Phương trình vi phân
9.3.3 Phương trình tuyến tính cấp ha
9.3.3.1 Dạng và tính chất của các phương trình tuyến tính cấp 2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai là phương trình có dạng:
y00+p(x)y0+q(x)y=f(x).
• Nếuf(x)6= 0 thì phương trình gọi là khơng thuần nhất.
• Nếuf(x)≡0 thì phương trình gọi là thuần nhất.
• Nếu p, q khơng phụ thuộc vào x thì nói phương trình có hệ số hằng. Ngược lại, nói phương trình có hệ số biến thiên.
Lưu ý rằng, vế trái của phương trình trên là một tổ hợp tuyến tính của y, y0, y”, vế phải khơng chứa y.
Tính chất.
1) Nghiệm tổng qt của phương trình khơng thuần nhất y00+p(x)y0+q(x)y=f(x)
bằng tổng của nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất y00+p(x)y0 +q(x)y = 0
với một nghiệm riêng nào đó của phương trình khơng thuần nhất.
2) (Ngun lý chồng chất nghiệm) Nếu y1 là một nghiệm riêng của phương trình
y00+p(x)y0+q(x)y=f1(x)
và y2 là một nghiệm riêng của phương trình
y00+p(x)y0+q(x)y=f2(x)
thì y=y1+y2 là một nghiệm riêng của phương trình y00+p(x)y0+q(x)y=f1(x) +f2(x).
Tính chất này có thể mở rộng cho trường hợp vế phải là tổng của n hàm. 3) Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm của phương trình thuần nhất thì với mọik, h∈R,y(x) = hy1(x) +ky2(x)cũng là nghiệm của phương trình thuần nhất.
4) Nếu y1(x) và y2(x) là hai nghiệm độc lập tuyến tính (khơng tỷ lệ) của phương trình thuần nhất thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
sẽ là y(x) =C1y1(x) +C2y2(x).
Cách chứng minh. Các tính chất 1) và 2) được kiểm tra bằng cách thay trực tiếp vào phương trình. Chứng minh tính chất 3) và 4) có thể xem ở [2]. Ở mục sau đây, ta chỉ quan tâm tới trường hợp đơn giản, khi các hệ số là hằng số. Ta sẽ dùng đến một số kiến thức về số phức, được ôn lại ở cuối chương này.
9.3.3.2 Phương trình tuyến tính cấp hai hệ số hằng. Xét phương trình
y00+py0+qy =f(x), trong đó p, q là hằng số. Phương trình
y00+py0+qy = 0
gọi là thuần nhất, tương ứng với phương trình đầu. Cách giải.
Ta giải phương trình này bằng phương pháp chọn. Ta cần tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và một nghiệm riêng nào đó của phương trình khơng thuần nhất.
a) Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất
Tìm nghiệm của phương trình thuần nhất ở dạng y = eλx(λ ∈ C), sẽ dẫn
đến phương trình đại số, nghiệm phức sau đây λ2+pλ+q = 0.
Phương trình này được gọi là phương trình đặc trưng của hai phương trình trên. Để tránh nhầm lẫn, ở đây ta sẽ dùng kí hiệu y¯để chỉ nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất. Ta có kết quả:
Định lí 9.6 1) Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt là
λ1 6=λ2 thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
¯
y =C1eλ1x+C2eλ2x.
2) Nếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực trùng nhau làλ1 =λ2 =k
thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
¯
y=C1eλx+C2xeλx.
thì nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
¯
y =eαx[C1cosβx+C2sinβx].
Chứng minh. Ta tìm hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính (chúng khơng tỷ lệ) của phương trình thuần nhất dưới dạng y = eλx, (λ ∈ C) Tính y0; y00, thay vào phương trình thuần nhất, ta có
λ2eλx+pλeλx+qeλx = 0⇔eλx(λ2+pλ+q) = 0 ⇔λ2+pλ+q = 0.
1) Nếuλ1 6=λ2 là hai nghiệm thực của phương trình đặc trưng thì suy theo chiều ngược lại (hoặc thử trực tiếp) ta thấy y1(x) := eλ1x và y2(x) := eλ2x
là hai nghiệm khác nhau của phương trình thuần nhất. Hơn nữa, chúng độc lập tuyến tính. Vậy, theo Tính chất 4) của phương trình thuần nhất, ta có y=C1eλ1x+C2eλ2x là nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất. 2) Nếu λ2+pλ+q = 0 có nghiệm kép (λ = −p2) thì có thể kiểm tra rằng y1(x) = eλx và y2(x) = xeλx đều là nghiệm của phương trình thuần nhất. Hơn nữa, hai nghiệm này độc lập tuyến tính (vìxthay đổi nên chúng không tỷ lệ). Vậy, trong trường hợp này nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất lày=C1eλx+C2xeλx.
