Giáo trình toán cao cấp phần 2 trường đại học nông lâm

Chương Tích phân số ứng dụng Từ Chương 2, ta biết hàm số f (x) khả vi khoảng (a, b) có đạo hàm khoảng (a, b) ta hồn tồn tính đạo hàm hàm số khoảng Một toán đặt cho trước hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) liệu có tồn hàm số F (x) khả vi khoảng (a, b) F (x) = f (x) với x thuộc khoảng (a, b), hàm F (x) tồn ta tìm hàm nào? Chương nhằm trả lời câu hỏi Bên cạnh đó, tìm hiểu số ứng dụng quan trọng toán nhiều lĩnh vực thực tế kinh tế, nông nghiệp số ngành khoa học khác 3.1 Tích phân bất định 3.1.1 Nguyên hàm hàm số Định nghĩa 3.1.1 Nguyên hàm Hàm F (x) gọi nguyên hàm hàm f (x) điểm x thuộc miền xác định f ta có F (x) = f (x) Nếu F (x) nguyên hàm f (x) F (x) + C, với C số nguyên hàm f (x) Ví dụ 3.1.2 Ta có hàm số F (x) = x3 ; G(x) = x3 + 2; H(x) = x3 + 0, nguyên hàm hàm số f (x) = 3x2 đạo hàm chúng 3x2 Định lí 3.1.3 Giả sử F (x) có đạo hàm (a, b) F (x) nguyên hàm f (x) với x Khi đó, ta có khẳng định sau: (1) Với số C, F (x) + C nguyên hàm f (x), ∀x ∈ (a, b) (2) Ngược lại, nguyên hàm f (x), ∀x ∈ (a, b) có dạng F (x) + C 3.1.2 Tích phân bất định Định nghĩa 3.1.4 Nếu f (x) có ngun hàm F (x) có họ nguyên hàm F (x) + C với C số tùy ý họ nguyên hàm gọi tích phân bất định hàm f (x) 56 Z Ký hiệu: Z f (x)dx, đó: dấu tích phân; x biến lấy tích phân; f (x) hàm dấu tích phân; fZ(x)dx biểu thức dấu tích phân Như theo định nghĩa f (x)dx = F (x) + C Z Z Ví dụ 3.1.5 Tính tích phân sau: (a) x dx; (b) !0 Z 6 x x + C + C = x5 Giải: (a) Ta có x5 dx = 6 Z (b) sin xdx = − cos x + C (cos x)0 = sin x sin xdx • Các tính chất tích phân bất định Z 0 Z (1) f (x)dx = f (x); d f (x)dx = f (x)dx; Z Z Z dF (x) dx = F (x)dx = dF (x) = F (x) + C; (2) dF (x) = F (x) + C hay dx Z Z (3) kf (x)dx = k f (x)dx với k số; Z Z Z (4) (f (x) + g(x))dx = f (x)dx + g(x)dx; Z Z (5) Nếu có f (x)dx = F (x) + C u = ϕ(x) f (u)du = F (u) + C • Bảng tích phân bất định số hàm Z Z 0dx = C; 1) Z 2) xα dx = xα+1 +C α+1 9) (α 6= −1); 10) Z dx = ln |x| + C; x Z ax 4) ax dx = + C; ln a Z 5) cos xdx = sin x + C; Z 6) sin xdx = − cos x + C; Z dx 7) = tan x + C; cos2 x Z dx 8) = − cot x + C; sin2 x 3) 11) 12) 13) 14) 15) dx = arctan x + C; + x2 Z dx √ = arcsin x + C; − x2 Z a + x dx + C; = ln a2 − x 2a a − x Z p f (x) p dx = f (x) + C; f (x) Z √ dx √ = ln(x + x2 + a) + C; x2 + a Z dx x = arctan + C; a2 + x a a Z dx x √ = arcsin + C 2 a a −x Chú ý 3.1.6 Từ định nghĩa nguyên hàm ta thấy phép tính đạo hàm phép tính nguyên hàm hai phép tính ngược nên từ bảng đạo hàm số hàm 57 = (F (b) + C) − (F (a) + C) = F (b) − F (a) a a (2) Tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến lấy tích phân mà phụ thuộc vào hàm số dấu tích phân cận lấy tích phân, tức Zb Zb f (x)dx = f (t)dt a a (3) Với định nghĩa tích phân xác định, diện tích A hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f (x) (hàm số liên tục, không âm đoạn [a, b]), trục hoành Zb hai đường thẳng x = a, x = b là: A = f (x)dx a Quay trở lại Ví dụ 3.2.1 ta thấy diện tích miền tam giác Z2 S= 2xdx = x2 = 22 − 02 = 0 Ví dụ 3.2.5 Tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = x2 − 1; trục hoành hai đường thẳng x = 1; x = ! !   Z2 3 x − x = −2 − −1 = · Giải: Ta có S = (x − 1)dx = 3 3 1 • Tính chất tích phân xác định Zb Zb (1) kf (x)dx = k f (x)dx, k ∈ R; a a Zb Zb f (x)dx + (f (x) + g(x))dx = (2) a Zb a g(x)dx; a Zb (3) Với số a < b < c ta có: f (x)dx = a Za Zc f (x)dx + a f (x)dx = 0; (4) a Zb Za f (x)dx = − (5) a Zb f (x)dx b 66 f (x)dx; c 3.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định (a) Phương pháp tính trực tiếp: Sử dụng biến đổi đại số để đưa tích phân cần tính dạng tích phân có ngun hàm Z2 Ví dụ 3.2.6 Tính tích phân Giải: Ta có |2x − 1| = |2x − 1|dx   2x − 1, x≥ ; x< ·  −(2x − 1), Z2 −(2x − 1)dx + |2x − 1|dx = Nên Z2 Z2 0 Z4 Ví dụ 3.2.7 Tính tích phân I =
12
(2x − 1)dx = −x2 + x