Do số tín chương trình giảm bớt so với trước, chúng tơi rút gọn nội dung giáo trình lần Chúng tơi sửa lại số sai sót phát Do thời lượng nên mệnh đề nói chung khơng chứng minh đầy đủ, nhiên có gợi ý cách chứng minh Trong lần chỉnh sửa này, nhận nhiều ý kiến trao đổi vô q giá từ thầy giáo, Bộ mơn Tốn Kinh tế, Trường Đại học Thương mại Tập thể đồng tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến quý thầy, cô Mặc dù tác giả cố gắng chắn giáo trình khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong tiếp tục nhận ý kiến trao đổi, lời góp ý từ đồng nghiệp quý bạn đọc Xin trân trọng cám ơn Hà Nội, ngày 12 tháng năm 2015 Các tác giả (CHO BẢN TÁI BẢN LẦN ) Giáo trình tái có sửa chữa cấu trúc lại vào năm 2015 Trong tái này, tiếp tục sửa lại số lỗi chế nội dung hình thức Tuy nhiên, giáo trình khó tránh khỏi thiếu sót Rất mong tiếp tục nhận ý kiến trao đổi, lời góp ý từ đồng nghiệp quý bạn đọc Xin trân trọng cám ơn Hà Nội, ngày 15 tháng 11 năm 2017 Các tác giả Chương Ma trận định thức 1.1 1.1.1 Ma trận Khái niệm mở đầu Ta biết số thực phép toán tập số thực Khi nhiều số thực xếp lại với theo trật tự quy định đó, ta có đối tượng tổng quát Một số ma trận, định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Có m × n số thực aij , nhật gồm m dòng, n cột sau  a11 a12  a21 a22  A =   am1 am2 thành bảng hình chữ  · · · a1n · · · a2n     · · · amn Khi đó, bảng gọi ma trận cỡ m × n Số aij gọi phần tử nằm giao dòng thứ i cột thứ j (i = 1, m, j = 1, n) ma trận A • Ta thường dùng kí hiệu rút gn: A = (aij )mìn ã Ma trn A = (−aij )m×n gọi ma trận đối A • Ma trận cỡ m×n có phần tử gọi ma trận không cỡ m × n, kí hiệu O chi tiết l Omìn ã Ma trn chuyn v ca A ma trận có kí hiệu A (hoặc AT ), nhận từ A cách đổi cột thành dòng, dòng thành cột giữ nguyên thứ tự dòng, cột   a11 a21 · · · am1  a12 a22 · · · am2    A =     a1n a2n · · · amn Quan hệ "bằng" ma trận Định nghĩa 1.2 Hai ma trận cỡ A = (aij )m×n B = (bij )m×n gọi cặp phần tử tương ứng chúng đôi nhau: A = B ⇔ aij = bij , ∀i = 1, m, ∀j = 1, n Chú ý Trong chương trình ta khơng đưa vào phép so sánh ma trận: A > B, A < B; A > 0, không so sánh ma trận khác cỡ 1.1.2 Ma trận vng Các ma trận có dạng đặc biệt sau quan trọng nội dung • Ma trận cỡ n × n cịn gọi ma  a11 a12  a21 a22  A =   an1 an2 trận vuông cấp n  · · · a1n · · · a2n     · · · ann Các phần tử a11 , a22 , , ann phần tử nằm đường chéo Cịn phần tử an1 , a(n−1)2 , , a1n phần tử nằm đường chéo phụ • Ma trận tam giác ma trận vng có tất  a11 0  phía đường chéo 0: A =   phần tử nằm  a12 · · · a1n a22 · · · a2n     · · · ann   0     · · · ann a11 · · ·  a21 a22 · · ·  Tương tự, ma trận tam giác dưới: A =   an1 an2 • Ma trận đường chéo ma trận vng có tất phần tử nằm ngồi đường chéo   a11 · · ·  a22 · · ·    A =     0 · · · ann • Ma trận đơn vị cấp n:   ··· 0 · · · 0   En :=     0 · · · n×n Nếu khơng có khả nhầm lẫn, nhiều ta kí hiệu En cách đơn giản E 1.1.3 Các phép toán ma trận Phép cộng, trừ hai ma trận phép nhân ma trận với số Định nghĩa 1.3 Cho hai ma trận cỡ A = (aij )mìn v B = (bij )mìn ã Tng ca hai ma trận A B ma trận cỡ, kí hiệu A+B, xác định sau: A + B = (aij + bij )m×n • Hiệu A B ma trận A − B = A + (−B) = (aij − bij )mìn ã Tớch ca ma trn A vi s thực α ma trận cỡ với ma trận Lời giải - Trên (−∞, 0) có y = + eax ; y = aeax Hàm số khả vi - Trên (0, +∞) có y = b + sin 4x; y = cos x Hàm số khả vi - Tại x = 0: Để hàm số khả vi x = trước hết phải liên tục đó, nghĩa f (0− ) = f (0+ ) = f (0) hay + e0 = b + sin hay b = Với b = ta tính đạo hàm hai phía x = 0: ea∆x − (2 + ea∆x ) − (2 + e0 ) == lim + = a ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x (3 + sin 4∆x) − (2 + e0 ) sin 4∆x f (0− ) = lim − = lim − = ∆x→0 ∆x→0 ∆x ∆x f (0+ ) = lim + Hàm số khả vi x = a = Vậy, hàm số khả vi R a = 4, b = 6.1.3 Đạo hàm bậc cao Định nghĩa 6.4 Giả sử hàm f (x) khả vi (a; b) Nếu f (x) khả vi (a; b) f ”(x) := [f (x)] gọi đạo hàm bậc hai f (x) (trên (a, b)) Một cách quy nạp, đạo hàm bậc n f (x), kí hiệu f (n) (x) xác định bởi: f (n) (x) = [f (n−1) (x)] Ví dụ 6.10 Cho y = e2x Tính y Ta có: y = (2x) e2x = 2.e2x ⇒y = 2.(e2x ) = 2.2.e2x = 4.e2x Ví dụ 6.11 Cho y = ln(1 + 2x) Hãy tính y (n) Ta có: • y = + 2x • y = −4 (1 + 2x)2 • y = 4.2(1 + 2x).2 8.2 = (1 + 2x) (1 + 2x)3 152 • y (4) = −8.2.3(1 + 2x).2 −16.2.3 = (1 + 2x)6 (1 + 2x)4 Bằng phương pháp quy nạp dễ dàng chứng minh y (n) = 6.2 (−1)n+1 2n (n − 1)! (1 + 2x)n Vi phân Khi hàm y = f (x) khả vi hay có đạo hàm hữu hạn điểm x, gọi ∆x số gia (một lượng thêm vào bớt đủ nhỏ) biến x, ta có mối liên hệ: ∆(f (x)) = f (x + ∆x) − f (x) = [f (x) + α(∆x)]∆x α(∆x) VCB ∆x → Nếu y = f (x) hàm tuyến tính α(∆x) = β(∆x) := α(∆x)∆x = Nói chung, β(∆x) := α(∆x)∆x VCB bậc cao so với α(∆x) ∆x → Số gia ∆(f (x)) biểu thức phi tuyến ∆x Còn f (x)∆x biểu thức bậc ∆x, yếu tố số gia ∆(f (x)) |∆x| nhỏ Thành phần f (x)∆x "phần bậc nhất" ∆(f (x)): Định nghĩa 6.5 Nếu hàm y = f (x) có đạo hàm x biểu thức có kí hiệu cách xác định sau gọi vi phân hàm số điểm x: dy(x) = df (x) = f (x)∆x Do dx = ∆x nên vi phân thường viết sau dy(x) = df (x) = f (x)dx Nhận xét (x) 1) Từ cơng thức cuối, ta có cách biểu diễn đạo hàm: f (x) = dfdx dy y = dx 2) Bảng cơng thức tính vi phân suy trực tiếp từ bảng công thức đạo hàm Ví dụ 6.12 1) dC = C dx = 0dx = 2) dx = x ∆x = ∆x 3) d sin x = (sin x) dx = cos xdx 153 4) d arctan x = (arctan x) dx = dx + x2 Tính bất biến vi phân Giả sử hàm hợp y = y[u(x)] có đạo hàm y theo u đạo hàm u theo x Khi đó, du = ux dx nên ta có: dy = yx dx = yu ux dx = yu du (6.3) Đẳng thức gọi tính bất biến vi phân Nó thường dùng để đổi biến tính tích phân chương sau Ví dụ 6.13 Cho y = sin(x2 + 3x + 1) Ta có dy = y (x)dx = (2x + 3) cos(x2 + 3x + 1)dx = y (u)du, đó: u = x2 + 3x + 1; du = (2x + 3)dx 6.3 6.3.1 Một số ứng dụng đạo hàm, vi phân Tính gần vi phân Các biểu thức dạng tuyến tính đơn giản Các biểu thức dạng phi tuyến nói chung phức tạp Thay biểu thức dạng phi