Phương trình vi phân
9.2.5 Phương trình Bernoull
Định nghĩa 9.3 Phương trình dạng sau đây gọi là phương trình Bernoulli
y0+p(x)y=q(x)yα.
Các hàm p(x), q(x) thường được giả thiết là liên tục. α là một số thực cho trước.
Cách giải.
1. Nếu α= 0 thì phương trình Bernoulli là phương trình tuyến tính cấp 1 (đã biết cách giải).
2. Nếuα = 1thì ta có y0+ [p(x)−q(x)]y= 0. Đây là phương trình tuyến
tính thuần nhất cấp 1 (đã biết cách giải).
3. Nếu α <0 thì chia hai vế của phương trình choyα ta được y−αy0+p(x)y1−α =q(x).
Đặty1−α =z, đưa phương trình về dạng phương trình tuyến tính: z0
1−α +p(x)z =q(x)
⇔z0 + (1−α)p(x)z = (1−α)q(x).
4. Nếu 0< α6= 1 thì ngồi nghiệm như ở 3) cịn có thêm nghiệm y= 0.
Ví dụ 9.19 Giải phương trình: y0 −y = xy2. Tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện ban đầu y|x=0 = 1.
Lời giải. Phương trình có nghiệmy = 0. Trường hợp còn lại, chia hai vế cho
y2, ta được y0y−2−y−1 =x. Đặt z =y−1, ta có z0 =−y−2y0.
Phương trình về dạng z0 +z = −x. Giải phương trình tuyến tính trên ta
được nghiệm tổng quát
z = (ex−xex+C)e−x hay z =Ce−x+ 1−x. Trở lại biến y: y= 1
Ce−x+ 1−x.
quát: Vớix0 = 0, y0 = 1 ta có 1 = 1
C + 1 ⇒C = 0.
Nghiệm thoả mãn điều kiện đã cho là y= 1 1−x. Ví dụ 9.20 Giải phương trình:
y0 + x
1−x2y=x√
y.
Lời giải. Phương trình có nghiệm y= 0. Trường hợp cịn lại, chia hai vế cho
√ y, về phương trình y0 √ y + x 1−x2 √ y =x. Đặt √ y=z, ta được z0+ 1 2 x 1−x2z = 1 2x.
Giải phương trình này, được nghiệm z =h−1 3 4 p (1−x2)3+Ci√4 1−x2. Thay lại biến y, ta có √
y=C√4
1−x2− 1
3(1−x2).
9.3 Phương trình vi phân cấp hai