Giáo trình Toán cao cấp: Phần 2 (Dùng cho sinh viên học các hệ Kinh tế)

Giáo trình Toán cao cấp được biên soạn dành cho sinh viên học các hệ Kinh tế. Giáo trình được chia thành 10 chương, phần 2 này gồm 4 chương, cung cấp cho học viên những kiến thức về: hàm hai biến; phép tính tích phân; phương trình vi phân; phương trình sai phân; phương trình tuyến tính thuần nhất cập k hệ số hằng; một vài ứng dụng của phương trình sai phân;... Mời các bạn cùng tham khảo!

Chương Hàm hai biến Trong chương ta phân tích phụ thuộc biến, chẳng hạn z theo hai biến khác, chẳng hạn x y 7.1 Các khái niệm mở đầu Hệ tọa độ, tập điểm, hàm số Cho xOy hệ toạ độ không gian R2 Để đơn giản, ta lấy hệ toạ độ trực chuẩn (hệ toạ độ vng góc, đơn vị hai trục dài nhau) • Khoảng cách hai điểm M1 (x1 , y1 ) M2 (x2 , y2 ) không gian R2 kí hiệu M1 M2 xác định M1 M2 := (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 • Tập điểm R2 , cách điểm M0 cố định nhỏ số r > cho trước gọi hình trịn mở tâm M0 , bán kính r Mỗi hình trịn mở gọi lân cận điểm M0 • Một "miền" mặt phẳng hiểu tập liên thông, nghĩa hai điểm tập nối với đường cong liên tục gồm điểm nằm hoàn toàn tập hợp • Một tập hợp gọi giới nội tồn hình trịn tâm O, có bán kính hữu hạn chứa 167 • Điểm M gọi điểm tập E tồn lân cận điểm M nằm hoàn toàn E Tập điểm E gọi phần E • Tập E gọi mở điểm E điểm • Điểm N gọi điểm biên tập E lân cận điểm N chứa điểm thuộc E điểm không thuộc E Tập hợp tất điểm biên tập E gọi biên E • Tập E gọi đóng chứa tất điểm biên • Dễ thấy tập E đóng tập bù khơng gian chứa mở ngược lại Định nghĩa hàm hai biến Định nghĩa 7.1 Cho tập E Oxy Một quy luật f , đặt tương ứng cặp giá trị (x, y) ∈ E biến x; y với giá trị biến z đẳng thức z = f (x, y) gọi hàm hai biến độc lập x y z gọi biến hàm hay biến phụ thuộc Tập E gọi tập xác định Tập f (E) := {z = f (x, y) : (x, y) ∈ E} gọi tập giá trị Ta dùng cách kí hiệu sau để mơ tả quan hệ hàm nói trên: f : E → R : (x, y) → z = f (x, y) Chú ý Phép tương ứng cho cơng thức giải tích Trong trường hợp đó, tập xác định hàm tập điểm (x, y) cho tất phép tính cơng thức có nghĩa Đồ thị hàm hai biến Cho hàm z = f (x, y) xác định tập E ⊆ (Oxy) Tập điểm {(x, y, f (x, y)) : (x, y) ∈ E} hệ tọa độ Oxyz không gian ba chiều gọi đồ thị hàm số Đồ thị hàm hai biến thường mặt cong không gian Để dễ hình dung đồ thị đơi người ta phác hoạ mặt phẳng Việc dùng mặt phẳng để biểu diễn cách xác mặt khơng gian khơng thể Hình vẽ biểu thị mặt cong đồ thị cách vẽ mô phỏng, giúp ta có thêm góc độ nhìn nhận đồ thị mà thơi Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 7.1 Phác hoạ đồ thị hàm hai biến sau z= − x2 − y 168 Lời giải Hàm số xác định với x, y thoả mãn điều kiện − x2 − y ≥ ⇔ x2 + y ≤ Như tập xác định hàm hình trịn đóng tâm O bán kính đơn vị mặt phẳng Oxy Ta có: x2 + y + z = z = − x2 − y ⇔ z ≥ Vậy, đồ thị hàm nửa mặt cầu tâm O bán kính đơn vị phía z ≥ Ví dụ 7.2 Tìm tập xác định hàm số z = arccos 2x − + ln(xy) x Lời  giải Tập xác định hàm x, y thoả mãn điều kiện  2x − ≤ (2x − 1)2 ≤ x2 ⇔ x xy > xy >  1 ≤ x ≤ 3x − 4x + ≤ ⇔ ⇔ y > xy > Vậy, E = (x, y) : x ∈ [ ; 1], y ∈ (0; +∞) 7.1.1 Giới hạn tính liên tục hàm hai biến Giới hạn bội giới hạn lặp Định nghĩa 7.2 Giả sử M0 (x0 , y0 ) điểm