Phương trình vi phân
9.2.4 Phương trình tuyến tính cấp một
Dạng.
Cho p(x);q(x)là các hàm liên tục. Phương trình y0 +p(x)y=q(x)
được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp một. Cịn phương trình y0+p(x)y= 0
được gọi là phương trình tuyến tính cấp một thuần nhất, tương ứng phương trình trên.
Nếu tồn tại x sao cho q(x) 6= 0 thì phương trình được gọi là khơng thuần nhất.
Phương trình vi phân cấp 1 trên đây được gọi là "tuyến tính" vì vế trái của nó là một tổ hợp tuyến tính của y vày0, vế phải khơng chứa y, y0.
Tính chất.
1) Nếu y¯ là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và yˆ là một nghiệm riêng nào đó của phương trình khơng thuần nhất thì y = ¯y+ ˆy là nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất.
2) (Nguyên lý chồng chất nghiệm) Nếu yˆ1 là một nghiệm riêng của y0 +
p(x)y =q1(x)vàyˆ2là một nghiệm riêng củay0+p(x)y=q2(x)thìyˆ= ˆy1+ ˆy2 là một nghiệm riêng của y0+p(x)y=q1(x) +q2(x).
Chứng minh. 1) y0 +p(x)y = (¯y+ ˆy)0+p(x)(¯y+ ˆy) = (¯y0+p(x)¯y) + (ˆy0+
2) yˆ0+p(x)ˆy= (ˆy1+ ˆy2)0+p(x)(ˆy1+ ˆy2) = (ˆy10 +p(x)ˆy1) + (ˆy02+p(x)ˆy2) =
q1(x) +q2(x).
Phương pháp biến thiên hằng số.
Khi việc tìm một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất là khó thì việc tìm nghiệm tổng qt của phương trình này có thể thực hiện theo phương pháp "biến thiên hằng số" như dưới đây:
Bước 1. Tìm nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:y0+p(x)y= 0.
Định lí 9.2 Nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất y0 +p(x)y = 0
là y=Ce−Rp(x)dx, trong đó C là hằng số tuỳ ý. Chứng minh. y0+p(x)y= 0⇔ y = 0 dy y = −p(x)dx. ⇔ y = 0 ln|y|= −R p(x)dx+D ⇔ y= 0 y= ±eDe−Rp(x)dx ⇔y=Ce−Rp(x)dx(C - hằng số tuỳ ý). Lưu ý rằng, phương trình vi phân cấp 1 chỉ có một hằng số tự do. Vì vậy, khơng cần cộng thêm hằng số thứ hai sau tích phân ở biểu thức mũ. Quả vậy, nếu cộng vào hằng số C2 ở tích phân, cơng thức nghiệm tổng qt vẫn khơng đổi:
y=C1e−Rp(x)dx+C2 =C1eC2e−Rp(x)dx=Ce−Rp(x)dx(vớiC =C1eC2).
Bước 2. (Biến thiên hằng số) Ta làm như sau: Ở nghiệm tổng quát là y =
Ce−Rp(x)dx của phương trình thuần nhất, ta coi C là một hàm của x (C =
C(x), nghĩa là cho rằng C0 6≡0), khi đó
y0 =e−Rp(x)dxC0 −p(x)e−Rp(x)dxC.
Thay vào phương trình: y0 +p(x)y = q(x), ước lược hai số hạng trái dấu (luôn xảy ra) ta được
C0 =q(x)eRp(x)dx
⇔C =
Z
Thay C vừa tìm được vào nghiệm tổng qt của phương trình thuần nhất, ta có nghiệm tổng qt của phương trình khơng thuần nhất:
y= Z q(x)e R p(x)dx dx+D e− R p(x)dx , (D là hằng số tuỳ ý). Ví dụ 9.13 Giải phương trình y0− 1 xy =−x
Lời giải. Đầu tiên, ta giải phương trình thuần nhất: dy dx − y
x = 0, được nghiệm tổng quát là y=Cx.