3) Nếu λ2+pλ+q = 0⇔λ=λ1,2 =α±iβ. Khi đó y1(x) = e λ1x+eλ2x 2 = e αxcosβx và y2(x) = e λ1x−eλ2x 2i = e αxsinβx là hai nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình thuần nhất. Từ đó suy ra điều cần chứng minh.
Ví dụ 9.26 Tìm nghiệm tổng qt của phương trình: y00−2y0+y= 0.
Lời giải. Phương trình đặc trưng λ2−2λ+ 1 = 0 có nghiệm kép λ1,2 = 1
nên nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất trên là
¯
y=ex(C1+C2x).
Ví dụ 9.27 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình y00+ 2y0+ 2y= 0
Lời giải. Phương trình đặc trưngλ2+ 2λ+ 2 = 0 có nghiệm là λ1;2 =−1±i.
Nghiệm tổng quát của phương trình là
¯
b) Tìm nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất.
Việc tìm một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất ở dạng tổng quát là khó, ta chưa có phương pháp chung để làm việc đó. Tuy nhiên, trong một vài trường hợp đặc biệt của hàm vế phải ta có thể giải quyết được vấn đề trên.
Trường hợp 1.
f(x) =eαxPn(x)
trong đó Pn(x) là đa thức bậcn của xcòn α là hằng số thực, n∈Z+. Ta sẽ dùng kí hiệu yˆđể chỉ nghiệm riêng.
Định lí 9.7 Xét phương trình y” +py0 +qy = eαxPn(x). Có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình này ở dạng:
ˆ y=
Qn(x)nếuαkhơng phải là nghiệm của phương trình đặc trưng,
xQn(x)nếuα là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng,
x2Qn(x)nếuα là nghiệm kép của phương trình đặc trưng,
trong đó Qn(x) là đa thức với các hệ số chưa biết và có thể xác định chúng bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 9.28 Giải phương trình:
y00+ 5y0+ 6y= 3.
Lời giải. Phương trình đặc trưng
λ2+ 5λ+ 6 = 0⇔λ1 =−3, k2 =−2.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
¯
y=C1e−3x+C2e−2x.
Tìm nghiệm riêng ở dạng yˆ= A. Thay vào phương trình được 6A = 3 ⇔
A = 1
2. Nghiệm riêng là yˆ= 1
2. Nghiệm tổng qt của phương trình khơng
thuần nhất là
y= ¯y+ ˆy=C1e−3x+C2e−2x+1 2.
Ví dụ 9.29 Giải phương trình
y00+y0−2y= 3xex. Lời giải. Phương trình đặc trưng:
λ2+λ−2 = 0⇔λ= 1;λ=−2.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: y¯=C1ex+C2e−2x.
Vì α = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên tìm nghiệm riêng dưới dạng
ˆ
y=xex(Ax+B).
Ta có yˆ0 =ex(Ax2+Bx) +ex(2Ax+B).
ˆ
y00 =ex(Ax2+Bx) + 2ex(2Ax+B) +ex2A.
Thay vào phương trình và giải tiếp, ta được:A = 1
2, B =−1
3.
Vậy một nghiệm riêng làyˆ=xex 1 2x− 1
3
!
. Nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất là y = ¯y+ ˆy=C1ex+C2e−2x+xex 1 2x− 1 3 ! . Ví dụ 9.30 Giải phương trình y00−2y0+y= 4ex
Lời giải. Phương trình đặc trưng: λ2 −2λ+ 1 = 0 ⇔ λ = λ1 = λ2 = 1.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
¯
y= (C1+C2x)ex. Tìm nghiệm riêng: yˆ=x2.ex.A.
Thayy,ˆ yˆ0,y”ˆ vào phương trình khơng thuần nhất, ta tìm đượcA= 2. Nghiệm
riêng:yˆ= 2x2ex.
Nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất: y = ¯y+ ˆy= (C1+C2x)ex+ 2x2ex.
Trường hợp 2.
f(x) = eαxhPn(x) cosβx+Pm(x) sinβxi(sinβ 6= 0).
Định lí 9.8 Nếu α ±βi khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có thể tìm ở dạng ˆ y=eαx h Ql(x) cosβx+Rl(x) sinβx i ;l = max{n, m}.
Nếu α±βi là nghiệm của phương trình đặc trưng thì nghiệm riêng có thể tìm ở dạng
ˆ
y=xeαxhQl(x) cosβx+Rl(x) sinβxi ;l = max{n, m}.
Ví dụ 9.31 Giải phương trình: y00+ 4y= sin 2x.
