giáo trình toán cao cấp a3

Chương 1 S Ố PHỨC I. Đ ỊNH NGHĨA TẬP HỢ P S Ố PHỨC V À CÁC PHÉ P TOÁN: T ập hợp các số phức , đ ư ợc ký hiệu l à C , đư ợc định nghĩa bởi tập h ợp. v ới 2 phép t oán c ộng (+) v à nhân (.) như sau: Phép c ộng (+) : (a,b) + (c,d)= (a+c,b+d) Phép nhân (.): (a,b) . (c,d) = (ac - bd, ad+bc) Như v ậy mỗi số phức Z theo định nghĩa l à m ột cặp gồm 2 số thực a và b : Z = (a,b) a đư ợc gọi l à ph ần thực của số phức Z, ký hiệu l à Re(z); b đư ợc gọi là ph ần ảo của Z, kí hi ệu l à Im(z). Ví d ụ : s ố phức z = ( - 2,3) có Re(z) = - 2 và Im(z) = 3 Các phép toán c ộng (+) v à nhân (.) các s ố phức đ ư ợc định nghĩa ở trên có các tính ch ất sau đây: (tính giao hoán c ủa phép cộng số phức) (tính k ết hợp của phép cộng) (iii) Đ ặt O=(0,0). Ta có: (iv) V ới z = (a,b), đặt – z = ( - a, - b) . Ta có: z + ( - z) = 09; (Tính giao hoán cu ả phép nhân) (Tính k ết hợp của phép nhân) (viii) t ồn tại số phức nghịch đảo, ký hi ệu l à: z - 1 , sao cho z.z - 1 = (1,0). N ếu z = (a,b) th ì (Tính phân ph ối của phép nhân đối với phép cộng) Lưu ý :V ề mặt cấu trúc đại số , tập số phức C v ới các phép t oán (+) và nhân (.) đư ợc định nghĩa ở tr ên đư ợc gọi l à "trư ờng số phức" V ới u = (a,b) v à v = (c,d ) ≠ 0, ta đ ịnh nghĩa phép chia số phức nh ư sau: II. D ẠNG ĐẠI SỐ CỦA S Ố PHỨC : Xét các s ố phức có dạng (a , 0) với ta nh ận thấy: (a , 0) + (b , 0) = (a + b , 0) (a , 0) . (b , 0) = (a . b , 0) Như v ậy, những số phức có dạng (a , 0) đ ư ợc cộng v à nhân gi ống như nh ững số thực t ương ứng đối với phần thực của số phức. Do đó ta có th ể đồng nhất số phức (a,0) với số thực a, v à nói riêng (0,0) đư ợc đồng nhất với 0 , (1,0) đ ư ợc đồng nhất với 1. Sự đồng nhất n ày cho phép ta xem t ập hợp các số thực R bao hàm trong C : Đ ặt: i = (0 , 1), ta có: i 2 = (0 , 1) . (0 , 1) = ( - 1 , 0) = - 1 V ậy i l à m ột nghiệm của ph ương tr ình z 2 + 1= 0. V ới , ta có: z = (a,b) = (a ,0) + (b ,0) . (0 ,1) = a + b . i Đ ịnh lý: M ỗi số phức z = (a,b) đ ư ợc viết một cách duy nhất d ư ới d ạ ng z = a+b.i v ới a,b  R . Cách vi ết z = (a ,b) d ư ới dạng z = a + b.i đư ợc gọi l à d ạng đại số của số phức z, v à s ố phức đư ợc gọi l à s ố phức li ên h ợp c ủa z. Ngo ài ra, kí hi ệu : đư ợc gọi l à môđun c ủa số phức z. Dễ thấy rằng và . Hơn n ữa, ta có: M ệnh đề: v ới mọi ta có: (vi) v ≠ 0 th ì (B ất đẳng thức tam giác) III. D ẠNG L Ư ỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC: M ỗi số phức z = (a,b) có thể đ ư ợc biểu diễn h ình h ọc bởi một điểm trong m ặt phẳng Oxy có tọa độ (a,b). Gọi r l à kho ảng cách từ điểm Z(a,b) đ ến gốc O v à  là góc h ợp bởi Ox v à , ta có: V ậy với mọi số phức z = (a,b) ≠ 0 đều có thể viết d ư ới dạng: V ới r > 0. Cách viết n ày đư ợc gọi l à d ạng l ư ợng giác của số phức z, góc θ đư ợc ký hiệu là arg(z) . Lưu ý r ằng θ c ó th ể lấy nhiều giá trị khác nhau v à các giá tr ị n ày sai khác nhau m ột số nguy ên l ần .N ếu θ l à m ột giá trị trong các giá tr ị này thì ta vi ết: Ví d ụ: 2) Tìm d ạng l ư ợng giác của số phức Ta có: . Tính arg(z) t ừ hệ ph ương