điểm biên miền E ⊆ (Oxy) Cho hàm z = f (x, y) xác định miền E Số thực L gọi giới hạn f (x, y) M (x, y) dần tới M0 (x0 , y0 ) với > bé tùy ý ln tìm δ > đủ bé cho với (x, y) ∈ E: 0< (x − x0 )2 + (y − y0 )2 < δ ⇒ |f (x, y) − L| < Giới hạn gọi giới hạn bội f (x, y) trình (x, y) → (x0 , y0 ) 169 kí hiệu sau: lim f (x, y) = L x→x0 y→y0 lim f (x, y) = L (x,y)→(x0 ,y0 ) • Các định nghĩa khác phát biểu cách tương tự: lim f (x, y) = ±∞ x→x0 y→y0 lim f (x, y) = L x→+∞ y→+∞ • Các giới hạn gọi giới hạn lặp: lim [ lim f (x, y)] x→x0 y→y0 lim [ lim f (x, y)] y→y0 x→x0 Quá trình (x, y) → (x0 , y0 ) giới hạn bội tổng quát so với giới hạn lặp Vì vậy, hàm xác định lân cận M0 (có thể trừ M0 ) mà giới hạn bội tồn giới hạn lặp tồn tại, giới hạn bội Khơng có kết luận ngược lại Với hàm hai biến ta có phép tính cộng, trừ, nhân, chia, hợp hàm Các hàm xây dựng nhờ phép tính biểu thức sơ cấp x y gọi hàm cho biểu thức sơ cấp Ta có kết quả: Mệnh đề 7.1 Nếu f (x, y) hàm cho biểu thức sơ cấp xác định lân cận điểm (x0 , y0 ) lim f (x, y) = f (x0 , y0 ) x→x0 y→y0 Ví dụ 7.3 1) lim x→1 y→1 x2 1.1 xy = = +y 1+1 2) Giới hạn sau không tồn tại: lim x→0 x2 y→0 xy + y2 170 Quả Xét hai trình riêng: lim [lim y→0 lim x→0 y=x→0 x→0 xy ] = lim = y→0 x2 + y xy x2 = lim = + x2 x→0 x2 + y x y=x→0 Trong hai trình riêng hàm số dần tới hai giới hạn khác Vậy, giới hạn khơng tồn Tính liên tục hàm hai biến Khái niệm hàm hai biến liên tục tập mở hoàn toàn tương tự trường hợp hàm biến Riêng với trường hợp tập đóng, tính liên tục điểm biên khó hình dung cách tiến điểm mặt phẳng tới điểm đa dạng so với cách tiến R1 Định nghĩa 7.3 • Nói hàm f (x, y) liên tục điểm M (x0 ; y0 ) hàm số xác định lân cận M0 lim x→x0 y→y0 f (x, y) = f (x0 , y0 ) • Nói hàm f (x, y) liên tục miền mở E liên tục điểm miền mở • Cho hàm f (x, y) xác định miền E M (x0 ; y0 ) điểm biên thuộc E Nói hàm f (x, y) liên tục điểm biên M (x0 ; y0 ) miền E hay liên tục điểm biên M (x0 ; y0 ) từ phía E lim (x,y)∈E,(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) = f (x0 , y0 ) • Nói hàm z = f (x, y) liên tục miền E liên tục điểm E điểm biên E thuộc E hàm số liên tục từ phía E Khi hàm số cho biểu thức sơ cấp miền tính liên tục hàm số đảm bảo tính chất phép tính (tương tự với hàm số biến số) Do đó, ta có kết quả: 171 Mệnh đề 7.2 Hàm số cho biểu thức sơ cấp xác định miền E liên tục miền E Chú ý 1) Tính liên tục hàm hai biến điểm tập xác định tương tự với hàm biến Riêng liên tục điểm biên tập E ta cần lưu ý: Hệ thức lim (x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) = f (x0 , y0 ) cần thoả mãn với cặp giá trị (x, y) ∈ E 2) Ta dùng kí hiệu lim M →M0 f (M = f (M0 ), thay cho lim (x,y);(x,y)→(x0 ,y0 ) f (x, y) = f (x0 , y0 ) Nếu dùng kí hiệu ta thấy khơng có khác biệt R1 ; R2 , việc mở rộng khái niệm liên tục tự nhiên Ví dụ 7.4 Xét tính liên tục hàm số sau R2   xy (x, y) = (0, 0), z = x2 + y 0 (x, y) = (0, 0) Lời giải +) Trên tập R2 \ O(0, 0) hàm số xác định cho dạng biểu thức sơ cấp Vậy hàm số liên tục tập +) Tại O(0, 0) hàm số khơng liên tục giới hạn lim x→0 y→0 x2 xy + y2 khơng tồn (xem Ví dụ 7.3) Ví dụ 7.5 Xét tính liên tục hàm số sau R2 z= x2 + y ≤ x2 + y > Lời giải +) Trên tập E = {(x, y) : x2 + y ≤ 1} R2 \ E hàm