Giáo trình toán cao cấp a3

ThS Hoàng Nguyên Lý ThS Phạm Văn Hiển ThS Lê Thị Thanh Hải ThS Nguyễn Hồng Nhung GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 3 LỜI NÓI ĐẦU Toán cao cấp A3 là[.]

ThS Hoàng Nguyên Lý - ThS Phạm Văn Hiển ThS Lê Thị Thanh Hải - ThS Nguyễn Hồng Nhung GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A3 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 LỜI NĨI ĐẦU Tốn cao cấp A3 học phần tiếp nối sau học phần Toán cao cấp A1 (Giải tích hàm biến) Tốn cao cấp A2 (Đại số tuyến tính) dành cho sinh viên năm thuộc hệ 150 tín Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh Giáo trình biên soạn dựa sở nhiều năm giảng dạy mơn Tốn cao cấp A3 A4 (thuộc hệ tín cũ) cán giảng dạy Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Cơ bản, Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh Sinh viên hệ 150 tín học tập theo phương pháp đòi hỏi chủ động, tự giác cao việc tiếp thu kiến thức Vì tài liệu học tập, mà cụ thể giáo trình phương tiện bản, cần thiết hỗ trợ cho việc tự học sinh viên Do biên soạn giáo trình, chúng tơi ý trình bày nội dung cách đầy đủ, ngắn gọn Tương ứng với nội dung kiến thức có ví dụ minh họa giúp sinh viên hiểu rõ nội dung kiến thức vừa học Trong chương chúng tơi ln trình bày mục đích, u cầu tóm tắt nội dung chương giúp sinh viên dễ ghi nhớ, hệ thống kiến thức học Bài tập cuối chương giúp sinh viên tự kiểm tra hiểu, khả vận dụng kiến thức học chương Giáo trình gồm 04 chương, tương ứng với 03 đơn vị học trình (45 tiết) Giáo trình có tham khảo giáo trình Toán cao cấp A4 (cũ) số tài liệu nước ngồi Chương 1: Tích phân bội Chương 2: Tích phân đường Chương 3: Tích phân mặt Chương 4: Phương trình vi phân Mặc dù cố gắng nhiều cơng tác biên soạn giáo trình, song khơng tránh khỏi sai sót, chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến đọc giả chân thành cám ơn điều Chúng tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Thành phố Hồ Chí Minh, Thư viện trường đặc biệt cán giảng dạy Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học Ứng Dụng tạo điều kiện, động viên giúp đỡ để chúng tơi hồn thành giáo trình CÁC TÁC GIẢ MỤC LỤC Lời nói đầu Mục lục Chương 1: TÍCH PHÂN BỘI 1.1 TÍCH PHÂN KÉP 1.1.1 Định nghĩa 1.1.1.1 Bài tốn tính thể tích hình trụ cong 1.1.1.2 Định nghĩa tích phân kép 10 1.1.1.3 Định lý tồn 11 1.1.2 Tính chất 11 1.1.3 Cách tính tích phân kép hệ tọa độ Decard 12 1.1.3.1 Định lý 1.1 12 1.1.3.2 Định lý 1.2 13 1.1.3.3 Định lý 1.3 13 1.1.4 Phương pháp đổi biến tích phân kép 22 1.1.4.1 Cơng thức đổi biến tổng quát 22 1.1.4.2 Đổi biến sang hệ tọa độ cực 24 1.1.5 Ứng dụng tích phân kép 34 1.1.5.1 Tính diện tích hình phẳng 34 1.1.5.2 Tính diện tích mặt cong 36 1.1.5.3 Tính thể tích hình trụ cong 37 1.2 TÍCH PHÂN BỘI BA 39 1.2.1 Định nghĩa 39 1.2.1.1 Bài tốn tính khối lượng vật thể 39 1.2.1.2 Định nghĩa tích phân bội ba 40 1.2.1.3 Định lý tồn 41 1.2.2 Tính chất tích phân bội ba 41 1.2.3 Cách tính tích phân bội ba tọa độ Decard 43 1.2.4 Phương pháp đổi biến tích phân bội ba 48 