Biến thiên hằng số: Ở nghiệm tổng quát trên, coi C = C(x), lấy đạo hàm hai vế, ta được
y0 =xC0+C. Thay vào phương trình khơng thuần nhất, ta có
xC0 =−x⇔C0 =−1⇔C =−x+D.
Thay C tìm được vào y = Cx, được nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất là y= (−x+D)x.
Ví dụ 9.14 Giải phương trình y0+ 2
xy= sinx. Lời giải. Phương trình thuần nhất dy
dx + 2 xy = 0 có nghiệm tổng quát là y=Ce R −2 x dx = C x2.
Biến thiên hằng số: Ở nghiệm tổng quát trên, coi C = C(x), lấy đạo hàm hai vế, ta được
y0 = C
0
x2 − 2C
Thay vào phương trình khơng thuần nhất, ta có
C0 =x2sinx⇔C =D−x2cosx+ 2xsinx+ 2 cosx. Thay C tìm được vào y = C
x2, được nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất lày = C
D−2 cosx+ 2 sinx+ 2 cosx (D là hằng số tùy ý). Ví dụ 9.15 Giải phương trình
2ydx+ (y2−2x)dy= 0.
Lời giải. Đầu tiên, ta thấy y= 0 là một nghiệm của phương trình. Trường hợp cịn lại ta đưa phương trình về dạng tuyến tính cấp một với biến độc lập lày, biến hàm là x:
dx dy − 1
yx=−y
2.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là x=Cy.
Coi C là hàm củay: C =C(y).
Lấy đạo hàm củax theo y, ta được dx dy =y
dC
dy +C. Thay vào phương trình khơng thuần nhất, ta có
C =−1
2y+C.
Vậy nghiệm tổng qt của phương trình khơng thuần nhất làx=Cy− y
2
2 .
Giải phương trình tuyến tính cấp một hệ số hằng bằng phương pháp chọn (phương pháp hệ số bất định).
Xét phương trình y0+py =q(x) trong đó plà hằng số. Phương trình thuần nhất của nó là:y0+py = 0.
Phương trình đại số sau đây gọi là phương trình đặc trưng của hai phương trình trên λ+p= 0 ⇔λ=−p.
Phương trình đặc trưng, nghiệm tổng quát:
Tìm nghiệm ở dạng y = eλx, ta có y0 = λeλx. Thay y, y0 vào phương trình thuần nhất, ta được
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (kí hiệu bởi y) l௠¯
y=Ceλx=Ce−px.
Tiếp theo, để tìm nghiệm tổng qt của phương trình khơng thuần nhất ngồi "phương pháp biến thiên hằng số", ta cịn có phương pháp tìm một nghiệm riêng y, gọi là "phương pháp chọn". Việc tìm một nghiệm riêngˆ yˆ
nào đó của phương trình khơng thuần nhất là có thể trong hai trường hợp sau:
Trường hợp 1. f(x) =Pn(x)eαx (Pn(x) là đa thức bậc n của x).
Định lí 9.3 Có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất trên ở dạng
ˆ
y=
(
Qn(x)eαx nếu α6=−p(α khơng là nghiệm phương trình đặc trưng).
xQn(x)eαx nếu α=−p(α là nghiệm của phương trình đặc trưng).
Ở đây, Qn(x) là đa thức bậc n của x, hệ số chưa xác định. Trường hợp 2. f(x) =eαx[Pm(x) cosx+Qn(x) sinx].
Định lí 9.4 Có thể tìm một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất trên ở dạng
ˆ
y=eαx[Rl(x) cosx+Sl(x) sinx],
trong đó l = max{m, n} và Rl(x), Sl(x) là các đa thức bậc l của x, hệ số
chưa xác định.
Hướng chứng minh. Người ta chỉ ra được rằng với dạng của nghiệm riêng như vậy, hệ phương trình để tìm các hệ số của các đa thứcQn(x), Rl(x), Sl(x) ln là hệ Cramer.