số xác định cho dạng biểu thức sơ cấp Vậy hàm số liên tục tập 172 +) Tại điểm biên hình trịn E dễ thấy hàm số gián đoạn (giới hạn từ phía E từ phía R2 \ E không nhau) 7.1.2 Đạo hàm vi phân hàm hai biến Phụ thuộc vào cách tiến khác (∆x, ∆y) tới (0, 0) ta có khái niệm khác đạo hàm hàm hai biến Dưới ta nêu loại đạo hàm đơn giản nhất, tương ứng với hai cách tiến đặc biệt M (x, y) tới M0 (x0 , y0 ) (hay (∆x, ∆y) tới (0, 0)) Đạo hàm riêng cấp Định nghĩa 7.4 Giả sử hàm z = z(x, y) xác định tập {(x + ∆x), y} với ∆x đủ bé trị tuyệt đối giới hạn sau tồn tại, hữu hạn: lim ∆x→0 z(x + ∆x, y) − z(x, y) ∆x Khi nói hàm số có đạo hàm riêng theo biến x (x, y) giới hạn gọi đạo hàm riêng hàm số theo biến x điểm (x, y) Đạo hàm ∂z(x, y) kí hiệu zx (x, y) ∂x Tương tự ta có khái niệm đạo hàm riêng hàm z theo biến y (x, y) Trong thực hành, để tính zx (x, y) ta việc coi y số lấy đạo hàm z(x, y) theo biến x Tính zy (x, y) cách tương tự Đạo hàm riêng cấp cao Giả sử hàm z = z(x, y) có đạo hàm riêng tập mở E Khi đó, thân đạo hàm riêng hàm hai biến Chúng có đạo hàm riêng Trong trường hợp ta định nghĩa: z”xx (x, y) := (zx (x, y))x ; z”yy (x, y) := (zy (x, y))y z”xy (x, y) := (zx (x, y))y ; z”yx (x, y) := (zy (x, y))x Nếu (x, y) đạo hàm "chéo" z”xy (x, y); z”yx (x, y) liên tục chúng (định lý Schwartz) Một cách tương tự ta định nghĩa cho đạo hàm riêng cấp nguyên dương n tuỳ ý Người ta dùng kí hiệu sau để đạo hàm riêng cấp: zx (x, y) = ∂z(x, y) ∂ z(x, y) ∂z(x, y) ; zy (x, y) = ; z”xx (x, y) = ; ∂x ∂y ∂x2 173 ∂ z(x, y) ∂ z(x, y) z”yy (x, y) = ; ; z”xy (x, y) = ∂y ∂x∂y Ví dụ 7.6 Tính đạo hàm riêng đến cấp hai hàm số sau: a) z = xy y b) z = arctan x Lời giải a) zx (x, y) = yxy−1 ; zy (x, y) = xy ln x; z”xx (x, y) = y(y − 1)xy−2 ; z”yy (x, y) = xy ln2 x; z”xy (x, y) = z”yx (x, y) = yxy−1 ln x + xy−1 b) y x2 zx = y 1+ x − zxx = − x2 zxy = zyx = =− y + y2 − x2 y ; zy = + y2 = x y x2 + y x y 1+ x = x2 x ; + y2 x 2xy −2xy ; zyy = ; = 2 2 +y ) x + y y (x + y )2 y − x2 (x2 + y ) − y.2y = =− (x2 + y )2 (x2 + y )2 y (x2 Vi phân toàn phần Ta dùng kí hiệu ∆x; ∆y để số gia biến x; y Định nghĩa 7.5 Giả sử hàm z = z(x, y) xác định lân cận điểm (x, y) Với ∆x, ∆y đủ nhỏ trị tuyệt đối cho (x + ∆x; y + ∆y) thuộc lân cận Khi tồn hàm A(x, y); B(x, y) cho z(x + ∆x, y + ∆y) − z(x, y) = A(x, y)∆x + B(x, y)∆y + α(∆x) + β(∆y) α(∆x); β(∆y) vô bé bậc cao ∆x; ∆y trình ∆x2 + ∆y → ta nói hàm số khả vi (x, y) biểu thức dz := A(x, y)∆x + B(x, y)∆y gọi vi phân toàn phần hàm số (x, y) 174 Hàm số gọi khả vi tập mở E khả vi điểm thuộc E Dễ thấy: dx = ∆x; dy = ∆y, đó: dz := A(x, y)dx + B(x, y)dy Tính khả vi hàm hai biến khái niệm khó Hàm số có đạo hàm riêng, chí có đạo hàm riêng liên tục M0 (x0 , y0 ) chưa khả vi điểm Vì vậy, ta khơng tìm hiểu sâu mà cơng nhận kết sau: Định lí 7.1 Nếu hàm z = z(x, y) có đạo hàm riêng theo x theo y lân cận điểm M (x, y) đạo hàm riêng liên tục M (x, y) hàm số khả vi điểm dz = zx (x, y)∆x + zy (x, y)∆y Tính gần vi phân tồn phần Việc dùng biểu thức dạng tuyến tính để xấp xỉ cho biểu thức dạng phi tuyến phổ biến Toán học lĩnh vực khác Ký hiệu ∆z := z(x + ∆x, y + ∆y) − z(x, y), từ định nghĩa vi phân tồn phần ta có kết quả: Mệnh đề 7.3 Nếu hàm z = z(x, y) có đạo hàm riêng liên