Lời giải. Phương trình đặc trưng: λ2 + 4 = 0⇔λ = 0±2i.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
¯
y=C1cos 2x+C2sin 2x.
Ở đây, f(x) = sin 2x=e0x(0.cos 2x+ sin 2x) nên tìm nghiệm riêng ở dạng
ˆ
y=x(Acos 2x+Bsin 2x).
Thay y,ˆ yˆ0,y”ˆ vào phương trình khơng thuần nhất, so sánh các hệ số của
sin 2x,cos 2x và của x, tìm được A=−1
4, B = 0.
Nghiệm tổng qt của phương trình khơng thuần nhất là y=C1cos 2x+C2sin 2x− 1
4xcos 2x.
Nhận xét. Qua phần nội dung và các ví dụ ở trên ta thấy, nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp k thì cần đúng k hằng số tự do. Với các phương trình dạng tuyến tính thì các hằng số đó là tùy ý. Với các phương trình dạng phi tuyến, các hằng số đó có thể chịu một số hạn chế nào đó, tuỳ theo cách đặt. Chẳng hạn phương trình xdx+ydy = 0 ⇔ x2 +y2 = C. Ở đây,C là hằng số không âm tuỳ ý. Tuy nhiên, cũng có thể viết: xdx+ydy= 0 ⇔ x2 + y2 = C2. Khi đó, C là hằng số tuỳ ý. Cịn với phương trình
khơng hồn tồn tùy ý.
9.4 Ơn lại về Số phức (phần phụ lục)
9.4.1. Số thực, số phức
Ta đã biết khái niệm số thực, tập các số thực (kí hiệu R) và các phép tốn trong R. Trong phạm vi các số thực phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0
khơng có nghiệm nếu như ∆ := b2 −ac <0. Điều tương tự sẽ không xảy ra nếu ta thay tập số thực bởi một tập rộng hơn, gọi là tập các số phứcC, được trình bày dưới đây. Việc nhắc lại và đưa thêm vào một vài kiến thức về số phức là cần thiết cho việc trình bày các nội dung đã có ở chương này và sẽ có ở chương sau.
Định nghĩa 9.4 1. Đơn vị ảo là một kí hiệu i, trong đó i2 =−1.
2. Biểu thức z = a+bi trong đó a, b ∈ R; i là đơn vị ảo gọi là một số phức.
• a gọi là phần thực của z =a+bi, kí hiệu là Rez.
• b gọi là phần ảo của z =a+bi, kí hiệu là Imz.
3. Hai số phức gọi là bằng nhau nếu chúng có phần thực bằng nhau, phần ảo bằng nhau:
a+bi =c+di nếu a=c và b=d.
4. z¯=a−bi gọi là số phức liên hợp của z =a+bi.
5. Tập các số phức được kí hiệu là C:={a+bi :a, b∈R}.
Chú ý 9.4 1. R⊂ C và C6⊂ R. Quả vậy,z =a ∈R ⇔z =a+ 0i∈ C. Vậy R⊂C. Ngược lại,z =i∈Cnhưng z =i6∈R.
2. Số không trong C là0 = 0 + 0i.
3. Số phức z = 0 +bi(b ∈R)gọi là một số thuần ảo. 4. Khơng có phép so sánh "<" hay ">" giữa hai số phức. Ví dụ 9.32
a. z = 4;z =−3i;z = 1 + 2ilà các số phức.
b. z =±iđều là nghiệm của phương trìnhx2+ 1 = 0. Quả vậy,i2+ 1 =
−1 + 1 = 0và (−i)2+ 1 =i2+ 1 =−1 + 1 = 0.
9.4.2. Dạng lượng giác của số phức
Hệ toạ độ trực chuẩn xOy với đơn vị trên trục Ox là1, đơn vị trên trục Oy là i gọi là một hệ toạ độ phức. Mỗi số phức z =a+bi tương ứng duy nhất một điểm A(a;b) trên hệ toạ độ phức. Vectơ −→
OA gọi là biểu diễn hình học của số phức z = a+bi. Độ dài r = |−→OA| = √
a2+b2 gọi là modun của z, kí hiệu là modz. Góc ϕthuộc[0; 2π] giữa Oxvà −→
OA, tính theo chiều dương, gọi là argument củaz, kí hiệu là argz. Khi đó, ta có
a+bi=r(cosϕ+isinϕ) (9.1) Vế phải được gọi là dạng lượng giác của số phức được cho ở vế trái. Để tìm modz vàagrz ta thường vẽ vectơOA (tương ứng vớiz) trên hệ tọa độ phức.
Ví dụ 9.33 Đưa các số phức sau đây về dạng lượng giác (a) z1 = 1 (b) z2 =−3i (c) z3 =−1 +i (d) z4 =−1−i. (e) z5 = 2 + 2√ 3i (f) z6 =−2−2√ 3i. Lời giải.