tuyến biểu thức dạng tuyến tính cho độ sai khác đủ nhỏ cách làm ưa chuộng toán học kỹ thuật Điều dễ hiểu hầu hết số liệu thực tiễn thường thu thập cách khơng xác Do đó, việc tính đơi khơng q cần thiết Mệnh đề 6.1 Nếu hàm f (x) có đạo hàm x |∆x| nhỏ ta có xấp xỉ sau: ∆(f (x)) = f (x + ∆x) − f (x) ∼ (gd.1) = df (x), hay f (x + ∆x) ∼ = f (x) + f (x)∆x (gd.2) Giải thích Nếu y = f (x) hàm tuyến tính ∆(f (x)) = df (x), phép xấp xỉ trở thành phép tính Việc tính gần không cần đặt Khi y = f (x) hàm phi tuyến, ∆(f (x)) = f (x + ∆x) − f (x) = f (x)∆x + α(∆x).∆x, α(∆x) VCB ∆x → Khi f (x) = 0, ta thấy β(∆x) := α(∆x).∆x VCB bậc cao so với α(∆x) nên |∆x| 0, ∀x ∈ (a; b) f (x) tăng [a; b], • f (x) < 0, ∀x ∈ (a; b) f (x) giảm [a; b], • f (x) ≡ 0, ∀x ∈ (a; b) f (x) khơng đổi [a; b] 159 Ví dụ 6.21 Hàm y = x3 liên tục R, có đạo hàm dương (−∞, 0) (0, +∞) Hàm số tăng (−∞, 0] [0, +∞) Nghĩa là, hàm số tăng trục R f (0) = d Điều kiện đủ cực trị Điều kiện đủ thứ Định lí 6.5 Giả sử x0 điểm nghi ngờ y = f (x) hàm số liên tục x0 Khi đó: • Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f (x) đạt cực đại x0 • Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f (x) đạt cực tiểu x0 • Nếu f (x) giữ nguyên dấu dương dấu âm x qua x0 f (x) khơng có cực trị x0 Chú ý Nếu f (x) gián đoạn điểm nghi ngờ (loại 2) việc xét cực trị phải tuỳ theo tình cụ thể Điều kiện đủ thứ hai Định lí 6.6 Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm bậc nhất, bậc hai khoảng (a; b) chứa điểm x0 f (x0 ) = Khi đó: • Nếu f (x0 ) < y = f (x) đạt cực đại x0 • Nếu f (x0 ) > y = f (x) đạt cực tiểu x0 e Giá trị lớn nhất, bé Giá trị cực đại hay cực tiểu nói mang tính địa phương, nghĩa chúng giá trị lớn hay nhỏ lân cận đủ nhỏ điểm cực trị Trong nhiều trường hợp ta tính giá trị lớn hay nhỏ tập E cho trước (gọi tập ràng buộc) Giá trị lớn hay nhỏ mang tính tồn cục E, chúng kí hiệu ymax ; ymin Sau ta nêu kết luận cách tìm giá trị lớn nhỏ hàm liên tục tập đóng, giới nội Định lí 6.7 Nếu hàm y = f (x) liên tục đoạn [a, b] chắn hàm đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất lần đoạn Giá trị lớn [a, b], kí hiệu ymax xác định sau ymax = max{y(a); y(b); yctr } yctr kí hiệu giá trị cực trị hàm số [a, b] Tương tự ymin = min{y(a); y(b); yctr } 160 √ Ví dụ 6.22 Cho hàm số y = 2x − x2 a) Tìm cực trị hàm số b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số [−2; 3/2] Lời giải a) • Tập xác định: ∀x ∈ (−∞; +∞) √ x−1 − √ =2− =2 √ • Ta có y = − x 3 x x √ √ • y = ⇔ x − = ⇔ x = ⇔ x = 1, y không xác định √ ⇔ x = ⇔ x = • Lập bảng biến thiên, ta thấy hàm đạt cực đại x = ycd = y(0) = Hàm số đạt cực tiểu x = yct = y(1) = −1 √ b) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: Ta có y(−2) = −4−3 4; y(3/2) = 3−3 9/4 Vậy √ ymax = max{−4 − 4; − 3 9/4; 0; −1} = √ √ 3 ymin = min{−4 − 4; − 3 9/4; 0; −1} = −4 − BÀI TẬP Bài 6.1 Tính đạo hàm hàm số: √ x2 − √ x √ y = ln x + + x2 y = y = arctan x+4 − 4x y = log3 (x2 − sin x) y = ex ln(sin x) y = x