Phương trình sai phân
10.4.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp k hệ số hằng
số hằng
Xét phương trình sau với a0, a1, ..., ak là các hằng số và aka0 6= 0:
akx(n+k) +ak−1x(n+k−1) +...+a1x(n+ 1) +a0x(n) = 0. (10.20) Phương trình nghiệm phức sau đây gọi là phương trình đặc trưng của (10.20) akλk+ak−1λk−1+...+a1λ+a0 = 0. (10.21) Phương trình này nhận được khi tìm nghiệm của phương trình thuần nhất ở dạngx(n) =λn. Ta có kết quả:
Định lí 10.8 1) Nếu phương trình đặc trưng(10.21)có k nghiệm thực khác nhau là λ1, λ2, ..., λk thì nghiệm tổng quát của (10.20) là
¯
x(n) =C1λn1 +C2λn2 +...+Ckλnk. (10.22)
2) Nếu λ=λj là nghiệm bội cấp s của (10.21) thì số hạng Cjλn
j ở nghiệm tổng quát (10.22) được thay bởi một tổ hợp tuyến tính, hệ số hằng tuỳ ý của
λn j, nλn
j, ..., ns−1λn
j. Tổng lấy theo tất cả các nghiệm khác nhau của phương trình đặc trưng.
3) Nếuuj±ivj là nghiệm phức cấp bội s của (10.21), trong đó vj 6= 0; uj+
ivj = rj(cosφj +isinφj) thì số hạng Cjλnj ở (10.22) được thay bởi tổ hợp tuyến tính, hệ số hằng tuỳ ý của
rnj cosnφj, rjnsinnφj, nrnj cosnφj, nrnj sinnφj, ..., ns−1rjncosnφj, ns−1rjnsinnφj.
Tổng lấy theo tất cả các nghiệm khác nhau của phương trình đặc trưng.
Ví dụ 10.14 Tìm nghiệm tổng qt của phương trình x(n+ 3)−5x(n+ 2) + 12x(n+ 1)−8x(n) = 0.
Lời giải. Phương trình đặc trưng:
trong đó: 2 + 2i= 2√
2(cosπ
4 +isin
π
4).
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
¯ x(n) =C1+ (2√ 2)n(C2cosnπ 4 +C3sinn π 4).