(a) z1 = 1 + 0i= 1(cos 0 +isin 0).
(b) z2 = 0−3i= 3(0 +isin3π2 ) = 3(cos3π2 +isin3π2 ).
(c) z3 =−1 +i=√ 2−√1 2 + 1 √ 2i =√ 2cos3π 4 +isin 3π 4 . (d) z4 =−1−i=√ 2− √1 2− √1 2i =√ 2cos5π 4 +isin 5π 4 . (e) z5 = 2−2√ 3i= 4(12 − √ 3 2 i) = 4(cos5π3 +isin5π3 ). (f) z6 =−2−2√ 3i= 4(−1 2 − √ 3 2 i) = 4(cos4π3 +isin4π3 ). 9.4.3. Các phép toán trên số phức Phép cộng, trừ, nhân, chia
Cho hai số phứcz1 =a+bivà z2 =c+di(a, b, c, d∈R). Các phép toán giữa
chúng được định nghĩa như sau.
1. z1+z2 = (a+bi) + (c+di) = (a+c) +i(b+d). 2. z1−z2 = (a+bi)−(c+di) = (a−c) +i(b−d). 3. z1z2 = (a+bi)(c+di) = (ac−bd) +i(ad+bd). 4. z1 :z2 = z1z¯2
z2z¯2 =
1
c2+d2[(ac+bd) +i(bc−ad)]nếu c+di6= 0.
Các phép tính này có các tính chất tương tự như đối với các số thực. Khi các số phức được cho ở dạng lương giác, ta có kết quả sau. Hệ quả 9.1 .
1. Nếu z1 =r1(cosϕ1+isinϕ1);z2 =r2(cosϕ2+isinϕ2) thì
z1z2 =r1r2[cos(ϕ1+ϕ2) +i(sinϕ1+ϕ2)].
2. Nếu z1 =r1(cosϕ1+isinϕ1);z2 =r2(cosϕ2+isinϕ2)6= 0 thì
z1 z2 =
r1
r2[cos(ϕ1 −ϕ2) +i(sinϕ1−ϕ2)].
Chứng minh. 1. Quả vậy, z1z2 = r1r2[(cosϕ1cosϕ2 −sinϕ1sinϕ2) +
i(cosϕ1sinϕ2+ sinϕ1cosϕ2)] =r1r2[cos(ϕ1+ϕ2) +i(sinϕ1+ϕ2)].
2. Ý 2. này được chứng minh một cách tương tự ý 1.
Phép luỹ thừa
Ta có i1 =i, i2 =−1, i3 =−i, i4 = 1, i5 =−1, .... Một cách tổng quát:
i4n = 1, i4n+1 =i, i4n+2 =−1, i4n+3 =−i, ∀n ∈Z+.
Từ đậy, ta có thể thực hiện phép luỹ thừa (a+bi)n với mọi số số ngun khơng âmn.
Nếuz =a+bi =r(cosϕ+isinϕ)thì theo Hệ quả 9.1, áp dụng liên tiếp cho n thừa số đều bằng z, ta có
[r(cosϕ+isinϕ)]n=rn(cosnϕ+isinnϕ). Đẳng thức này được gọi là cơng thức Moivre.
Phép khai căn
Cho số phức z =a+bi và một số nguyên dương n. Nói t là căn bậcn của z và kí hiệu t= √n
z nếu tn=z. Vậy, từ (±i)2 =−1 ta có√
−1 = ±i.Hơn nữa, √
Việc tìm căn của số phức sẽ thuận tiện hơn khi số phức được cho ở dạng lượng giác. Quả vậy, từ công thức Moivre với z =r(cosϕ+isinϕ) ta có
t = √n z = √n r(cosϕ+ 2kπ n +isin ϕ+ 2kπ n ), k= 0,1,2, ..., n−1.
Chú ý 9.5 1. Mỗi số phức có đúng n giá trị căn thức của nó.
2. Khác với phép khai căn trong tập số thực, phép khai căn trong tập số phức bao giờ cũng thực hiện được.
3. Cho a∈R. Trong tập số thực ta có √
a2 =|a|, còn trong tập số phức
lại rất khác: √
a2 =±a và p−|a|2 =±ai.
Ví dụ 9.34 Tính các căn thức. 1. √4 1. 2. √4 −16. 3.√ 1 +i. 4. p3 1−√3i. Lời giải. 1. t=√4
1 = p4 1(cos 0 +isin 0) = 1[cos2kπ4 +isin2kπ4 ],k = 0; 1; 2; 3.
Với k = 0 có t=t1 = 1(cos 0 +isin 0) = 1.
Với k = 1 có t=t2 = 1(cos2π
4 +isin2π