Giáo trình Toán cao cấp: Phần 1 - Trường Đại học Nông Lâm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC NÔNG LÂM BỘ MƠN TỐN LÝ GIÁO TRÌNH NỘI BỘ TỐN CAO CẤP Dành cho sinh viên tất ngành học (Tài liệu lưu hành nội bộ) Thái Nguyên, năm 2017 Mục lục Chương Đại số tuyến tính 1.1 Ma trận phép toán ma trận 1.1.1 Các khái niệm ma trận 1.1.2 Các phép toán ma trận 1.2 Định thức ma trận vuông cấp n 1.2.1 Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n 1.2.2 Các tính chất định thức 10 1.2.3 Cách tính định thức 12 1.3 Ma trận nghịch đảo 13 1.3.1 Định nghĩa ma trận nghịch đảo 13 1.3.2 Cách tính ma trận nghịch đảo 14 1.3.3 Các tính chất ma trận nghịch đảo 15 1.3.4 Ứng dụng ma trận nghịch đảo để giải phương trình ma trận 16 1.4 Hạng ma trận 17 1.4.1 Định nghĩa ví dụ hạng ma trận 17 1.4.2 Cách tìm hạng ma trận 18 1.5 Hệ phương trình tuyến tính 19 1.5.1 Dạng tổng qt hệ phương trình tuyến tính 20 1.5.2 Dạng ma trận hệ phương trình tuyến tính 20 1.5.3 Cách giải hệ phương trình tuyến tính 21 Bài tập Chương 28 Chương Đạo hàm số ứng dụng 30 2.1 Hàm biến 30 2.1.1 Các khái niệm hàm số biến số 30 2.1.2 Giới hạn hàm số 32 2.1.3 Sự liên tục hàm số 35 2.1.4 Đạo hàm hàm số biến số 37 2.1.5 Một số toán ứng dụng đạo hàm 40 2.1.6 Đạo hàm cấp cao hàm số biến 43 2.1.7 Vi phân hàm số biến số 44 2.2 Hàm số hai biến số 47 2.2.1 Giới hạn tính liên tục hàm hai biến 47 2.2.2 Đạo hàm hàm số hai biến số 49 2.2.3 Vi phân tồn phần ứng dụng để tính gần 50 2.2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 51 Bài tập Chương 53 Chương Tích phân số ứng dụng 56 3.1 Tích phân bất định 56 3.1.1 Nguyên hàm hàm số 56 3.1.2 Tích phân bất định 56 3.1.3 Các phương pháp tính tích phân bất định 58 3.1.4 Tích phân số hàm 60 3.1.5 Một số tốn ứng dụng tích phân bất định 62 3.2 Tích phân xác định 63 3.2.1 Diện tích hình thang cong tích phân xác định 64 3.2.2 Các phương pháp tính tích phân xác định 67 3.2.3 Một số ứng dụng tích phân xác định 69 3.3 Tích phân suy rộng 72 3.3.1 Tích phân suy rộng với cận vơ hạn 72 3.3.2 Tích phân suy rộng với hàm không giới nội 74 Bài tập Chương 76 Chương Phương trình vi phân 79 4.1 Một số toán thực tế dẫn đến phương trình vi phân 79 4.2 Một số khái niệm phương trình vi phân 81 4.3 Phương trình vi phân cấp 82 4.3.1 Đại cương phương trình vi phân cấp 82 4.3.2 Phương trình vi phân có biến số phân ly 82 4.3.3 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 85 4.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính 86 4.4 Phương trình vi phân cấp hai 87 4.4.1 Đại cương phương trình vi phân cấp hai 87 4.4.