1.2.4.1 Công thức đổi biến tổng quát 48 1.2.4.2 Đổi biến sang tọa độ trụ 50 1.2.4.3 Đổi biến sang tọa độ cầu 56 1.2.5 Ứng dụng tích phân bội ba 63 1.3 BÀI TẬP CHƯƠNG 68 Chương 2: TÍ CH PHÂN ĐƯỜNG 73 2.1 TÍ CH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI MỘT 73 2.1.1 Đinh ̣ nghıã 73 2.1.2 Đinh ̣ lý tồ n ta ̣i 73 2.1.3 Ý nghĩa 73 2.1.4 Tính chất 74 2.1.5 Cách tı́nh 74 2.1.6 Đường cong không gian 79 2.2 TÍ CH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI HAI 80 2.2.1 Đinh ̣ nghıã 80 2.2.2 Đinh ̣ lý tồn 81 2.2.3 Ý nghĩa 81 2.2.4 Tı́nh chấ t 82 2.2.5 Cách tı́nh 82 2.2.6 Tı́ch phân đường loa ̣i hai không gian 86 2.2.7 Liên ̣ giữa hai loa ̣i tı́ch phân đường 87 2.2.8 Công thức Green 88 2.2.9 Điề u kiê ̣n để tı́ch phân đường không phu ̣ thuô ̣c đường lấ y tı́ch phân 90 2.3 BÀI TẬP CHƯƠNG 95 Chương 3: TÍCH PHÂN MẶT 99 3.1 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 99 3.1.1 Định nghĩa 99 3.1.2 Tính chất 99 3.1.3 Cách tính 100 3.2 TÍCH PHÂN MẶT LOẠI 107 3.2.1 Mặt định hướng 107 3.2.2 Định nghĩa 109 3.2.3 Cách tính 109 3.2.4 Công thức Gauss – Ostrogratski 114 3.2.5 Công thức Stokes 118 3.3 TRƯỜNG VECTOR 120 3.3.1 Trường vô hướng 120 3.3.1.1 Định nghĩa 120 3.3.1.2 Đạo hàm có hướng 120 3.3.3.3 Vector gradient 122 3.3.2 Định nghĩa trường vector 123 3.3.3 Thông lượng độ phân kỳ 124 3.3.3.1 Thông lượng 124 3.3.3.2 Độ phân kỳ 125 3.3.3.3 Ý nghĩa mối quan hệ thông lượng độ phân kỳ 126 3.3.4 Hồn lưu vector xốy 126 3.3.4.1 Hoàn lưu 126 3.3.4.2 Vector xoáy 128 3.3.4.3 Ý nghĩa mối quan hệ hoàn lưu vector xoáy 128 3.3.5 Toán tử Hamilton – Toán tử Laplace 129 3.3.6 Một số trường vector thông dụng 130 3.3.6.1 Trường 130 3.3.6.2 Trường ống 131 3.3.6.3 Trường điều hòa 131 3.4 BÀI TẬP CHƯƠNG 132 Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 137 4.1 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 137 4.1.1 Bài tốn hình học 137 4.1.2 Phương trình dao động lắc 138 4.1.3 Khái niệm phương trình vi phân 139 4.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 140 4.2.1 Khái niệm 140 4.2.1.1 Định nghĩa 140 4.2.1.2 Bài toán Cauchy 140 4.2.1.3 Nghiệm tổng quát, tích phân tổng quát 141 4.2.1.4 Nghiệm riêng, nghiệm kỳ dị 141 4.2.2 Một số phương trình vi phân cấp 142 4.2.2.1 Phương trình tách biến (Phương trình có biến số phân ly) 142 4.2.2.2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 147 4.2.2.3 Phương trình tuyến tính cấp 151 4.2.2.4 Phương trình Bernoulli 155 4.2.2.5 Phương trình Đacbu 157 4.2.2.6 Phương trình Ricati 159 4.2.2.7 Phương trình vi phần toàn phần 161 4.3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 166 4.3.1 Khái niệm 166 4.3.1.1 Định nghĩa 166 4.3.1.2 Bài toán Cauchy Định lý tồn nghiệm 168 4.3.2 Phương trình vi phân cấp hai giảm cấp 169 4.3.2.1 Phương trình không chứa 169 4.3.2.2 Phương trình khơng chứa hàm cần tìm y 170 4.3.2.3 Phương trình khơng chứa biến độc lập x 171 4.3.2.4 Phương trình vi phân hàm cần tìm đạo hàm 172 4.3.