cos x ln tan − 2 sin x 161 y = xx y = ln + cos x − cos x Bài 6.2 Tính f (0+ ) f (0− ) hàm số √ f (x) = − e−x2 √ f (x) = arctan 4x2 Bài 6.3 Xét tính khả vi R hàm số y = ex + sin x x ≥ x < ln(1 + x) sin x + cos x −  x2 arctan y = x ex − y = x > x ≤ x>0 x≤0 y = |x − 2|ϕ(x), với ϕ(x) hàm liên tục x = 2, khả vi R \ {2} ϕ(2) = √ y = x x2 − √ y = arctan(x − 1) x2 − √ y = sin x x Bài 6.4 Cho hàm số y= eax sin x + b x ≥ x < 0, với a, b tham số Tìm giá trị tham số a, b để hàm số khả vi x = Bài 6.5 Tìm giá trị a để hàm số sau khả vi x = y= ln(1 + x) sin x + a cos x 162 x ≥ x < Bài 6.6 Với điều kiện n ∈ Z+ để hàm số  xn sin x = y= x 0 x = liên tục x = 0, khả vi x = 0, có đạo hàm liên tục x = Bài 6.7 Tính đạo hàm cấp n(n ∈ Z+ ) hàm số: y = x(1 − x) y = eax sin(bx + c) y = ln(1 + 3x) Bài 6.8 Tính gần giá trị biểu thức vi phân √ 16, 01000, (Bỏ qua sai số nhỏ 0, 00001) arcsin(1 − sin 290 ) với π = 3, 1416, (Bỏ qua sai số nhỏ 0, 0001) √ arctan(2 − 100 e) với π = 3, 1416 √ 0, 9500 arctan 0, 9500 Bài 6.9 Tính giới hạn: x3 x→0 x − sin x lim arcsin 2x − arcsin x x→0 x3 lim ex − − x3 lim x→0 sin6 2x ln(tan 7x) x→0 ln(sin 5x) lim lim (x2 − 4) tan x→2 πx 163 lim ln x ln cos x→1 lim x→1 πx x − x − ln x lim cotan x − x→0 x2 lim xsin x x→0 10 lim x + ln x x→0 11 lim (tan x)2x−π π x→ arcsin x x2 12 lim x→0 x arctan x sin2 x 13 lim x→0 x Bài 6.10 Tìm cực trị hàm số: y = x (1 − 2x)2 √ y = x + x2 y = x ex y = x ln2 x y = ex x+1 √ y = (x + 1) x2 − √ y = x x2 − ĐÁP SỐ Bài 6.1 164 1 + √ ; x x x ex ln(sin x) + ; + x2 √ √ ; + x2 2x − cos x ; (x − sin x) ln sin x f (0− ) = −1 − f (0+ ) = 1; f (0+ ) = 2; ; sin3 x xx (ln x + 1); Bài 6.2 cos x ; sin x f (0− ) = −2 Bài 6.3 Khả vi ∀x (f (0) = 1) Khả vi ∀x (f (0) = 1) Khả vi ∀x = Tại x = hàm không khả vi Khả vi ∀x = Tại x = hàm không khả vi Không khả vi x = ±1 Khả vi R \ {−1} Khả vi R Bài 6.4 a = 1, b = Bài 6.5 a = Bài 6.6 n ≥ n ≥ Bài 6.7 (−1)n + n+1 x (1 − x)n+1 n ax 2 2 e (a + b ) sin(bx + c + nϕ) b a với sin ϕ = √ cos ϕ = √ 2 a +b a + b2 n! (−1)n+1 3n (n − 1)! (1 + 3x)n Bài 6.8 165 n ≥ 4, 00125 0, 7804 0, 5175 0, 740 Bài 6.9 ∞ 27 10 e4 − 11 16 π 12 e 6 13 e Bài 6.10 yct = y( 12 ) = 0; ycd = y( 10 )= 10 25 ycd = y(−8) = 4; yct = y(x = 0) = ycd = y(1) = ycd = y( e ) = ; yct = y(1) = e2 e2 yct = y(0) = e yct = y( 35 ) = − 85 yct = y( ) =− 16 ; ycd 25 = y(−1) = ; ycd = y(− 166 ) = 7 ... định thức cấp 15 (hoặc cấp 2) Chẳng hạn: Ví dụ 1. 7 ? ?1 ? ?1 11 10 ? ?14 10 ? ?13 |A| = − = 21 11 ? ?13 13 11 15 31 14 14 19 14 17 10 ? ?13 = 13 11 15 = 5660 19 14 17 Ở đây, ta dừng lại sau bước biến đổi sơ... 13 3 13 3 13 5 14 3 14 3 14 3 14 7 15 2 15 3 15 4 15 4 15 6 15 9 16 7 16 7 16 9 17 3 17 6 17 8 17 8 18 1 19 3 19 3 19 3 19 4 19 4 19 8 207 207 208 209 211 215 ... b 11 + a12 b 21 = 1. (? ?1) + (? ?1) .1 c12 = a 11 b12 + a12 b22 = 1. (2) + (? ?1) .2 Tương tự: c13 = 1. (1) + (? ?1) .(? ?1) = 2; c14 = 1. (1) + (? ?1) .(3) = −2; c 21 = 2.(? ?1) + (1) . (1) = ? ?1; c22 = 2.(2) + (1) .(2)