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai có hệ số khơng đổi 88 Bài tập Chương 92 Tài liệu tham khảo 94 Chương Đại số tuyến tính 1.1 Ma trận phép toán ma trận Ma trận bảng số hình chữ nhật sử dụng để lưu trữ thông tin làm việc với chúng Ma trận có nhiều ứng dụng kỹ thuật, đời sống, kinh tế, kỹ thuật, vật lý, học, công nghệ thông tin, thuyết mật mã, Chẳng hạn, công ty kinh doanh mặt hàng gồm áo, quần kính Cơng ty có hai cửa hàng A B Giả sử số lượng hàng bán tháng là: cửa hàng A: 100 áo, 120 quần, 300 kính cửa hàng B: 125 áo, 100 quần, 250 kính Sắp xếp liệu dạng bảng: A B áo quần 100 120 125 100 Ta viết lại bảng dạng T1 = kính 300 250 ! 100 120 300 125 100 250 Khi T1 ma trận 1.1.1 Các khái niệm ma trận Định nghĩa 1.1.1 Một bảng số gồm m × n phần tử xếp thành m hàng, n cột gọi ma trận cỡ m × n, ký hiệu   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n    A =     am1 am2 amn Ký hiệu rút gọn: A = (aij )m×n , aij biểu thị phần tử hàng i, cột j ma trận A (với i = 1, 2, m; j = 1, 2, n) Khi m = n, ta có ma trận vuông với n hàng, n cột gọi ma trận vuông cấp n   a11 a12 a1n  a21 a22 a2n    A =     an1 an2 ann Các phần tử a11 , a22 , , ann gọi phần tử chéo Đường thẳng xuyên qua phần tử chéo gọi đường chéo ma trận     Ví dụ 1.1.2 A = −1 1 ma trận cỡ × Ta viết A = (aij )3×2 với a11 = 1; a12 = 0; a21 = −1; a22 = 1; a31 = 2; a32 = Chú ý 1.1.3 Ta xét ma trận thực, tức ma trận với aij ∈ R Định nghĩa 1.1.4 Ma trận tam giác ma trận vng có tất phần tử nằm phía đường chéo khơng Có loại ma trận tam giác, ma trận tam giác (ma trận A), ma trận tam giác (ma trận B)     a11 a12 a1n a11  a22 a2n   a21 a22      A =   ; B =       0 ann an1 an2 ann Định nghĩa 1.1.5 Ma trận đường chéo ma trận có tất phần tử nằm ngồi đường chéo không   a11  a22    A =     0 ann Định nghĩa 1.1.6 Ma trận đơn vị ma trận đường chéo với phần tử đường chéo Ma trận đơn vị ký hiệu là: I (hoặc E)   0 0   I =    . 0 Định nghĩa 1.1.7 Ma trận không ma trận mà tất phần tử không Ma trận không ký hiệu O   0   Ví dụ 1.1.8 Ma trận O = 0 0 ma trận không cỡ × 0 Định nghĩa 1.1.9 Ma trận bậc thang ma trận thoả mãn điều kiện sau đây: (1) Nếu có hàng khơng (tức tất phần tử khơng) hàng khác không hàng không (2) Trên hai hàng khác khơng phần tử khác khơng hàng bên phải cột chứa phần tử khác không hàng Ví dụ 1.1.10   A = 0 Trong ma trận sau đâu ma trận bậc thang?      −1 −5 −5 −1 1      5 ; B =  0 1  ; C =  −2 2 ; 0 0 0 0     D = 0 −1 2 ;     E = 0 0 0 · 0 Giải: Các ma trận A, B, C ma trận bậc thang Định nghĩa 1.1.11 Hai ma trận A B gọi chúng có cỡ phần tử vị trí nhau, tức là: A = (aij )m×n ; B = (bj )m×n aij = bij , ∀i, j Ký hiệu hai ma trận là: A = B ! ! a b Ví dụ 1.1.12 Ta có = nghĩa a = 0; b = 1; c = 1; d = c d 1.1.2 Các phép toán ma trận a Phép cộng hai ma trận Định nghĩa 1.1.13 Cho hai ma trận A = (aij ); B = (bij ) có cỡ m × n, tổng chúng, kí hiệu A + B ma trận có cỡ m × n xác định phép cộng phần tử tương ứng vị trí Tức là, A+B    −5    Ví dụ 1.1.14 1 −1 + 2 = (aij + bij )m×n    0 −5    −1  = 3 −1 −1 −2 −2 5 Tính chất 1.1.15 Phép cộng ma trận có tính chất sau (1) A + B = B + A (2) (A + B) + C = A + (B + C) (3) A + = + A = A (4) A + (−A) = (−A) + A = b Phép nhân ma trận với số Định nghĩa 1.1.16 Cho A = (aij ) ma trận cỡ m × n, c số tùy ý, tích ma trận A số c ma trận cA có cỡ m × n xác định cách đem số nhân với phần tử ma trận Tức là, cA = c(aij ) = (caij ) ! ! ! 2.3 2.4 Ví dụ 1.1.17 Ta có = = · 2.1 2.5 10 Tính chất 1.1.18 Phép nhân ma trận với số có tính chất sau: (1) k(A + B) = kA + kB (2) (k + h)A = kA + hA (3) k(hA) = (kh)A (4) 1A = A (5) 0A = Chú ý 1.1.19 −B = (−1)B = (−bij )m×n với B = (bij )m×n Khi ta định nghĩa phép trừ hai ma trận: Nếu A B hai ma trận có cỡ A − B = A + (−B) c Phép nhân hai ma trận Định nghĩa 1.1.20 Cho A ma trận cỡ m × p B ma trận cỡ p × n tích hai ma trận C = A.B ma trận cỡ m × n phần tử cij ma trận tích tính cơng thức cij = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj = p X aik bkj , i = 1, , m, j = 1, , n k=1 Ví dụ 1.1.21       ! −1 2.1 + (−1)(−1) 2.2 + (−1).0 2.3 + (−1).1       2.2 + 4.0 2.3 + 4.1  = −2 10 =  2.1 + 4.(−1) 2  −1 1 1.1 + 3.(−1) 1.2 + 3.0 1.3 + 3.1 −2 Ví dụ 1.1.22 Một cửa hàng kinh doanh mặt hàng: áo, quần, kính Giả sử số lượng hàng bán tháng là: 100 áo, 120 quần, 300 kính Ta xếp số liệu dạng ma trận ! 100 120 300 T1 = · 125 100 250 ! 130 80 240 Giả sử tháng thứ hai bán được: T2 = · Khi đó, lượng hàng bán 115 150 150 ! 230 200 540 hai tháng: T = T1 + T2 = · 240 250 400   15   Giả sử tiền lãi tháng 1: áo 15 ngàn, quần 30 ngàn, kính 10 ngàn L1 = 30 · 10 Vậy lợi nhuận tháng cửa hàng là: T1 L1 =   ! 15 100 120 300   30 = 125 100 250 10 ! 8100 · 7375   25   Giả sử tiền lãi tháng 2: áo 25 ngàn, quần 35 ngàn, kính 17 ngàn L2 = 35 · 17 Vậy lợi nhuận hai tháng cửa hàng là: ! ! 8100 10130 T1 L1 + T2 L2 = + = 7375 10675 ! 18230 · 18050 Chú ý 1.1.23 (1) Trong nhiều trường hợp ta tính AB lại khơng tính BA Ta thực tích AB BA số cột ma trận số hàng ma trận ngược lại Đặc biệt A B ma trận vng cấp n ta tính tích AB BA (2) Phép nhân hai ma trận khơng có tính chất giao hốn, tức AB chưa BA (3) Có ma trận A 6= 0, B 6= AB = ! ! 2 −6 Ví dụ 1.1.24 Cho hai ma trận A = ; B= · Khi đó, ta có tích −1 ! ! 