Phương trình sai phân
10.3.2 Phương trình khơng thuần nhất
Xét phương trình
ax(n+ 2) +bx(n+ 1) +cx(n) = f(n). (10.17) trong đóa, b, clà các hằng số vàac6= 0. Phương trình thuần nhất tương ứng
là
ax(n+ 2) +bx(n+ 1) +cx(n) = 0. (10.18) Phương trình đặc trưng là
aλ2+bλ+c= 0. (10.19)
Ta đã biết biểu thức nghiệm tổng quát x(n)¯ của phương trình thuần nhất tuỳ theo các trường hợp nghiệm của phương trình đặc trưng. Ta cần tìm một nghiệm riêng của phương trình khơng thuần nhất. Điều đó có thể thực hiện được trong một số trường hợp sau đây
Trường hợp 1.
f(n) =αnPm(n).
Định lí 10.6 Ta có thể tìm nghiệm riêng x(n)ˆ ở dạng
ˆ
x(n) = αnQm(n) nếu α khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng.
ˆ
x(n) = nαnQm(n) nếu α là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng.
ˆ
x(n) = n2αnQm(n) nếu α là nghiệm kép của phương trình đặc trưng.
(Qm(n) là đa thức bậc m, hệ số chưa biết, cần xác định). Trường hợp 2.
f(n) = αn[Pm(n) cosnβ +Ql(n) sinnβ] (sinβ 6= 0).
Định lí 10.7 Ta có thể tìm nghiệm riêng x(n)ˆ ở dạng
ˆ
x(n) = αn[Rh(n) cosnβ+Sh(n) sinnβ]nếu α(cosβ±isinβ) khơng là nghiệm của phương trình đặc trưng.
ˆ
x(n) =nαn[Rh(n) cosnβ+Sh(n) sinnβ] nếu α(cosβ±isinβ) là nghiệm của phương trình đặc trưng, trong đó, h := max{m;l} và Rh(n), Sh(n) là hai đa thức bậc h của n với các hệ số chưa xác định.
Ví dụ 10.12 Giải phương trình
x(n+ 2)−5x(n+ 1) + 4x(n) = 9n2+ 2n+ 3.
Lời giải. Phương trình thuần nhất:
x(n+ 2)−5x(n+ 1) + 4x(n) = 0.
Phương trình đặc trưng:
λ2−5λ+ 4 = 0⇔λ= 1;λ= 4.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là
¯
x(n) =C1+C24n.
Hàm vế phải là f(n) = 1n(9n2+ 2n+ 3). α = 1 là nghiệm đơn của phương trình đặc trưng. Vậy, ta tìm nghiệm riêng dưới dạng:
ˆ x(n) = n(A.n2 +B.n+C) = A.n3+B.n2+C.n. Khi đó: ˆ x(n+ 1) =A.(n+ 1)3+B.(n+ 1)2+C.(n+ 1). ˆ x(n+ 2) =A.(n+ 2)3+B.(n+ 2)2+C.(n+ 2).
Thay x(n); ˆˆ x(n+ 1); ˆx(n+ 2) vào phương trình khơng thuần nhất, ta được:
−9An2−(3A+ 6B)n+ (3A−B −3C) = 9n2+ 2n+ 3.
So sánh các hệ số của n, ta có: −9A = 9 3A+ 6B =−2 3A−B−3C = 3 ⇔ A=−1 B = 1/6 C =−37/18.
Vậy,x(n) =ˆ −n3+n2/6−37n/18.Nghiệm tổng qt của phương trình khơng thuần nhất là
Ví dụ 10.13 Giải phương trình
x(n+ 2)−3x(n+ 1) + 2x(n) = (n−2) cosnπ
2 + (3n+ 3) sin
nπ
2 .
Lời giải. Phương trình thuần nhất:
x(n+ 2)−3x(n+ 1) + 2x(n) = 0.
Phương trình đặc trưng:
λ2−3λ+ 2 = 0⇔λ= 1;λ = 2.
Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất:
¯ x(n) = C1+C22n. Hàm vế phải: f(n) = 1n[P1(n) cosnπ 2 +Q1(n) sin nπ 2 ],
trong đó:1n[cosπ2±isinπ2] =±ikhơng phải là nghiệm của phương trình đặc trưng. Vậy, ta tìm nghiệm riêng dưới dạng
ˆ
x(n) = (nA+B) cosnπ
2 + (nC+D) sin
nπ
2 .
Tínhx(nˆ + 1); ˆx(n+ 2) và thay vào phương trình khơng thuần nhất, so sánh các hệ số củacosnπ2 ; sinnπ2 , ta được
(
−[(n+ 1)A+B]−3[(n+ 1)C+D] + 2(nA+B) =n−1
−[(n+ 2)C+D] + 3[(n+ 1)A+B] + 2(nC+D) =−2
Lại so sánh các hệ số của n, ta được A−3C = 1 3A+C = 3 −2A+B−3C−3D=−2 3A+ 3B−2C+D= 3 ⇔ A= 1 B = 0 C = 0 D= 0. Vậy, x(n) =ˆ ncosnπ
2 và nghiệm tổng quát của phương trình đầu là x(n) = C1+C22n+ncosnπ