tục điểm (x, y) với ∆x, ∆y nhỏ trị tuyệt đối (so với 1) ta có xấp xỉ ∆z ∼ = dz Từ ta lại có hệ quả: Hệ 7.1.1 Nếu hàm z = z(x, y) có đạo hàm riêng liên tục điểm (x, y) với ∆x, ∆y nhỏ trị tuyệt đối ta có xấp xỉ z(x + ∆x, y + ∆y) ∼ = z(x, y) + zx (x, y)∆x + zy (x, y)∆y Chú ý 1) Hai công thức gần cho phép ta thay việc tính toán biểu thức thường phức tạp (dạng phi tuyến) biểu thức đơn giản (dạng tuyến tính ∆x, ∆y) 2) Nói chung ∆x, ∆y bé trị tuyệt đối sai số hệ thống nhỏ, phép xấp xỉ tốt 3) Cũng phép tính gần vi phân (hàm biến), kết 175 phép tính xấp xỉ viết dạng số thập phân, độ xác tuỳ theo yêu cầu đầu Ví dụ 7.7 Tính gần biểu thức sau A = ln( 8, 9900 − 8, 0500) Lời giải Xét√hàm hai biến √ z = ln( x − y) điểm M (9; 8) với ∆x = −0, 01; ∆y = 0, 05 √ √ Ta có: z(9; 8) = ln( − 8) = ln = zx (x, y) = √ √ √ ⇒ zx (9; 8) = 16 x( x − y) 1 zy (x, y) = − ⇒ zy (9; 8) = − 12 √ √ 3 y ( x − y) Thay vào công thức gần đúng, ta 1 A∼ = + (−0, 01) − (0, 05) = −0, 0058 12 Vi phân cấp cao Ta có khái niệm vi phân toàn phần cấp hai: d2 z := d(dz) = z”xx ∆x2 + 2z”xy ∆x∆y + z”yy ∆y , cấp n: 7.2 dn z := d(dn−1 z) Hàm ẩn Cho đẳng thức hai biến x y F (x, y) = (7.1) tập E ⊆ (Oxy) Giả sử điểm M0 (x0 , y0 ) ∈ E, thoả mãn đẳng thức trên, nghĩa là: F (x0 , y0 ) = (7.2) Trong nhiều trường hợp, từ đẳng thức (7.1) tồn quan hệ hàm biến số y theo x x theo y Trong trường hợp ta nói đẳng thức (7.1) xác định hàm ẩn lân cận Định lý cho biết tồn hàm ẩn cơng thức tính đạo hàm mà khơng địi hỏi phải biết biểu thức tường minh hàm số Lưu ý dù hàm ẩn tồn 176 √ π π đó: + 2i = 2(cos + i sin ) 4 Vậy nghiệm tổng quát phương trình √ π π x¯(n) = C1 + (2 2)n (C2 cos n + C3 sin n ) 4 10.4.2 Phương trình tuyến tính khơng cấp hệ số biến thiên Xét phương trình sai phân tuyến tính khơng cấp hai hệ số biến thiên sau đây: x(n + 2) + b(n)x(n + 1) + c(n)x(n) = f (n) (c(n) = 0) (10.23) Lưu ý rằng, khơng có khái niệm phương trình đặc trưng cho trường hợp Bằng cách đưa vào vectơ khơng gian R2 , ta đưa phương trình phương trình ma trận tuyến tính cấp Cách giải phương trình ma trận trình bày sau cách đặt Ta đặt: x1 (n) = x(n) x2 (n) = x(n + 1); X(n) = A(n) = ; −c(n) −b(n) x1 (n) ; F (n) = x2 (n) f (n) Khi đó: x1 (n + 1) = x(n + 1) = x2 (n) x2 (n + 1) = x(n + 2) = −c(n)x(n) − b(n)x(n + 1) = −c(n)x1 (n) − b(n)x2 (n) Phương trình tuyến tính cấp hai R1 trở thành: X(n + 1) = A(n)X(n) + F (n) Đây loại phương trình tuyến tính cấp khơng gian R2 Nói cách khác, phương trình ma trận Việc giải phương trình khơng khác nhiều so với việc giải phương trình tương tự R1 Sự sai khác độ phức tạp việc tính tốn ma trận so với việc tính tốn số thực Dưới cách giải phương trình ma trận nói trên: X(n + 1) = A(n)X(n) + F (n) 301 (10.24) Phương trình tương ứng là: X(n + 1) = A(n)X(n) (10.25) A(n) ma trận phụ thuộc vào n, có cỡ × 2; X(n), F (n) ∈ R2 Để đơn giản, ta giả thiết |A(n)| = 0, ∀n ∈ Z+ Đầu tiên, ta tìm cơng thức nghiệm tổng qt phương trình (10.25) Đặt W (n, s) := A(n − 1)A(n − 2) A(s) W (n, s) gọi ma trận nghiệm hệ Có thể kiểm tra ma trận nghiệm có tính chất sau: i) W (n, r)W (r, s) = W (n, s) ∀n, r, s ∈ Z+ ii) W (n, n) = I, ∀n ∈ Z+ Nghiệm phương trình là: X(n) = W (n, s)X(s), ∀n, s ∈ Z+ , n ≥ s Tại thời điểm khởi tạo n0 lấy số tự C = X(n0 ) = X0 nghiệm tổng quát phương trình X(n) = W (n, n0 )X0 = W (n, n0 )C (10.26) Tiếp theo, ta giải phương trình khơng phương pháp biến thiên số Ở nghiệm tổng quát phương trình coi C hàm n: (C = C(n)) Khi đó: X(n) = W (n, n0 )C(n) X(n + 1) = W (n + 1, n0 )C(n + 1) Thay X(n), X(n + 1) vào phương trình khơng nhất, ta có W (n+1, n0 )C(n+1) = A(n)W (n, n0 )C(n)+F (n) = W (n+1, n0 )C(n)+F (n) ⇔ C(n + 1) − C(n) = W (n0 , n + 1)F (n) Từ ta suy n−1 C(n) = C(n0 ) + W (n0 , n0 + i + 1)F (n0 + i) i=0 Lấy số tự C = C(n0 ), ta nghiệm tổng qt phương trình 302 khơng là: n−1 X(n) = W (n, n0 )[C + W (n0 , n0 + i + 1)F (n0 + i)] i=0 hay n−1 X(n) = W (n, n0 )C + W (n, n0 + i + 1)F (n0 + i) (10.27) i=0 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao (hệ số biến thiên) giải cách tương tự Trong cơng thức trên, phép tính ma trận Để trở phép tính vơ hướng, đơi khi, tốn đặt theo chiều ngược lại: Ta giải hệ phương trình bậc thấp (hay phương trình ma trận) cách đưa phương trình vơ hướng bậc cao Ví dụ, giải hệ phương trình sau: x(n + 1) = ax(n) + bx(n) x(n + 1) = cx(n) + dx(n) (abcd = 0) Từ phương trình cuối ta có d x(n + 2) = cx(n + 1) + dx(n + 1) ⇔ x(n + 1) = x(n + 2) − x(n + 1) c c Thay x(n); x(n + 1) vào phương trình đầu, ta x(n + 2) − (a + d)x(n + 1) + (ad − bc)x(n) = Đây phương trình tuyến tính cấp hai mà ta biết cách giải 10.4.3 Phương trình sai phân dạng phi tuyến Các cách giải trình bày dùng cho phương trình dạng tuyến tính Việc giải phương trình sai phân dạng phi tuyến khó khơng thể Tuy nhiên, ta giải phương trình phi tuyến dạng tắc: Phương trình sai phân cấp k dạng tắc Xét phương trình x(n + k) = f (n, x(n + k − 1), x(n + k − 2), , x(n)) 303 Từ điều kiện ban đầu đó, chẳng hạn:  x(n0 ) = x00    x(n + 1) = x0     x(n0 + k − 1) = x0k−1 cách truy hồi liên tiếp ta nhận giá trị hàm nghiệm bước hữu hạn bất kỳ: x(k) = f (k, x(k − 1), x(k − 2), , x(0)) x(k + 1) = f (k + 1, f (k, x(k − 1), x(k − 2), , x(0)), x(k − 1), , x(1)) Việc tính tốn rõ ràng cồng kềnh, khó thực n lớn 10.4.4 Một vài ứng dụng phương trình sai phân a) Tính tổng số hạng dãy số Một tập có thứ tự số liệu phụ thuộc vào n (n ∈ Z+ ) gọi dãy Trong nhiều trường hợp người ta cần tính tổng số số hạng dãy số liệu Có nhiều cách khác để giải toán Sau cách tính tổng cách sử dụng kiến thức phương trình sai phân Cách giải tỏ có hiệu cho lớp tổng có dạng với nét đặc trưng riêng Ví dụ 10.15 Tính tổng S1 = 13 + 23 + 33 + + n3 Lời giải Đặt k = x(k + 1) − x(k) (k = 1; 2; 3; ; n), ta có S1 = x(n + 1) − x(1) Ta tìm x(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau: x(n + 1) − x(n) = n3 Phương trình nhất: x(n + 1) − x(n) = Phương trình đặc trưng: λ − = ⇔ λ = Nghiệm tổng quát phương trình nhất: x¯(n) = C Tìm nghiệm riêng phương trình khơng dạng: xˆ(n) = n(An3 + Bn2 + Cn + D) = An4 + Bn3 + Cn2 + Dn 304 Tính xˆ(n + 1), thay xˆ(n), xˆ(n + 1) vào phương trình khơng nhất, so sánh hệ số n, ta hệ phương trình:     A = 4A =       6A + 3B = B = − ⇔   4A + 3B + 2C =     C=     A + B + C + D =  D = 1 1 1 ⇒ xˆ(n) = n4 − n3 + n2 ; x(n) = x¯(n) + xˆ(n) = C + n4 − n3 + n2 4 4 Do đó: 1 1 1 n2 (n + 1)2 S1 = x(n+1)−x(1) = (n+1)4 − (n+1)3 + (n+1)2 − + − = 4 4 Ví dụ 10.16 Tính tổng S2 = 1.21 + 2.22 + 