Phương trình sai phân
10.3.1 Phương trình thuần nhất
Xét phương trình sau với a, b, c là các hằng số và ac6= 0
ax(n+ 2) +bx(n+ 1) +cx(n) = 0. (10.14) Phương trình nghiệm phức sau đây gọi là phương trình đặc trưng của (10.13) aλ2+bλ+c= 0 (ac6= 0). (10.15)
Định lí 10.5 1) Nếu phương trình đặc trưng(10.15)có 2nghiệm thực khác nhau là λ1, λ2 thì nghiệm tổng quát của (10.14) là
¯
2) Nếu (10.15)có 2nghiệm thực trùng nhau là λ1 =λ2 =λ thì nghiệm tổng qt của (10.14) là
¯
x(n) =C1λn+nC2λn.
3) Nếu(10.15) có 2 nghiệm phức liên hợp là u±iv trong đó v 6= 0;u+iv =
r(cosφ+isinφ) thì nghiệm tổng quát của (10.14) là
¯
x(n) =rn(C1cosnφ+C2sinnφ). Ở đâyC1, C2 là các hằng số tuỳ ý.
Chứng minh. 1) Thay xi(n) = (λi)n(i= 1,2)vào (10.14) dễ thấy thỏa mãn. Vậy, x1(n) = (λ1)n và x2(n) = (λ2)n là hai nghiệm của phương trình này. Hơn nữa, doλ1 6=λ2 nên hai nghiệm trên là độc lập tuyến tính (khơng tỷ lệ). Theo tính chất đã biết về tập nghiệm, ta có x(n) =¯ C1λn1 +C2λn2 là nghiệm tổng quát của (10.14).
2) Ý này được chứng minh tương tự ý 1).
3) Thay trực tiếp, ta thấyx1(n) = rn(cosnφ+isinnφ)vàx2(n) =rn(cosnφ− isinnφ)đều là nghiệm của (10.14). Theo tính chất 2) của tập nghiệm ta thấy x3(n) = 12[x1(n) +x2(n)] =rncosnφvàx4(n) = 2i1[x1(n)−x2(n)] =rnsinnφ cũng là nghiệm của (10.14). Hơn nữa, hai nghiệm này độc lập tuyến tính. Vậy,x(n) =¯ rn(C1cosnφ+C2sinnφ) là nghiệm tổng qt của (10.14). Ví dụ 10.11 Cho phương trình
x(n+ 2) + 2x(n+ 1) + 4x(n) = 0. (10.16) 1) Tìm nghiệm tổng quát.
2) Tìm nghiệm riêng thỏa mãn x(0) = 1 và x(1) = 2.
Lời giải. Phương trình đặc trưng: λ2+ 2λ+ 4 = 0⇔λ=−1±i√
3, trong đó: −1 +i√ 3 = 2(cos2π 3 +isin 2π 3 ).
1) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
¯
x(n) = 2n(C1cosn2π
3 +C2sinn 2π
3 ).
2) Thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát ta được: 1 =C1cos 0 +C2sin 0 2 =C1cos2π 3 +C2sin 2π 3 ⇔ C1 = 1 C2 = 5 √ 3 3 .
Vậy nghiệm riêng cần tìm là x(n) = 2n(cosn2π 3 + 5√ 3 3 sinn 2π 3 ).