Giáo trình toán cao cấp phần 2

93 Chƣơng 3 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1 1 Hàm số hai biến số 1 1 1 Khái niệm hàm số hai biến số Khái niệm hàm số một biến số phản ánh sự phụ thuộc hàm số của một biến số này vào một[.]

Chƣơng HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Hàm số hai biến số 1.1.1 Khái niệm hàm số hai biến số Khái niệm hàm số biến số phản ánh phụ thuộc hàm số biến số vào biến số khác: giá trị biến độc lập đƣợc đặt tƣơng ứng với giá trị xác định biến phụ thuộc Trong thực tế, nhiều biến số phụ thuộc khơng vào một, mà cịn phụ thuộc đồng thời vào nhiều biến số khác Chẳng hạn, sản lƣợng, tức số lƣợng sản phẩm hãng sản xuất phụ thuộc vào mức sử dụng yếu tố đầu vào (gọi yếu tố sản xuất) nhƣ lao động, vốn v.v Khái niệm hàm số nhiều biến số phản ánh phụ thuộc hàm số biến số vào n biến số khác Để cho đơn giản, trƣớc hết ta đề cập đến trƣờng hợp n = Định nghĩa Ta gọi biến w hàm số biến số x y nếu, theo quy luật f, cặp số thực (x,y) có thứ tự, gồm giá trị biến x với giá trị biến y, đƣợc đặt tƣơng ứng với giá trị xác định biến w: f : (x, y)  w Để biểu diễn phụ thuộc hàm số biến w vào biến x y ta dùng ký hiệu w = f(x, y), chữ f đặc trƣng cho quy luật tƣơng ứng nêu định nghĩa Các biến số x, y đƣợc gọi biến độc lập, hay đối số hàm số Khi nói đến hàm số khác ta dùng kí hiệu khác nhau: w = g(x, y), w = h(x, y), … Việc thiết lập hệ tọa độ mặt phẳng cho phép ta đồng cặp số thực có thứ tự (x , y0 ) với điểm M0(x0, y0) mặt phẳng Theo quan điểm này, cặp biến số (x, y) đƣợc xem nhƣ biến điểm M(x, y) mặt phẳng hàm hai biến w = f(x, y) đƣợc xem nhƣ hàm số biến điểm M Ta đồng cách ký hiệu: w = f(x, y) w = f(M) 93 1.1.2 Miền xác định miền giá trị Miền xác định (MXĐ) hàm biến w = f(x, y) tập hợp tất cặp số thực (x,y) mà biến độc lập x y nhận đồng thời Nếu biểu diễn hình học tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ Khi cho hàm số cụ thể ngƣời ta thƣờng cho trƣớc MXĐ rõ luật tƣơng ứng để biết giá trị x với giá trị y ta xác định đƣợc giá trị tƣơng ứng biến w Tuy nhiên, xét túy dƣới giác độ toán học, ngƣời ta thƣờng cho hàm số biến x, y dƣới dạng biểu thức f(x, y) không rõ MXĐ Trong trƣờng hợp ta coi MXĐ hàm số MXĐ tự nhiên biểu thức f(x, y), tức tập hợp tất cặp số thực (x, y) làm cho biểu thức có nghĩa Ví dụ 3.1 MXĐ tự nhiên hàm số w = y  x tập hợp tất điểm M(x, y) thỏa mãn điều kiện y  x Về mặt hình học, nửa mặt phẳng phía đƣờng thẳng y = x, kể đƣờng thẳng Ví dụ 3.2 MXĐ tự nhiên hàm số w = ln(4 − x2 − y2) tập hợp tất điểm M(x, y) với x2 + y2 < Đó hình trịn có tâm gốc tọa độ bán kính r = (khơng kể điểm đƣờng trịn) Chú thích Tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp hàm biến, ta dùng kí hiệu f(xo, yo) để giá trị tƣơng ứng hàm hai biến w = f(x, y) gán x = xo, y = yo Ta gọi f(xo, yo) giá trị hàm số điểm Mo(xo, yo) dùng kí hiệu f(Mo) để thay Miền giá trị (MGT) hàm số w = f(x, y) tập hợp tất giá trị hàm số điểm M(x, y) thay