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai 173 4.3.3.1 Định nghĩa 173 4.3.3.2 Định lý cấu trúc nghiệm phương trình tuyến tính 173 4.3.3.3 Định lý cấu trúc nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng 175 4.3.4 Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số số 178 4.3.4.1 Phương trình tuyến tính 178 4.3.4.2 Phương trình tuyến tính khơng 180 4.4 BÀI TẬP CHƯƠNG 186 Tài liệu tham khảo 195 Chương TÍCH PHÂN BỘI 1.1 1.1.1 TÍCH PHÂN KÉP Định nghĩa 1.1.1.1 Bài tốn tính thể tích hình trụ cong Giả sử hàm số z  f ( x, y ) khơng âm, liên tục miền D đóng, bị chặn, có biên đường L mặt phẳng Oxy Hãy tính thể tích hình trụ cong  giới hạn miền D, giới hạn mặt cong S có phương trình z  f ( x, y ) , giới hạn xung quanh mặt trụ có đường sinh song song trục Oz đường chuẩn đường L Chia miền D cách tùy ý thành n mảnh nhỏ không giao Gọi tên diện tích mảnh S1 , S2 , , Sn Lấy mảnh nhỏ Si làm đáy, dựng hình trụ i có giới hạn xung quanh mặt trụ có đường sinh song song trục Oz, giới hạn mặt S z Như hình trụ chia cong  thành n hình trụ nhỏ Trong mảnh nhỏ Si lấy điểm tùy ý M i  xi , yi  Xem thể tích Vi hình trụ i gần thể tích hình trụ có diện tích đáy Si chiều cao z  f (x, y) f (xi , yi ) y O Si x M i (xi , yi ) L Hình 1.1 f Mi  Vi  f  M i  Si  f  xi , yi  Si Vậy thể tích hình trụ  tính gần tổng sau n Vn   f  xi , yi  Si i 1 Dễ thấy phép tính gần xác n lớn mảnh Si có đường kính di nhỏ ( di khoảng cách lớn điểm thuộc mảnh Si ).Cho n   cho max d i  tổng 1 i  n Vn tiến đến giới hạn hữu hạn không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn điểm M i giới hạn thể tích hình trụ cong  , n V     lim Vn  lim  f  xi , yi  Si n  n  (1.1) i 1 1.1.1.2 Định nghĩa tích phân kép Cho hàm f ( x, y ) xác định miền D đóng bị chặn mặt phẳng Oxy Chia miền D thành n mảnh nhỏ khơng giao có diện tích gọi tên S1 , S , , S n Chọn điểm tùy ý M i  xi , yi   Si n Xét tổng I n   f  xi , yi  Si i 1 Cho n   cho max di  (di đường kính Si ) mà tổng 1in In tiến tới giới hạn hữu hạn I, không phụ thuộc cách chia miền D cách chọn điểm M i  Si giới hạn I gọi tích phân kép hàm f ( x, y ) miền D, ta nói hàm f ( x, y ) khả tích miền D Khi f ( x, y ) khả tích miền D giá trị I khơng phụ thuộc vào cách chia miền D nên chia miền D lưới đường thẳng song song trục tọa độ, lúc Si hình chữ nhật, Si  xi yi , n I  lim I n  lim  f  xi , yi  xi yi n  n  (1.2) i 1 Vì vậy, ta ký hiệu tích phân kép hàm f ( x, y ) miền D I   f ( x, y )dxdy D 10 (1.3) ... Nhung GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A3 NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH – 2017 LỜI NĨI ĐẦU Tốn cao cấp A3 học phần tiếp nối sau học phần Tốn cao cấp A1 (Giải tích hàm biến) Toán cao cấp. .. phương trình vi phân cấp 142 4.2.2.1 Phương trình tách biến (Phương trình có biến số phân ly) 142 4.2.2.2 Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 147 4.2.2.3 Phương trình tuyến tính cấp. .. hiểu, khả vận dụng kiến thức học chương Giáo trình gồm 04 chương, tương ứng với 03 đơn vị học trình (45 tiết) Giáo trình có tham khảo giáo trình Tốn cao cấp A4 (cũ) số tài liệu nước ngồi Chương 1: