Phương trình sai phân
10.1.1 Lưới thời gian và sai phân
Cho điểm t0 trên trục thực và khoảng cách h >0. Tập các điểm trên trục
thực:
I :={t0+nh:n∈Z}
là một tập rời rạc, gồm các điểm cách đều nhau một khoảng cách là h, bắt đầu từt0. Ta gọi I là một lưới thời gian với bước lưới là h.
Sai phân
Giả sử x(t) là một hàm trên lưới I;t∈I. Khi đó:
∆x(t) :=x(t+h)−x(t) gọi là sai phân cấp một của hàmx(.) tại điểm t.
=x(t+ 2h)−2x(t+h) +x(t) gọi là sai phân cấp hai. Tương tự
∆kx(t) := ∆(∆k−1x(t)) =
i=k
X
i=0
(−1)iCkix(t+ih) gọi là sai phân cấp k.
Ý nghĩa. Giả sử x(t) là một hàm khả vi trên R. Khi h > 0 là một khoảng thời gian đủ nhỏ thì ta có xấp xỷ
x(t+h)−x(t)∼=y0
(t)h.
Như vậy, với hàm số khả vi khi bước lưới là bé thì là sai phân có thể coi là xấp xỷ tích của đạo hàm và độ dài bước lưới.
Từ nay, để đơn giản khi trình bày, ta ln lấyt0 = 0 và h= 1 (h = 1 đơn vị thời gian, chẳng hạn là một giây, một giờ, một ngày, một năm hay một chu kỳ sản xuất,...). Trong trường hợp này ta có I ≡Z :={0;±1;±2;...}. Biến độc lập, theo truyền thống ta kí hiệu là n.
Giả sử x(n) là một hàm trên lưới Z. Ta cũng dùng kí hiệu: x(.) :Z→R:n7→x(n) hoặc
x(.) :Z→R:n7→xn.
Giá trị của hàm x(.) tại bước n∈Z được kí hiệu là x(n) hoặc xn. Để thống
nhất với cách viết giá trị hàm số ở các chương trước, ta quy ước sẽ dùng kí hiệu x(n).
Như vậy, trên lưới Z theo cách định nghĩa ở trên, ta có:
∆x(n) :=x(n+ 1)−x(n). ∆2x(n) := ∆(∆x(n)) := [x(n+ 2)−x(n+ 1)]−[x(n+ 1)−x(n)] =x(n+ 2)−2x(n+ 1) +x(n). ∆kx(n) := ∆(∆k−1x(n)) = k X i=0 (−1)iCkix(n+k−i).
Tính chất của sai phân 1. ∆C = 0 (C-hằng số).
2. ∆k[αx(n) +βx(n)] =α∆kx(n) +β∆kx(n) (α, β ∈R). 3. ∆knm = ( 0 khi k > m đa thức bậc m−k khik ≤m. 4. N P n=M ∆kx(n) = ∆k−1x(N + 1)−∆k−1x(M) (k = 1,2,3, ...). Hệ quả N P n=M ∆x(n) = x(N + 1)−x(M).