0 −10 −20 hai ma trận AB = ; BA = · 0 10 Tính chất 1.1.25 Phép nhân hai ma trận có tính chất sau: (1) Tính chất kết hợp: A(BC) = (AB)C (2) Tính chất phân phối với phép cộng: (B + C)A = BA + CA; A(B + C) = AB + AC (3) (4) k(BC) = (kB)C = B(kC) Với A ma trận vuông cấp n, I ma trận đơn vị cấp thì: IA = AI = A; A A} = Ak (quy ướcA0 = I) | {z k d Phép chuyển vị ma trận Định nghĩa 1.1.26 Ma trận chuyển vị ma trận A = (aij ) cỡ m × n ma trận AT có cỡ n × m thu từ ma trận A cách đổi hàng thành cột Tức là, cột thứ i ma trận AT hàng thứ i ma trận A với i Phép toán biến ma trận A thành ma trận chuyển vị AT gọi phép chuyển vị ma trận ! Ví dụ 1.1.27 Cho ma trận A = −1   −1   ⇒ A t = 2  · Tính chất 1.1.28 Phép chuyển vị có tính chất sau: (1) (AT )T = A (2) (A + B)T = AT + B T (3) (kA)T = kAT (k ∈ R) (4) (AB)T = B T AT 1.2 Định thức ma trận vuông cấp n 1.2.1 Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n Định nghĩa 1.2.1 Xét ma trận vuông  a11 a12 a  21 a22    A=  ai1 ai2   an1 an2 cấp n a1j a2j aij anj  a1n a2n      ain     ann Ma trận ứng với phần tử aij ma trận thu từ A cách bỏ hàng i cột j ma trận A ký hiệu Mij Như Mij ma trận vuông cấp n −   a11 a12 a13   Ví dụ 1.2.2 Cho ma trận vuông cấp A = a21 a22 a23  Khi đó, ma trận a31 a32 a33 A ! M11 = M21 = M31 = a22 a23 ; M12 = a32 a33 ! a12 a13 ; M22 = a32 a33 ! a12 a13 ; M32 = a22 a23 ! a21 a23 ; M13 = a31 a33 ! a11 a13 ; M23 = a31 a33 ! a11 a13 ; M33 = a21 a23 ! a21 a22 ; a31 a32 ! a11 a12 ; a31 a32 ! a11 a12 a21 a22 Định nghĩa 1.2.3 Định thức ma trận vuông A cấp n, ký hiệu det A (hoặc |A|), định nghĩa sau: A ma trận vuông cấp 1: A = (a11 ) det A = a11 + −4 −1 −1 −4 −4 −1 = 1(−1 − 16) + 2(−2 + 12) + 1(−8 − 3) = −8 1.2.2 Các tính chất định thức Tính chất 1.2.5 det A = det AT Do tính chất 1.2.5, tính chất phát biểu hàng định thức phát biểu cột Tính chất 1.2.6 Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) định thức ta định thức định thức cũ đổi dấu Tính chất 1.2.7 * Khai triển định thức theo hàng i det A = (−1)i+1 ai1 det Mi1 + (−1)i+2 ai2 det Mi2 + · · · + (−1)i+n ain det Min * Khai triển định thức theo cột j det A = (−1)1+j a1j det M1j + (−1)2+j a2j det M2j + · · · + (−1)n+j anj det Mnj Tính chất 1.2.8 Khi nhân phần tử hàng (hay cột) với số k định thức định thức cũ nhân với k Hệ 1.2.9 Khi phần tử hàng (hay cột) có thừa số chung, ta đưa thừa số chung ngồi dấu định thức Tính chất 1.2.10 Một định thức có hai hàng (hay hai cột) tỷ lệ khơng Hệ 1.2.11 - Một định thức có hai hàng (hay hai cột) khơng - Một định thức có hàng (hay cột) tồn số khơng khơng 10 Chú ý 1.2.12 Ký hiệu α1 , α2 , , αn n hàng (n cột) định thức Tổ hợp tuyến tính n hàng (cột) định thức định nghĩa sau: n X xi αi = x1 α1 + x2 α2 + · · · + xn αn , i=1 (xi ), i = 1, 2, , n hệ số thực Tính chất 1.2.13 Nếu định thức có hàng (cột) tổ hợp tuyến tính hàng (cột) khác định thức khơng Tính chất 1.2.14 hàng (cột) khác