Phương trình sai phân
10.2.1 Phương trình thuần nhất hệ số hằng
Xét phương trình sai phân sau với a, b là các hằng số:
ax(n+ 1) +bx(n) = 0, (ab6= 0). (10.8) (Để đơn giản và khơng giảm tính tổng qt ta có thể coi a= 1).
Tìm nghiệm của phương trình thuần nhất dưới dạng x(n) = λn sẽ dẫn đến phương trình đại số sau đây, gọi là phương trình đặc trưng của (10.8)
aλ+b= 0.
Nghiệm của phương trình đặc trưng là λ=−b
a.
Định lí 10.1 Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm là λ thì nghiệm tổng qt của phương trình (10.8) là
¯
x(n) = Cλn.
Nói cách khác, nghiệm tổng quát của phương trình trên là x(n) =C(−b a) n. Chứng minh. Ta có: (10.8) ⇔x(n+ 1) =−b ax(n). Ở các bước 0; 1; 2;...;n−1: x(1) =−b ax(0), x(2) =−b ax(1), x(3) =−b ax(2), ... x(n) =−b ax(n−1).
Nhân theo từng vế, ta được:
x(n) = (−b a)
Lấy hằng số tự do làC =x(0), ta được nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất nói trên là
¯
x(n) =C(−b a)
n.
Chú ý.1) Nếu có dùng đến nghiệm riêng thì để tránh nhầm lẫn, ta thường kí hiệu nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là x(n). Nếu khơng,¯
ta kí hiệu nghiệm tổng qt đơn giản là x(n).
2) Có thể đặt C =x(0) hoặc C =x(n0) với n0 nào đó. Điều đó khơng làm thay đổi bản chất của nghiệm tổng quát mặc dù biểu thức biểu diễn có thể khác nhau.
Ví dụ 10.1 Cho phương trình
x(n+ 1) + 2x(n) = 0.
1) Tìm nghiệm tổng quát.
2) Tìm nghiệm riêng thỏa mãnx(2) = 3.
Lời giải. Phương trình đặc trưng: λ+ 2 = 0⇔λ=−2.
1) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là x(n) =¯ C(−2)n. 2) Thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát ta được:
3 =x(2) =C(−2)2 ⇔C= 3 4.
Vậy nghiệm riêng cần tìm là
x(n) = 3
4(−2)n.