Phương trình vi phân
9.2.1 Giới thiệu chung về phương trình vi phân cấp một
dấu vi phân.
Mức độ cụ thể của từng lời giải không những phụ thuộc vào yêu cầu của đầu bài mà cịn phụ thuộc vào khả năng mơ tả chính lời giải đó. Tùy theo từng bài cụ thể, lời giải có thể được cho một cách tường minh qua khái niệm nghiệm tổng quát hoặc nghiệm riêng hoặc được cho dưới dạng hàm ẩn qua khái niệm tích phân tổng quát và tích phân riêng. Các tên gọi này sẽ được nói rõ cho phương trình vi phân cấp 1 và cấp 2 ở mục sau.
Ví dụ 9.2 Xét hệ thức y” = 2x. Đây là một phương trình vi phân cấp hai. Ta đưa về hệ thức tương đương bằng cách lấy tích phân hai vế:
y” = 2x⇔y0 =x2+C1 ⇔y= 13x3+C1x+C2,trong đó(C1, C2 là hai hằng số tuỳ ý. Phương trình trên đã được giải.
Ví dụ 9.3 Phương trình vi phâny0 = sinx2tương đương vớiy=R sinx2dx+ C.Mặc dù tích phân tồn tại nhưng khơng thể biểu diễn qua các hàm sơ cấp. Trong trường hợp này, phương trình vi phân trên vẫn được coi là đã giải xong.
Chú ý 9.1 Việc coi x là biến độc lập, y là biến phụ thuộc chỉ là theo thói quen (và sự tiện lợi). Nói chung x và y có thể đổi vai trị cho nhau. Chẳng hạn trong phương trình xdx+ydy = 0hai biến này là hồn tồn bình đẳng. Lời giải của phương trình này là như sau: xdx+ydy = 0 ⇔ d(x2 +y2) = 0⇔x2+y2 =C trong đóC là hằng số khơng âm tùy ý. Nếu muốn lấy C là hằng số tùy ý thì có thể viết nghiệm tổng qt như sau x2+y2 =C2.
9.2 Phương trình vi phân cấp một
9.2.1 Giới thiệu chung về phương trình vi phân cấpmột một
Dạng biểu diễn.
Phương trình vi phân cấp một dạng tổng quát làF(x, y, y0) = 0.
Phương trình vi phân cấp một giải được đối với đạo hàm như dưới đây được gọi là phương trình vi phân cấp một dạng chính tắc:
y0 =f(x, y) hay dy
dx =f(x, y).
f(x, y) là hàm hai biến, xác định trong miền Dnào đó thuộc mặt phẳng toạ độOxy.
Phương trình vi phân cấp một có thể được cho với biếnx, biến y có vai trị bình đẳng:
f(x, y)dx=g(x, y)dy.
Cần phân biệt, phương trình cuối có thể có nghiệm dạng x = C với C là hằng số trong khi đó phương trình F(x, y, y0)khơng thể có nghiệm như vậy. Kết quả giải một phương trình vi phân cấp một.
Định nghĩa 9.2 1) Một phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về đẳng thức tương đương dạng y = ϕ(x, C), trong đó C là hằng số tự do thì ta nói
y=ϕ(x, C) là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trên.
2) Nếu từ nghiệm tổng quát y =ϕ(x, C) hằng số C nhận giá trị cụ thể nào đó, chẳng hạn C =C0 thì hàm sốy=ϕ(x, C0)được gọi là một nghiệm riêng của phương trình vi phân trên.
3) Một phương trình vi phân cấp 1 có thể đưa về đẳng thức tương đương dạng
ϕ(x, y, C) = 0, trong đó C là hằng số tự do thì ta nói ϕ(x, y, C) = 0 là tích phân tổng qt của phương trình vi phân trên.
4) Nếu từ tích phân tổng quát ϕ(x, y, C) = 0 lấy hằng số cụ thể C =C0 thì đẳng thức ϕ(x, y, C0) = 0 được gọi là một tích phân riêng của phương trình vi phân trên.
Lưu ý rằng, phương trình có thể có những nghiệm cá biệt, khơng bao hàm trong nghiệm tổng quát với bất kì hằng số C cụ thể nào. Phương trình của mỗi nghiệm ứng với một đường cong trong hệ tọa độ xOy, vì thế nhiều khi ta còn gọi mỗi nghiệm là một đường cong tích phân.
Ví dụ 9.4 1) Phương trìnhy0 = 2√
y có nghiệm tổng quát lày= (x+C)2. Nghiệm y= 0 không chứa trong nghiệm tổng qt.
2) Phương trình(y0)2−(x+ 1)y0+x= 0 có các nghiệm thuộc hai họ đường cong, được cho bởi hai công thức nghiệm tổng quát dưới đây:y =x+C và y= 12x2 +C.
3) Phương trình (ey + cosy)dy = (2x+ 1
1 +x2)dx có nghiệm được cho bởi tích phân tổng quát (họ các đẳng thức) sauey+ siny=x2+ arctanx+C(C
là hằng số tuỳ ý). Việc tìm quan hệ hàm ở dạng y =y(x) hay x = x(y) từ đây là khó và khơng cần thiết.
4) Phương trình(x−1)dy= (x2−1)dxcó một nghiệm cá biệtx= 1 và một họ đường cong được cho bởi nghiệm tổng quáty= x22 +x+C(C là hằng số tuỳ ý).
5) Phương trình y0 =df racexx có tích phân tổng qt là y=R
Tích phân này tồn tại nhưng khơng biểu diễn được bằng các hàm sơ cấp. Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm.
Định lí 9.1 Cho phương trình vi phân cấp một dạng chính tắc:y0 =f(x, y).
Nếu hàm f(x, y) liên tục trong miền mở D nào đó có chứa điểm (x0, y0) thì tồn tại một nghiệm y =y(x) của phương trình đó, sao cho y0 =y(x0). Nếu
đạo hàm riêng fy0(x;y) cũng liên tục trên D thì nghiệm đó là duy nhất.
Điều kiện y0 =y(x0) gọi là điều kiện ban đầu. Điều kiện ban đầu trên cũng thường được viết như sauy|x=x0 =y0.Thơng thường, nghiệm riêng hoặc tích phân riêng được xác định từ điều kiện ban đầu.