Phương trình vi phân
9.2.2 Phương trình cấp một biến số phân l
Dạng.
Phương trình vi phân có dạng dưới đây gọi là phương trình vi phân cấp một có biến phân li:
f(x)dx=g(y)dy.
Các phương trình sau đều có thể đưa về được phương trình có biến phân li: y0 =f(x).g(y)hoặcf1(x)dx+f2(y)dy= 0hoặc
M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy= 0.
Cách giải.
Ta giải phương trình trên bằng cách lấy tích phân hai vế: f(x)dx=g(y)dy⇔
Z
g(y)dy=
Z
f(x)dx.
Chú ý 9.2 Khi lấy tích phân ở trên, ta chỉ cần cộng một hằng sốC vào một vế nào đó là đủ (khơng cần hai hằng số cho hai vế).
Ví dụ 9.5 Cho phương trình vi phân
xdx+ (y+ 1)dy= 0.
a) Tìm tích phân tổng qt.
Lời giải. a) xdx+ (y+ 1)dy= 0 ⇔ Z (y+ 1)dy=− Z xdx⇔y2+ 2y+ 1 +x2 =C(C ≥0, tùy ý). Tích phân tổng quát là y2+ 2y+ 1 +x2 =C(C ≥0).
b) Thay điều kiện ban đầu, ta có22+ 2.2 + 1 + 12 =C ⇔C = 10. Vậy, tích phân riêng cần tìm là
y2+ 2y+ 1 +x2 = 10.
Chú ý 9.3 Nếu hai vế có thừa số chung thì ta thường làm đơn giản phương trình bằng cách chia hai vế cho thừa số chung đó. Tuy nhiên, trong trường hợp đó ta cần xét đến khả năng thừa số đó bằng 0. Nếu khơng, có thể làm
mất đi một số nghiệm của phương trình. Xét phương trình dạng
M(x)N(y)dx+P(x)Q(y)dy = 0.
Nếu N(y) 6= 0, P(x) 6= 0 thì có thể chia cả hai vế cho N(y)P(x) để đưa về phương trình biến số phân ly:
M(x) P(x)dx+
Q(y)
N(y)dy= 0.
Lấy tích phân cả hai vế:
Z M(x)
P(x)dx+
Z Q(y)
N(y)dy=C.
Trường hợpP(x) = 0 hoặcN(y) = 0 ta phải xét riêng: Nếu:P(x) = 0chẳng hạn tại x= a và N(y) = 0 chẳng hạn tại y =b thì bằng cách thử trực tiếp x = a; y = b vào phương trình, xem chúng có là nghiệm của phương trình hay khơng.
Ví dụ 9.6 Giải phương trình
x(1 +y2)dx+y(1 +x2)dy= 0.
Lời giải. Do 1 +x2 6= 0,1 +y2 6= 0, nên ta có
x(1 +y2)dx+y(1 +x2)dy= 0 ⇔ x
1 +x2dx+ y
⇔ Z x 1 +x2dx+ Z y 1 +y2dy=D. Tính tiếp, ta được tích phân tổng quát của phương trình là
(1 +x2)(1 +y2) =C (vớiC =e2D).
Ví dụ 9.7 Giải phương trình
x2(y+ 1)dx+ (x3−1)(y−1)dy= 0.
Lời giải. Thử trực tiếp, ta thấy x = 1; y = −1 cũng là các nghiệm của phương trình.
Khi y+ 1 6= 0, x3−16= 0, chia 2 vế cho (y+ 1)(x3−1), ta có phương trình
x2 x3−1dx+ y−1 y+ 1dy= 0⇔ Z x2 x3−1dx+ Z y−1 y+ 1dy= 0 ⇔ 1 3ln|x3−1|+y−2 ln|y+ 1|=C. Ví dụ 9.8 Giải phương trình
(xy−x)dx+ (xy+x−y−1)dy = 0.
Lời giải.
(xy−x)dx+ (xy+x−y−1)dy = 0⇔x(y−1)dx= (1−x)(y+ 1)dy.
Thử trực tiếp, ta thấyx= 1; y= 1 cũng là các nghiệm của phương trình. Khiy−16= 0, x−16= 0 thì có thể đưa về phương trình biến số phân ly bằng cách chia hai vế cho(y−1)(1−x) và có:
x x−1dx+ y+ 1 y−1dy = 0 ⇔ Z x x−1dx+ Z y+ 1 y−1dy=C ⇔x+ ln|x−1|+y+ 2 ln|y−1|=C.