3.23 + + n.2n Lời giải Đặt k.2k = x(k + 1) − x(k) (k = 1; 2; 3; ; n), ta có S2 = x(n + 1) − x(1) Ta tìm x(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau: x(n + 1) − x(n) = n.2n Phương trình nhất: x(n + 1) − x(n) = Phương trình đặc trưng: λ − = ⇔ λ = Nghiệm tổng quát phương trình nhất: x¯(n) = C Tìm nghiệm riêng phương trình không dạng: xˆ(n) = 2n (An + B) Tính xˆ(n + 1), thay xˆ(n), xˆ(n + 1) vào phương trình khơng nhất, so sánh hệ số n, ta hệ phương trình: A=1 2A + B = ⇔ A=1 B = −2 ⇒ xˆ(n) = (n − 2)2n ; x(n) = x¯(n) + xˆ(n) = C + (n − 2)2n Do đó: S2 = x(n + 1) − x(1) = (2n − 2)2n + 305 Ví dụ 10.17 Tính tổng S3 = 1!1 + 2!2 + 3!3 + + n!n Lời giải Đặt k!k = x(k + 1) − x(k) (k = 1; 2; 3; ; n), ta có S3 = x(n + 1) − x(1) Ta tìm x(n) từ phương trình sai phân tuyến tính hệ số sau: x(n + 1) − x(n) = n!n Phương trình nhất: x(n + 1) − x(n) = Phương trình đặc trưng: λ − = ⇔ λ = Nghiệm tổng quát phương trình nhất: x¯(n) = C Ta thử tìm nghiệm riêng phương trình khơng dạng: xˆ(n) = n!(An + B) Tính xˆ(n + 1), thay xˆ(n), xˆ(n + 1) vào phương trình khơng nhất, so sánh hệ số n, ta hệ phương trình:   A = A=0 A+B =0 ⇔  B =  A = ⇒ xˆ(n) = n!; x(n) = x¯(n) + xˆ(n) = C + n! Do đó: S3 = x(n + 1) − x(1) = (n + 1)! − b) Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số Khi chưa biết số hạng tổng quát dãy số biết số số hạng có mối quan hệ ta xác định biểu thức số hạng tổng quát Dưới ví dụ minh họa cách giải cơng cụ phương trình sai phân Ví dụ 10.18 Tìm số hạng tổng qt dãy số (dãy Fibonacci): 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; Lời giải Gọi số hạng tổng quát dãy số x(n) Ta có quan hệ sau x(n + 2) = x(n + 1) + x(n) ⇔ x(n + 2) − x(n + 1) − x(n) = 306 Đây phương trình sai phân tuyến tính cấp hai hệ số dạng với điều kiện ban đầu x(1) = 1, x(2) = Phương trình đặc trưng: √ √ + − ;λ = λ2 − λ − = ⇔ λ = 2 Vậy, biểu thức x(n) √ √ 1− n 1+ n x(n) = C1 ( ) + C2 ( ) 2 Thay điều kiện ban đầu x(1) = & x(2) = 2, ta tìm √ √ 5−3 5+3 C1 = √ , C2 = √ 5 Dãy số √ √ √ 5−3 1− n 5+3 1+ n ) + √ ( ) x(n) = √ ( 2 5 √ 10.4.5 Một vài toán thực tiễn Mục tiêu tiểu mục giới thiệu cách lập phương trình sai phân cho vài mơ hình quen thuộc thực tế Các giả thiết mơ hình cho "rất tốt" để nhận phương trình mà ta biết cách giải a) Bài toán Quỹ tiết kiệm (1) Trường hợp lãi suất Giả sử có loại quỹ tiết kiệm, lãi suất tính theo tháng α(%) Gọi x(n) tổng tiền gốc lãi khách hàng tháng thứ n, ta có quan hệ: x(n + 1) = x(n) + αx(n) ⇔ x(n + 1) − (1 + α)x(n) = Đây phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số mà ta biết cách giải (2) Trường hợp lãi suất biến thiên Lấy tháng làm mốc n = Giả sử lãi suất thay đổi theo tháng α(n)(%) Ta có phương trình x(n + 1) − [1 + α(n)]x(n) = 307 Đây phương trình sai phân tuyến tính cấp hệ số biến thiên mà ta biết cách giải Qua ví dụ ta thấy việc đặt x(0) = C hay x(n0 ) = C khơng ảnh hưởng đến tốn Độ lớn C nói chung tuỳ ý, để tốn có ý nghĩa, ta lấy C ≥ b) Phương trình tăng trưởng GDP Ta nêu cách thiết lập phương trình tăng trưởng tổng thu nhập Quốc dân (GDP) quốc gia Giả sử đại lượng sau quy tiền: Y(n) tổng thu nhập quốc dân (của quốc gia) năm thứ n G (n) tổng chi dùng Chính phủ năm thứ n C(n) tổng chi dùng Dân sinh (các hộ gia