đổi MXĐ Đồ thị hàm biến Để biểu diễn hình học quan hệ hàm số w = f(x, y) không gian chiều, ta dùng hệ tọa độ vng góc gồm trục số Ox, Oy, Oz đơi vng góc có gốc tọa độ O Miền xác định D hàm số w = f(x, y) tập hợp điểm mặt phẳng (Oxy) Theo quy tắc tƣơng ứng hàm số, điểm M(x, y)  D cho tƣơng ứng điểm P( x, y, z) không gian với cao độ z = f( x, y) Tập hợp tất điểm 94 P( x, y, z) , điểm M(x, y) thay đổi miền D, đƣợc gọi đồ thị hàm số w = f(x, y) Đồ thị thƣờng mặt cong khơng gian chiều Oxyz Ví dụ 3.3 Đồ thị hàm số w =  x  y2 nửa mặt cầu có tâm gốc tọa độ bán kính R = Đường mức Cho w = f(x, y) hàm số xác định miền D Với wo giá trị cố định thuộc tập giá trị hàm w, ta xét tập hợp tất điểm (x,y)  D thỏa mãn điều kiện f(x, y) = wo Thông thƣờng tập hợp điểm đƣờng mặt phẳng (Oxy), đƣợc gọi đường mức hàm số w = f(x,y) Nhƣ vậy, đƣờng mức hàm số w f(x,y) đƣờng mặt phẳng (Oxy) mà dọc theo hàm số nhận giá trị khơng đổi Ví dụ 3.4 Các đƣờng mức hàm số w = 2x + 3y đƣờng thẳng song song 2x + 3y = C (C số) 1.2 Hàm số n biến số Khái niệm hàm số hai biến số nói khái quát hóa thành định nghĩa tổng quát sau: Định nghĩa Biến w đƣợc gọi hàm số n biến độc lập x1, x2, , xn nếu, theo quy luật f định, n số thực có thứ tự (x1, x2, , xn), số giá trị gán cho biến số có ký hiệu, đƣợc đặt tƣơng ứng với giá trị xác định biến w: f: (x1, x2, , xn)  w Để diễn đạt phụ thuộc hàm số biến số w vào biến x1, x2, , xn ta dùng ký hiệu w = f(x1, x2, , xn) (1) Các khái niệm MXĐ, MGT, đồ thị đƣờng mức đƣợc hiểu theo nghĩa tƣơng tự nhƣ định nghĩa cho hàm số biến số 95 Khái quát hóa cách biểu diễn theo tọa độ điểm mặt phẳng không gian chiều, ta gọi số thực có thứ tự (x1, x2, , xn) điểm n chiều viết M(x1, x2, , xn) Theo quan niệm n biến số thứ tự (x1, x2,, , xn) xem nhƣ biến điểm n chiều M Khi gán cho biến số x1, x2, , xn, giá trị số ta đƣợc điểm n chiều M Hàm số n biến số w = f(x1, x2, ,xn) xem nhƣ hàm số biến điểm M(x1, x2, , xn) ta dùng ký hiệu w = f(M) GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 2.1 Giới hạn hàm số hai biến số 2.1.1 Giới hạn dãy điểm mặt phẳng Nhƣ ta biết, khoảng cách hai điểm M(x, y) M'(x', y') mặt phẳng tọa độ đƣợc xác định theo công thức d(M, M') = (x ' x)2  (y ' y)2 (2) Giả sử, theo quy tắc định, số tự nhiên k đƣợc đặt tƣơng ứng với điểm Mk(xk, yk) định mặt phẳng Khi ta có dãy điểm: { M1(x1, y2), M2(x2, y2), , Mk(xk, yk), } Định nghĩa Nếu tồn điểm cố định A(a, b) cho lim d(Mk, A) = ta nói dãy k  Mk  hội tụ đến điểm A, hay điểm A giới hạn dãy điểm Mk  k   ký hiệu nhƣ sau: lim Mk  A k  hay Mk  A k   Dựa vào công thức xác định khoảng cách (2) ta dễ dàng chứng minh: Định lý Dãy điểm Mk(xk, yk) hội tụ đến điểm A(a, b) lim x k  a lim yk  b k  96 k  Ví dụ 3.6   k  Để tìm giới hạn dãy điểm M k  ,   ta tính giới hạn dãy số   k k   1  k   x k   ,  yk  : k  k  1  lim x k  lim k  k   0, k lim y k  lim k  k  k 1 k 1 1 k  Vậy Mk  ,   A  0,1 k    k k 1  2.1.2 Giới hạn hàm số Cho hàm số w = f(x, y) = f(M) xác