Ví dụ 9.16 Giải phương trình vi phân
y0−3y=e2x(3x+ 4).
Lời giải. Ở đây:α = 2; Pn(x) = 3x+ 4 (đa thức bậc 1). Phương trình thuần nhất: y0−3y= 0
Phương trình đặc trưng: λ−3 = 0 ⇔λ= 3 (6= 2).
Tìm một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất ở dạng:
ˆ
y=e2x(Ax+B).
Lấy đạo hàm:yˆ0 =e2x(2Ax+A+ 2B).
Thay y,ˆ yˆ0 vào phương trình khơng thuần nhất, ta có e2x[−Ax+ (A−B)] = e2x(3x+ 4).
Giản ướce2x, so sánh các hệ số của x, ta có ( −A= 3 A−B = 4 ⇔ ( A=−3 B =−7. Vậy,yˆ=e2x(−3x−7).
Nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất lày = ¯y+ ˆy hay: y=Ce3x−e2x(3x+ 7).
Ví dụ 9.17 Giải phương trình vi phân
y0+y=e−x(3x2+ 4).
Lời giải. Ở đây:α=−1; Pn(x) = 3x2 + 4 (đa thức bậc 2). Phương trình thuần nhất:y0 +y= 0
Phương trình đặc trưng: λ+ 1 = 0⇔λ=−1 (α =−1).
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: y¯=Ce−x.
Do α = −1 là nghiệm của phương trình đặc trưng nên ta tìm một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất ở dạng:
ˆ
y=e−x(Ax2 +Bx+C)x=e−x(Ax3+Bx2+Cx).
Lấy đạo hàm:yˆ0 =e−x[−Ax3+ (3A−B)x2 + (2B−C)x+C]. Thay y,ˆ yˆ0 vào phương trình khơng thuần nhất, ta có
e−x(3Ax2+ 2Bx+C) = e−x(3x2 + 4).
Giản ướce−x, so sánh các hệ số của x, ta có 3A= 3 2B = 0 C= 4 ⇔ A= 1 B = 0 C = 4. Vậy,yˆ=e−x(x3+ 4x).
Nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất là y= ¯y+ ˆy hay: y=Ce−x−e−x(x3+ 4x).
Ví dụ 9.18 Giải phương trình vi phân
y0+ 2y= 5xcosx+ 2 sinx (= e0x(5xcosx+ 2 sinx)). Lời giải. Ở đây:α = 0; Pm(x) = 5x (bậc 1), Qn(x) = 2 (bậc 0). Phương trình thuần nhất: y0+ 2y= 0
Phương trình đặc trưng: λ+ 2 = 0⇔λ=−2.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: y¯=Ce−2x.
Tìm một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất ở dạng:
ˆ
y= (ax+b) cosx+ (cx+d) sinx.
Lấy đạo hàm:yˆ0 = (cx+a+d) cosx+ (−ax−b+c) sinx. Thay y,ˆ yˆ0 vào phương trình khơng thuần nhất, ta có
[(2a+c)x+(a+2b+d)] cosx+[(−a+2c)x+(−b+c+2d)] sinx= 5xcosx+2 sinx. So sánh các hệ số của sinx, cosx, ta có
( (2a+c)x+ (a+ 2b+d) = 5x+ 0 (−a+ 2c)x+ (−b+c+ 2d) = 0x+ 2. Tiếp tục, so sánh các hệ số của x, ta có 2a+c= 5 a+ 2b+d= 0 −a+ 2c= 0 −b+c+ 2d= 2 ⇔ a= 2 b=−1 c= 1 d= 0.
Vậy,yˆ= (2x−1) cosx+xsinx.
Nghiệm tổng quát của phương trình khơng thuần nhất là y= ¯y+ ˆy hay: y=Ce−2x+ (2x−1) cosx+xsinx.
Lưu ý rằng, khi vế phải của phương trình khơng có một trong hai dạng trên thì nói chung ta chưa biết dạng của nghiệm riêng, việc tìm một nghiệm riêng vì thế sẽ là khó.