đình, doanh nghiệp tư nhân) năm thứ n I(n) tổng Đầu tư năm thứ n Trong năm tổng GDP quốc gia lấy tổng ba đại lượng: tổng chi dùng Chính phủ, tổng chi dùng Dân sinh tổng Đầu tư: Y (n) = C(n) + I(n) + G(n) Giả sử hàm chi dùng Dân sinh dự kiến sở từ tổng thu nhập năm trước liền kề: C(n) = αY (n − 1), (10.28) đó, α ∈ (0; 1), gọi xu hướng chi dùng cận biên Giả sử lượng Đầu tư tỷ lệ với độ tăng lên hàm chi dùng Dân sinh: I(n) = β[C(n) − C(n − 1)] số β > gọi số quan hệ Giả sử lượng chi dùng Chính phủ γ > 0, không thay đổi theo năm G(n) = γ Từ hệ thức trên, ta có phương trình Y (n + 2) − α(1 + β)Y (n + 1) + αβY (n) = γ (10.29) Đây phương trình sai phân tuyến tính cấp mà ta biết cách giải Chú ý Trong thực tế, giả thiết mơ hình phức tạp hơn, phương trình sai phân nhận nói chung khác 308 BÀI TẬP Bài 10.1 Tìm nghiệm tổng quát x(n + 1) − 3x(n) = 2x(n + 1) + x(n) = x(n + 2) − 3x(n + 1) + 2x(n) = 3x(n + 2) + 2x(n + 1) − x(n) = x(n + 3) − x(n + 2) + 2x(n + 1) + 4x(n) = x(n + 3) − 7x(n + 2) + 16x(n + 1) − 10x(n) = x(n + 3) − 6x(n + 2) + 12x(n + 1) − 7x(n) = x(n + 2) + 2x(n + 1) + 4x(n) = x(n + 2) + 4x(n + 1) + 8x(n) = Bài 10.2 Tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện ban đầu x(n + 1) − 3x(n) = với x(0) = −1 x(n + 2) − 3x(n + 1) + 2x(n) = với x(0) = 1; x(1) = −1 x(n + 3) + 3x(n + 2) + 3x(n + 1) + x(n) = với x(0) = 1; x(−1) = 2; x(−2) = −2 Bài 10.3 Giải phương trình phương pháp chọn x(n + 1) − 4x(n) = 3n2 − 8n − x(n + 1) + 3x(n) = (−3)n 3n 2x(n + 1) − x(n) = 2−n+3 (n + 1) 2x(n + 1) − x(n) = 4−n (n2 + n − 1) x(n + 1) − 3x(n) = 5.2n+1 cos n π x(n + 1) + 5x(n) = 6n2 − 4n + 12 x(n + 1) = 3x(n) + 2n (4 − n) 309 x(n + 1) = 2x(n) + cos n π π − sin n 2 x(n + 1) − 6x(n) = 12.6n + 3.7n Bài 10.4 Giải phương pháp biến thiên số x(n + 1) = (n + 1)x(n) + (n + 1)! x(n + 1) + nx(n) = n! +2n x(n + 1) − 9n x(n) = 3n x(n + 1) + n n! x(n) = n 3 x(n + 1) = n! n x(n) + n+1 2 x(n + 1) − 4−n x(n) = n2−n −n x(n + 1) − nx(n) = n! ln(n + 1) +n x(n + 1) − e2n x(n) = en ln(n + 1) Bài 10.5 Giải phương trình (*) x(n + 1) − 5x(n) = 5n nn! x(n + 1) − 3x(n) = 3n+1 (n + 1)2 x(n + 1) − 4x(n) = 4n+1 sin (n+1)π x(n + 1) − 51 x(n) = 5n (n+2)(n+1) x(n + 1) − 2x(n) = 2n+2 (n+1)(n+2)(n+3) +n+1 x(n + 1) − 4n x(n) = 2n cos nπ x(n + 1) − nx(n) = n!n2 Bài 10.6 Tìm nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu x(n + 1) − 3x(n) = n3n+1 với x(0) = x(n + 1) − 3x(n) = 3n sin n π với x(1) = 310 Bài 10.7 Giải phương trình x(n + 2) − 5x(n + 1) + 6x(n) = 2n + x(n + 2) − 3x(n + 1) + 2x(n) = 2n + 3 x(n + 2) − 3x(n + 1) + 2x(n) = 4n3n x(n + 2) − 4x(n + 1) + 4x(n) = 5n (9n + 3) x(n + 2) − 4x(n + 1) + 4x(n) = 16.2n + 18.5n x(n + 2) − 5x(n + 1) + 6x(n) = cos n π π + 12 sin n 2 x(n + 2) − 2x(n + 1) + 4x(n) = 14.3n x(n + 2) + x(n) = cos n π π − sin n 2 x(n + 2) − 3x(n + 1) + 2x(n) = 2n + + 2n+2 Bài 10.8 Tìm nghiệm thoả mãn điều kiện ban đầu x(n + 2) − 4x(n + 1) + 3x(n) = 85n với x(0) = 4; x(1) = 11 x(n + 2) + 9x(n) = cos n π2 với x(0) = 3; x(1) = Bài 10.9 Tính tổng: S1 = 12 + 22 + 32 + + n2 S2 = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n(n + 1) S3 = 1.3 + 3.5 + + (2n − 1)(2n + 1) S4 = 0.2 + 2.4 + + 2n.2(n + 1) S5 = sin α + sin 2α + + sin nα S6 = 12 31 + 22 32 + 32 33 + + n2 3n ĐÁP SỐ Bài 10.1 x(n) = C3n x(n) = C(− 21 )n x(n) = C1 + C2 2n 311 x(n) = C1 (−1)n + C2 3−n + C2 sin nπ ) x(n) = C1 (−1)n + 2n (C1 cos nπ 3 √ n √ x(n) = C + ( 10) (C cos nφ + C sin nφ); (cos φ = 3/ 10, sin φ = 2 √ 1/ 10) √ √ x(n) = C1 + ( 7)n (C2 cos nφ + C3 sin nφ); (cos φ = 5/2 7; sin φ = √ √ 3/2 7) x(n) = 2n (C1 cos n2π n2π + C2 sin ) 3 n x(n) = (C1 cos n 3π + C2 sin n 3π ) 4 Bài 10.2 x(n) = −3n x(n) = − 2n+1 x(n) = (1 + 9n/2 + 3n2 /2)(−1)n Bài 10.3 x(n) = C4n − n2 + 2n + x(n) = (−3)n (C + n/2 − n2 /2) x(n) = 2−n (C + 4n2 + 4n) x(n) = C2−n − 4−n (2n2 + 6n + 6) x(n) = C1 3n + 2n (− 30 20 cos n π2 + sin n π2 ) 13 13 x(n) = C(−5)n + n2 − n + 12/5 x(n) = C3n + 2n (n − 2) x(n) = C2n + cos n π2 + sin n π2 5 x(n) = C6n + 2n6n + 3.7n Bài 10.4 x(n) = (n + C)n! (C := x(0)) x(n) = (−1)n−1 (n − 1)!(C − 1) n chẵn x(n) = (−1)n−1 (n − 1)!C n lẻ +n x(n) = (C + 3n /2 − 1/2)3n 312 x(n) = C(−1)n−1 (n − 1)!31−n n lẻ x(n) = (C − 1)(−1)n−1 (n − 1)!31−n n chẵn x(n) = 2−n (n − 1)!(C + n) x(n) = 2n−n [C + n(n − 1)/2] x(n) = (n − 1)![C + ln n!] −n x(n) = (C + ln n!)en Bài 10.5 x(n) = [C + (n! − 1)/5]5n x(n) = 3n [C + n(n + 1)(2n + 1)/6] x(n) = 4n [C + √1 3−2 x(n) = 5−n [C + x(n) = 2n [C − −n x(n) = 2n 5n ] (n+1) ] (n+2)(n+1) [C + sin(nπ/2) + cos(nπ/2)] x(n) = (n − 1)![C + Bài 10.6 n(n − 1)(2n − 1) ] x(n) = 3n [5 + n(n − 1)/2] x(n) = 3n−1 [− Bài 10.7 + 12 sin nπ ] cos nπ 6 √ 2 √ + √√ 2−1 sin (n+1)π ] sin nπ 8 x(n) = C1 2n + C2 3n + n + x(n) = C1 + C2 2n − n2 − 4n x(n) = C1 + C2 2n + (2n − 9)3n x(n) = C1 2n + nC2 2n + 5n (n − 3) x(n) = C1 2n + nC2 2n + 2.5n + 2n2 2n 13 π 11 π cos n + sin n 10 10 π π x(n) = 2n (C1 cos n + C2 sin n ) + 2.3n 3 π π π π x(n) = C1 cos n + C2 sin n ) − 3n cos n + 2n sin n ) 2 2 x(n) = C1 2n + C2 3n + 313 x(n) = C1 + C2 2n − n2 − 2n + 2n.2n Bài 10.8 x(n) = 3/2 + 3n+1 /2 + 5n x(n) = 3n ( Bài 10.9 S2 = 23 cos n π2 + sin n π2 ) + cos n π2 8 S1 = n(n + 1)(2n + 1) n(n + 1)(n + 2) 3 S3 = (n + 1)3 /3 − (n + 1)2 /2 − 5(n + 1)/6 − S4 = n(n + 1)(4n + 5) S5 = sin(nα/2) sin((n + 1)α/2)/ sin(α/2) S6 = 3n+1 (n2 − n + 1)/2 − 3/2 314 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Toán học Cao cấp (3 tập, tái bản), Nhà xuất Giáo dục,1997 [2] Lê Đình Thịnh (chủ biên), Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [3] Ngơ Việt Trung, Đại số tuyến tính, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 [4] Nguyễn Ngọc Hiền, Hướng dẫn giải tập Toán Cao cấp (phần một), Nhà xuất Thống kê, 2004 [5] Nguyễn Sinh Bảy Nguyễn Ngọc Hiền, Hướng dẫn giải tập Toán Cao cấp (phần 2), Nhà xuất Thống kê, 2010 [6] Demidovich, Problems in Mathematical Analysis, MIR, 1976 315 ... cos2 2 2 x d(tan ) x x = ln | tan | + C tan dx = sin x + cos4 x dx dx =2 − sin2 2x − sin2 2x dx dx =2 =2 1 + cos 2x cos2 2x +1 cos2 2x dx d(tan 2x) =2 = 2 cos 2x (2 + tan 2x) tan2 2x + tan 2x... + 2) dx d(x2 + 2x + 5) dx = + 2 x + 2x + x + 2x + x + 2x + d(x + 1) = ln |x2 + 2x + 5| + (x + 1 )2 + x+1 + C = ln(x2 + 2x + 5) + arctan 2 2 (x − 3)dx =− 2 − 2x − x √ = − − 2x − x2 − √ d(3 − 2x... t 20 5 Đặt u = √ xdx a2 + x2 , dv = dx, ta có du = √ ,v = x a2 + x √ √ a2 + x2 dx = x a2 + x2 − √ = x a2 + x − √ = x a2 + x − x2 dx √ a2 + x x + a2 − a2 √ dx a2 + x √ a2 + x2 dx + a2 √ dx + x2