tr ình v ới ẩn Đư ợc . V ậy: IV. L ŨY THỪA SỐ PHỨC , CÔNG TH ỨC MOIVRE: Xét 2 s ố phức ≠ 0 ở dạng l ư ợng giác: Ta có: T ức l à: T ừ đó suy ra công thức: Công th ức n ày đư ợc gọi l à công th ức Moivre Ví d ụ: Tí nh (1 + i ) 2001 V. CĂN C ỦA SỐ PHỨC: Đ ịnh n gh ĩa : Cho s ố phức u v à n là s ố nguy ên dương. Căn b ậc n c ủa u l à t ập hợp tất cả các số phức z thỏa ph ương tr ình: z n = u Nh ận thấy rằng căn bậc n của 0 l à {0}.Ta ch ỉ cần tính căn bậc n của n v ới u ≠ 0. Viết u d ư ới dạng l ư ợng giác: Ta s ẽ t ìm s ố phức z ở dạng l ư ợng giác Th ỏa: V ậy căn bặc n của là: Có th ể thấy rằng tập hợp n ày g ồm n số phức khác nhau đôi một ứng với k = 0,1,……, n - 1 Theo tính toán ở tr ên, v ới thì ph ương tr ình z n = u có n nghi ệm ph ức phân biệt. Tổng quát h ơn, ta có đ ịnh lý sau đây: Đ ịnh lý : (Đ ịnh lý căn bản của đại số) M ọi đa thức bậc lớn h ơn ho ặc bằng 1 với hệ số phức đều có nghi ệm phức. BÀI T ẬP CH ƯƠ NG 1 Bài 1. Th ực hiện các phép toán số phức a) b) c) Bài 2. Tìm các s ố thực x , y thỏa : (3 + 2.i).x + (1 + 3.i).y = 4 – 3.y Bài 3. Tính: a) b) b) d) Bài 4. Gi ải ph ương tr ình trên C : ( ẩn z) a)z 2 – 5.z + 4 + 10.i = 0 b)z 2 + (2.i - 7).z + 13 – i = 0 Bài 5. Tính căn b ậc 3 cuả số phức: [...]... ma trận về dạng bậc thang rút gọn: Suy ra hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: 2) Giải hệ phương trình Dạng ma trận hóa của hệ phương trình là Thực hiện biến đổi sơ cấp trên dòng: Dòng thứ 3 có dạng nên hệ phương trình vô nghiệm 3) Giải hệ phương trình Tiến hành biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận mở rộng của hệ phương trình: Suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do (x3 và x5): với... ma trận hóa: (A | B) Bước 2: Thực hiện quá trình biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma trận (A | B) về dạng bậc thang rút gọn : R = (A’ | B’) Trong quá trình biến đổi sơ cấp trên dòng ở dạng (0 … 0 | a) với a  0 thì ngừng biến đổi và kết luận hệ phương trình vô nghiệm, vì ta được một hệ phương trình trong đó có một phương trình là : Ngược lại, thì hệ phương trình có nghiệm, được cho trong 3 bước tiếp... ra rằng nếu ta có quá trình biến đổi sơ cấp từ ma trận mở rộng (A | B) của hệ phương trình tuyến tính như sau: thì hệ phương trình tuyến tính A’X = B’ là tương đương với hệ phương trình AX=B Vậy để tìm nghiệm của hệ AX = B thế giải hệ A’X = B’ 3 Phương pháp Gauss-Jordan Dựa vào định lý cơ bản cho việc giải hệ phương trình tuyến tính được trình bày ở trên ta có thể giải hệ phương trình tuyến tính AX=B... nghĩa các phép biến đổi sơ cấp trên cột tương tự như định nghĩa các phép biến đổi sơ cấp trên dòng Ví dụ: Vậy: A  R Định nghĩa: (ma trận sơ cấp) Một ma trận vuông S được gọi là ma trận sơ cấp khi có một phép biến đổi sơ cấp trên dòng e sao cho Khi đó ta viết : S = e(I) Ví dụ: Các ma trận: là các ma trận sơ cấp vì: Mệnh đề: Giả sử A  Mm x n(K) ; e là một phép bíên đổi sơ cấp trên dòng Khi đó, nếu... hoặc có vô số nghiệm Nhận xét: Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ít nhất một nghiệm là và nghiệm này được gọi là nghiệm tầm thường của hệ phương trình Do đó hệ phương trình tuyến tính thuần nhất chỉ có nghiệm tầm thường hoặc có vô số nghiệm 2 Định lý cơ bản cho việc giải hệ phương trình tuyến tính Định lý: Cho hai hệ phương trình tuyến tính gồm m phương trình với n ẩn có các ma trận mở rộng lần... ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng ) của hệ phương trình tuyến tính (*) Ví dụ: Hệ phương trình tuyến tính gồm 3 phương trình ,4 ẩn có ma trận hệ số là cột hệ tự do là và cột ẩn là Ma trận mở rộng của hệ phương trình là: Liên quan đến số nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính người ta chứng minh được định lý sau : Định lý :Đối với một hệ phương trình tuyến thì chỉ có một trong 3 trường hợp nghiệm... do Các ma trận , và lần lượt được gọi là ma trận hệ số, cột các hệ số tự do, và cột các ẩn của hệ phương trình tuyến tính (*) Khi B = 0 , nghĩa là b1 = b2 = … = bm = 0 thì hệ phương trình (*) được gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất Các dạng khác của hệ phương trình tuyến tính : Hệ phương trình tuyến tính (*) có thể được viết một trong hai dạng sau đây : Dạng tích ma trận : A.X = B Dạng ma trận... giác trên,C là ma trận tam giác dưới Ma trận chéo cấp n mà tất cả các phần tử trên đường chéo đều là 1 được gọi là ma trận đơn vị, ký hiệu là In (hay vắn tắt là I) 2 Các phép toán ma trận: Trong mục này sẽ định nghĩa các phép toán ma trận và phát biểu (không chứng minh) các tính chất của phép toán Sự bằng nhau: Hai ma trận A = (aij) và B = (bij) có cấp được nói là bằng nhau khi aij = bij,  i,j Khi... tương đương với r phương trình cho ta các hệ thức tính được các ẩn Theo các ẩn khác Vậy trong trường hợp này hệ phương trình co vô số nghiệm trong đó có(n-r) ẩn lấy giá trị tùy ý và r ẩn còn lại tính theo (n-r) ẩn lấy giá trị tùy ý đó Các ẩn lấy giá trị tùy ý sẽ được gọi là các ẩn tự do Ví dụ: 1) Giải hệ phương trình Ma trận mở rộng của hệ phương trình là Thực hiện biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa ma... mà ta gọi tắt quá trình này là chuẩn hóa Liên quan đến hạng của ma trận , ta có các tính chất được nêu trong mệnh sau đây: Mệnh đề :Cho A là một ma trận cấp mxn Khi đó: (i) r (RA) = A (ii) 0 ≤ r(A) ≤ min(m,n) (iii) nếu  thì r(A) = r(B) (iv) r(A) = 0  A = 0 II HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH: 1 Định nghĩa : Một hệ phương trình tuyến tính trên tập hợp số K(K là Q, R hoặc C) gồm m phương trình với n ẩn có . V À H Ệ PH ƯƠ NG TR Ì NH TUY Ế N T Í NH I. MA TR ẬN CÁC PHÉP TOÁN: Trong ph ần n ày ta ký hi ệu K l à Q , R ho ặc C 1. Khái ni ệm: Đ ịnh nghĩa: M ột ma trận cấp m x n tr ên K là m ột bảng gồm m x n ph ần. A=(a i j ). T ập hợp tất cả các ma trận cấp m x n tr ên K đư ợc ký hiệu l à M m x n (K), hay v ắn tắt l à M m x n . Ví d ụ V ới N ếu m = n th ì ma tr ận A có cấp m x n đư ợc gọi l à ma tr ận vuông. đ ư ờng chéo) cuả ma trận A. Tập hợp tất cả các ma tr ận vuông cấp n tr ên K đư ợc ký hiệu l à M n (K) hay v ắn tắt là M n . Ma tr ận cấp mxn m à t ất c ả các phần tử đều bằng 0 đ ư ợc gọi l à ma tr ận