định miền D Giả sử A(a, b) điểm cố định mặt phẳng cho tồn dãy điểm Mk  x k , yk  miền D hội tụ đến điểm A (điểm A thuộc miền D không) Lý thuyết giới hạn xem xét diễn biến biến phụ thuộc w điểm M(x, y) thay đổi miền D tiến dần đến điểm A, tức thu hẹp cách tùy ý khoảng cách từ điểm M đến điểm A (với giả thiết M  A) Quá trình đƣợc ký hiệu là: MA hay x  a, y  b Theo quy luật hàm số, dãy điểm { M1  x1 ,y1  , M2  x ,y2  , , Mk  x k ,yk  , } (3) cho tƣơng ứng dãy số { w1 = f(M1), w2 = (M2), , wk = f(Mk), } (4) Dãy số (4) dãy giá trị hàm số w = f(x,y) = f(M) tƣơng ứng với dãy điểm (3) lấy từ miền xác định D Định nghĩa Nếu với dãy điểm (3) lấy từ miền xác định D hàm số w = f(x, y) hội tụ đến điểm A(a, b), dãy số (4) tƣơng ứng ln ln có giới hạn L số L đƣợc gọi giới hạn hàm số cho M  A (hay x  a, y  b) ký hiệu nhƣ sau: lim f (M)  L, M A lim f (x, y)  L x a y b 97 Ví dụ 3.7 Sử dụng định nghĩa, chứng minh giới hạn: lim  3x  y   1 x 1 y 2 Thật vậy, f(x, y) = 3x − y2, a = 1, b = Lấy điểm Mk (xk, yk)  A(1, 2), ta có: lim x k  1, lim yk  k  k  Do lim f (Mk )  lim  3x k  yk2   1 k  k  2.1.3 Giới hạn bội giới hạn lặp Giới hạn theo định nghĩa đƣợc gọi giới hạn bội giới hạn kép (các trình x  a, y  b diễn đồng thời, khơng phụ thuộc lẫn nhau) Ngồi giới hạn bội, ngƣời ta xét giới hạn lặp theo cách thức nhƣ sau: Với y  b cố định, ta tính trƣớc giới hạn lim f (x, y)  (y), sau tính tiếp giới x a hạn lim (y)  E Trong trƣờng hợp ta viết y b lim lim f  x, y   E y  b x a Tƣơng tự, ký hiệu limlimf (x, y)  F có nghĩa x a y  b lim f (x, y)  (x) y b lim (x)  F x a Nói chung giới hạn bội L giới hạn lặp E, F khác nhau, chí giới hạn lặp E F thƣờng khác Ví dụ 3.8 Xét hàm số f(x, y) = x  xy x  y2 Dễ dàng thấy x  0, y  hàm số cho khơng có giới hạn kép Thật    1    vậy, lấy hai dãy điểm: M k  ,   M 'k  ,   hội tụ đến điểm A(0, 0)  k k   k k    98 1  2 k 1 ta có lim f (M k )  lim k k  k  1  2 k k  2    k  với dãy M 'k  ,   ta có lim f (M 'k )  lim k k  k   k k    k k Các giới hạn lặp trƣờng hợp khác nhau:   1  Với dãy M k  ,    k k   (y)  limf (x, y)   y    limlimf (x, y)  lim (y)  0; x 0 y 0 x 0 y0 (x)  limf (x, y)   x    limlimf (x, y)  lim (x)  x 0 x 0 y 0 x 0 2.2 Giới hạn hàm số n biến số 2.2.1 Sự hội tụ dãy điểm không gian n chiều Tập hợp tất điểm M(x, y) mặt phẳng với quan niệm khoảng cách xác định theo công thức (1) đƣợc gọi không gian R2 Một cách tổng quát, ta gọi không gian Euclide n chiều (ký hiệu Rn) tập hợp tất điểm n chiều, khoảng cách điểm M(x1, x2, ,xn) M'(x'1, x'2, , x'n) đƣợc xác định theo công thức n d(M, M') =  (x i 1 i  x i, ) (5) Dễ dàng kiểm nghiệm khoảng cách xác định theo công thức (5) thỏa mãn tính chất quen biết hình học phẳng hình học khơng gian: a) b) c) d) d(M, M')  d(M, M') = M = M', tức xi = x'i với i = 1, , n d(M, M') = d(M', M) d(M, M') + d(M', M")  d(M, M") Khái niệm giới hạn dãy điểm n chiều đƣợc định nghĩa hoàn toàn tƣơng tự nhƣ mặt phẳng Ta nói dãy điểm Mk  x1k ' x 2k ' x nk  : k  1, 2,3,  hội tụ đến điểm A (a1, a2, , an), hay điểm A điểm giới hạn dãy điểm Mk  k   lim d  M k , A   k  99 2.2.2 Giới hạn hàm số Khái niệm giới hạn hàm số biến số mà ta định nghĩa đƣợc chuyển tổng quát cho trƣờng hợp hàm số n biến số cách thay biến điểm chiều M(x, y) biến điểm n chiều M(x1, x2, , xn) thay điểm A(a, b) điểm A(a1, a2, , an) Hai ký hiệu sau đƣợc sử dụng với nghĩa nhƣ nhau: lim f (M)  L M A lim f (x1 , x , , x n )  L x1 a1 x a x n a n Chú thích Áp dụng định nghĩa giới hạn hàm số n biến cho trƣờng hợp n = ta có định nghĩa quen thuộc giới hạn hàm biến Sự tƣơng hợp khái niệm cho phép ta thiết lập định lý tƣơng tự giới hạn biết lý thuyết hàm số biến số Các quy tắc tính giới hạn (giới hạn tổng, tích, thƣơng., .) hàm biến số áp dụng cho hàm số với số biến số 2.3 Hàm số liên tục Khái niệm hàm số liên tục nhiều biến số đƣợc định nghĩa tƣơng tự nhƣ trƣờng hợp hàm số biến Định nghĩa Hàm số w = f(x1, x2, , xn) đƣợc gọi liên tục điểm M  x1 , x , , x n  xác định M lân cận điểm M thỏa mãn: lim f (x 1, x , , x n )  f (x1 , x , x n ) x1  x1 x2 x2 xn x n Nếu hàm số w = f(x1, x2, ,xn) liên tục điểm thuộc miền D  Rn ta nói liên tục miền Một hàm số khơng liên tục đƣợc gọi hàm gián đoạn Các định lý hàm số liên tục biến số đƣợc áp dụng tƣơng tự cho hàm số với số biến số Chẳng hạn, định lý tổng, tích, thƣơng hàm số liên tục có nội dung nhƣ sau: 100 Định lý Nếu hàm số f(M) g(M) biến điểm n chiều M(x1, x2, ,xn) liên tục điểm M  x1 , x , , x n  thì: (i) Các hàm số f(M) + g(M), f(M) − g(M), f(M).g(M) liên tục điểm M (ii) Với giả thiết g(M)  hàm số f (M) liên tục điểm M g(M) ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN 3.1 Đạo hàm riêng Để đơn giản, trƣớc tiên ta xét hàm biến z = f(x, y) xác định điểm M0(x0, y0) lân cận M0 Khi ta cố định biến, chẳng hạn cố định y = y0, hàm số đƣợc coi nhƣ hàm biến x ta xây dựng đạo hàm tƣơng tự nhƣ đạo hàm hàm biến, theo bƣớc: Định nghĩa a Cố định y = y0 Bƣớc Cho x0 số gia ∆x (đủ nhỏ để điểm M(x0 + ∆x, y0) thuộc lân cận điểm M0) Bƣớc Số gia tƣơng ứng hàm số f(M) – f(M0) = f(x0 + ∆x, y0) – f(x0, y0) đƣợc gọi số gia riêng theo biến x hàm z M0, kí hiệu ∆xf Bƣớc Lập tỉ số x f x xf , giới hạn tồn hữu hạn, ta gọi đạo hàm riêng x 0 x hàm z theo biến x, kí hiệu là: Bƣớc Tìm lim x f f  fx' (M0 )  (M0 ) x 0 x x lim b Tƣơng tự, cố định x = x0, ta có đạo hảm riêng theo biến y hàm z M0: lim y 0 yf y  lim y 0 f(x0 , y0  y)  f(x0 , y0 ) f  fy' (M0 )  (M0 ) y y 101 Ý nghĩa hình học đạo hàm riêng: fx' (M0 ) hệ số góc tiếp tuyến với đƣờng cong giao tuyến mặt cong đồ thị với mặt phẳng y = y0 Tƣơng tự với fy' (M0 ) ● Tổng quát cho hàm n biến Tƣơng tự nhƣ trên, ta định nghĩa tổng quát đạo hàm riêng theo biến xi hàm n biến f điểm (M0): f(x10 , ,x0i  x i , ,x0n )  f(x10 , ,x0i , ,x0n ) f (x1 , ,x0n )  fx' i (x10 , ,x0n )  lim xi 0 x i xi Ví dụ 3.10 Tìm đạo hàm riêng hàm số w = x3+ 2x2y + y2 Xem w nhƣ hàm số biến x y số, ta dễ dàng tính đạo hàm riêng theo x: w'x = w  3x  4xy x Tƣơng tự, xem w hàm số biến y x số, ta có w'y = w  2x  2y y Ví dụ 3.11 Tìm đạo hàm riêng hàm biến số w = x2siny + y3cosz + z4 Hàm số có đạo hàm riêng: w w  2x sin y,  x cos y  3y cos z, x y w   y3 sin z  4z z Chú ý Để cho gọn, ta dùng ký hiệu fi để đạo hàm riêng hàm số w = f ' f(x1,x2, ,xn) theo biến xi Vậy fi = f x i = x i Ví dụ 3.12 Tìm đạo hàm riêng hàm biến số w = f(x1, x2, x3, x4) = x1x2 - x 22 x 33  2x x 54 102 Các điểm dừng hàm số đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình:  w 'x  12x  y  3x    '  x  y   w y  1 1 Ta đƣợc điểm dừng: M1(0, 0) M2  ,   3 3 - Điều kiện đủ Ta tính đạo hàm riêng cấp hàm w: w"xx  48x  6, w"xy  w"yx  2, w"yy  Xét điểm M1(0, 0) ta có: a11 = - 6, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = (-6).2 - 22 = -16 < 0, hàm số khơng có cực trị M1 1 1 Tại điểm M  ,   ta có a11 = 10 > 0, a12 = a21 = 2, a22 = 2, D = 20 - > 0, 3 3 hàm số đạt cực trị, a11 = 10 > 0, hàm có cực tiểu điểm M2, wmin = 1 1 w ,    27  3 Trường hợp hàm số n biến số Giả sử M  x1, x , , x n  điểm dừng hàm số w = f(x1, x2, , xn) điểm hàm số có tất đạo hàm riêng cấp liên tục Lập ma trận H vuông cấp n với phần tử đạo hàm riêng cấp hai w điểm dừng M (Ma trận H có tên gọi ma trận Hess hay Hessian)  a11 a12  a a 22 H   21    a n1 a n2 a1n   a 2n    a nn  aij = 2w (x1 , x , , x n )  fij (x1 , x , , x n ) x i x j Với k = 1, 2, , n ta gọi Hk định thức tạo thành từ k dòng đầu k cột đầu ma trận H: 111 a11 a12 a a 22 H k  21 a k1 a k a1k a 2k a kk Các định thức H1, H2,…, Hn đƣợc gọi định thức ma trận H Lƣu ý (Hn = |H| ) Định lý • Nếu Hk > với k = 1, 2, , n hàm số w = f(x1, x2, , xn) đạt giá trị cực tiểu điểm M  x1 , x , , x n  • Nếu (-1)k Hk > với k = 1, 2, , n hàm số w = f(x1, x2, , xn) đạt giá trị cực đại điểm M  x1 , x , , x n  Ví dụ 3.20 Tìm cực trị hàm số y2 z 2 w x   4x y z  x  0, y  0, z   Tính đạo hàm riêng cấp cấp hai: w 'x   w"xx  y2 y z2 2z ' , w   , w 'z   , y 4x 2x y y z2 y2 2z 2 " , w   , w "zz   , yy 2x 2x y y z w"xy  w"yx   y 2z , w "xz  w "zx  0, w "yz  w "zy   2x y ' ' ' Giải hệ phƣơng trình w x  w y  w z = với x > 0, y > 0, z > ta đƣợc nghiệm: x = 1  , y = 1, z = tọa độ điểm dừng M  ,1,1 2  Thay giá trị vào đạo hàm riêng cấp ta có: a11 = 4, a22 = 3, a33 = 6, a12 = a21 = - 2, a13 = a31 = 0, a23 = a32 = -2 112 ... = x2y3 Tính vi phân dz d2z Tính đạo hàm riêng cấp cấp thay vào công thức (11): z''x  2xy3 ; z''y  3x2 y2  dz  2xy3dx  3x2 y2 dy z''''x2  2y3 ; z''''xy  6xy  z''''yx ; z''''y2  6x2 y  d 2z  2y3dx2... a 12 = a21 = 0, a 22 = 12; D = 6. 12 – > 0, hàm số có cực trị; a11 > 0, hàm có cực tiểu, wCT = w(M1) = -6 (-1,-1,6) (1,-1 ,2) • Tại M2(-1, -1): a11 = -6, a 12 = a21 = 0, a 22 = - 12; D = (-6).(- 12) ... = w(M2) = • Tại M3(1, -1): a11 = 6, a 12 = a21 = 0, a 22 = - 12; D = 6.(- 12) – < 0, hàm số khơng có cực trị (-1,1, -2) (1,1,-6) • Tại M4(-1, 1): a11 = -6, a 12 = a21 = 0, a 22 = 12; D = (-6). 12 –