Phương trình sai phân
10.1.2 Khái niệm phương trình sai phân
Dạng biểu diễn.
Định nghĩa 10.1 Giả sử x(n) là một hàm đối số nguyên, chưa biết, cần tìm từ đẳng thức
F(n,∆kx(n),∆k−1x(n), ...,∆x(n), x(n)) = 0. (10.1)
Đẳng thức trên được gọi là một phương trình sai phân với hàm cần tìm là
x(n).
Từ định nghĩa sai phân, ta thấy phương trình (10.1) có thể viết ở dạng tương đương như sau
F1(n, x(n+k), x(n+k−1), ..., x(n+ 1), x(n)) = 0. (10.2) Trong phương trình này, nếu x(n) vàx(n+k) đều có mặt thì nói đó là một phương trình sai phân cấp k.
Trường hợp đặc biệt, phương trình sau
x(n+k) =f(n, x(n+k−1), x(n+k−2), ..., x(n+ 1), x(n)) (10.3) được gọi là một phương trình sai phân cấp k dạng chính tắc.
Nghiệm, nghiệm tổng quát và nghiệm riêng
Giả sử ta xét bài toán vớin ∈Z+:={0; 1; 2; 3;...}. Mỗi hàm số đối số nguyên mà khi thay vào phương trình được đẳng thức đúng với mọin ∈Z+ đều gọi là một nghiệm của phương trình sai phân đó. Để phân biệt rõ hơn, ta có định nghĩa:
Định nghĩa 10.2 Nếu đưa được một phương trình sai phân cấp k về một đẳng thức tương đương dạng
x(n) = φ(n, C1, C2, ..., Ck), (10.4)
trong đó C1, C2, ..., Ck là k hằng số tự do thì (10.4) được gọi là nghiệm tổng qt của phương trình sai phân đó.
Thay một bộ giá trị hằng số cụ thể (C0 1, C0
2, ..., C0
k) vào nghiệm tổng quát, ta được một nghiệm riêng:
x(n) =φ(n, C10, C20, ..., Ck0).
Thông thường, nghiệm riêng được xác định theo điều kiện ban đầu, được cho như sau.
Điều kiện ban đầu
Cho một giá trị bất kỳn0 ∈Z+và một bộkgiá trị thực tuỳ ý(x00, x01, ..., x0k−1).
Nghiệm x(.) của phương trình sai phân cấp k, sao cho: x(n0) = x0 0 x(n0+ 1) =x0 1 ... x(n0+k−1) = x0 k−1 (10.5)
gọi là nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu (10.5). Để đơn giản, ta thường lấy n0 = 0.
Chú ý. Phương trình sai phân cấp k thì chỉ lấy đúng k tham số tự do C1, C2, ..., Ck.
Do chưa có cách giải các phương trình sai phân dạng phi tuyến tổng quát nên ta chủ yếu nghiên cứu các phương trình sai phân dạng tuyến tính dưới đây.