GIÁO TRÌNH TOÁN CAO cấp a3 đại học

GIÁO TRÌNH TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC Toán cao cấp A1, A2, A3 là chương trình toán đại cương dành cho sinh viên các nhóm ngành toán và nhóm ngành thuộc khối kỹ thuật. Nội dung của toán cao cấp A1, A3 chủ yếu là phép tính vi tích phân của hàm một hoặc nhiều biến, còn toán cao cấp A2 là các cấu trúc đại số và đại số tuyến tính.

 Chương 1. Hàm số nhiều biến TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC 1. Đại cương về hàm số nhiều biến 2. Đạo hàm – Vi phân 3. Cực trị của hàm số nhiều biến PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết học: 30 GV: ThS. Đoàn Vương Nguyên  Chương 2. Tích phân bội 1. Tích phân bội hai (kép) 2. Tích phân bội ba 3. Ứng dụng của tích phân bội  Chương 3. Tích phân đường Tích phân mặt 1. Tích phân đường loại 1 2. Tích phân đường loại 2 3. Tích phân mặt loại 1 4. Tích phân mặt loại 2  Chương 4 Phương trình vi phân Hệ phương trình vi phân cấp 1 1. Khái niệm cơ bản về PTVP 2. Phương trình vi phân cấp 1 3. Phương trình vi phân cấp 2 4. Hệ phương trình vi phân cấp 1  Tài liệu tham khảo 3. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 3) – Đỗ Công Khanh (chủ biên) – XBĐHQG TP. HCM. 4. Giải tích hàm nhiều biến (Toán 4) – Đỗ Công Khanh (chủ biên) – XBĐHQG TP. HCM. 1. Giáo trình Toán cao cấp A3 – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP.HCM. 5. Phép tính Vi tích phân (tập 2) – Phan Quốc Khánh – XB Giáo dục. 6. Phép tính Giải tích hàm nhiều biến – guyễn Đình Trí (chủ biên) – XBGD. 7. Tích phân hàm nhiều biến – Phan Văn Hạp, Lê Đình Thịnh – XB KH và Kỹ thuật. 8. Bài tập Giải tích (tập 2) – guyễn Thủy Thanh – XB Giáo dục. Download Slide bài giảng Toán A3 tại dvntailieu.wordpress.com  Chương 1. Hàm số nhiều biến §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ 1.1. Định nghĩa 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục §2. ĐẠO HÀM RIÊG – VI PHÂ 2.1. Đạo hàm riêng 2.2. Vi phân 2.3. Đạo hàm của hàm số hợp 2.4. Đạo hàm của hàm số n §3. CỰC TRN CỦA HÀM HAI BIẾ SỐ 3.1. Định nghĩa 3.2. Định lý điều kiện cần và đủ 3.3. Cực trị tự do 3.4. Cực trị có điều kiện  Chương 1. Hàm số nhiều biến §1. KHÁI IỆM CƠ BẢ 1.1. Định nghĩa • Cho 2 D ⊂ ℝ . Tương ứng f : D → ℝ , (x, y) z f (x, y)=֏ duy nhất, được gọi là hàm số 2 biến x và y. • Tập D được gọi là MXĐ của hàm số và { } f (D) z z f (x, y), (x,y) D = ∈ = ∀ ∈ℝ là miền giá trị. – Nếu M(x, y) thì D là tập hợp điểm M trong 2 ℝ sao cho f(M) có nghĩa. Miền D thường là miền liên thông, nghĩa là nếu M, N thuộc miền D mà tồn tại 1 đường nối M với N nằm hoàn toàn trong D thì D là liên thông.  Chương 1. Hàm số nhiều biến – Trừ trường hợp 2 D = ℝ , D thường được giới hạn bởi 1 đường cong kín D ∂ (biên) hoặc không. Miền liên thông D là đơn liên nếu D được giới hạn bởi 1 đường cong kín; đa liên nếu được giới hạn bởi nhiều đường cong kín rời nhau từng đôi một.  Chương 1. Hàm số nhiều biến – D là miền đóng nếu M D M D ∈∂ ⇒ ∈ , miền mở nếu M D M D∈∂ ⇒ ∉ . Chú ý • Khi cho hàm số f(x, y) mà không nói gì thêm thì ta hiểu MXĐ D là tập tất cả (x, y) sao cho f(x, y) có nghĩa. • Hàm số n biến f(x 1 , x 2 ,…, x n ) được định nghĩa tương tự. VD 1. Hàm số z = f(x, y) = x 3 y + 2xy 2 – 1 xác định trên 2 ℝ . VD 2. Hàm số 2 2 z f (x, y) 4 x y= = − − có MXĐ là hình tròn đóng tâm O(0; 0), bán kính R = 2. VD 3. Hàm số 2 2 z f (x, y) ln(4 x y )= = − − có MXĐ là hình tròn mở tâm O(0; 0), bán kính R = 2.  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 4. Hàm số z f (x, y) ln(2x y 3)= = + − có MXĐ là nửa mp mở biên d: 2x + y – 3 không chứa O(0; 0). 1.2. Giới hạn của hàm số hai biến – Hàm số liên tục • Dãy điểm M n (x n ; y n ) dần đến điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) trong 2 ℝ , ký hiệu n 0 M M→ hay n n 0 0 (x ;y ) (x ;y )→ , khi n → +∞ nếu ( ) 2 2 n 0 n 0 n 0 n n limd M , M lim (x x ) (y y ) 0 →∞ →∞ = − + − = . • Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền D (có thể không chứa M 0 ), ta nói L là giới hạn của f(x, y) khi điểm M(x, y) dần đến M 0 nếu mọi dãy điểm M n (M n khác M 0 ) thuộc D dần đến M 0 thì n n n limf(x ,y ) L →∞ = . Ký hiệu: 0 0 0 (x,y ) (x ,y ) M M lim f (x, y) lim f (M) L → → = = .  Chương 1. Hàm số nhiều biến hận xét • Nếu khi n 0 M M→ trên 2 đường khác nhau mà dãy {f(x n , y n )} có hai giới hạn khác nhau thì 0 M M lim f (M) → ∃ . VD 5. 2 2 (x,y) (1, 1) 2x y 3x 1 3 lim xy 3 2 → − − − = − + . VD 6. Cho 2 2 xy f (x,y) x y = + , tính (x,y ) (0,0 ) lim f (x,y) → . Giải Ta có: x 0 y 0 2 2 2 xy xy 0 f (x,y) x 0 x y y → → ≤ = ≤ = → + . Vậy (x,y) (0,0) lim f (x,y) 0 → = .  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 7. Cho hàm số 2 2 3xy f (x,y) x y = + . Chứng tỏ (x,y) (0,0) lim f (x, y) → không tồn tại. Giải Xét dãy điểm ( ) { } n n n M x ; y . Khi n M O(0; 0)→ trên đường y = x thì 2 2 (x,y) (0,0) (x ,y) (0,0) 3x 3 lim f (x, y) lim 2x 2 → → = = . Khi n M O(0; 0) → trên đường y = 2x thì 2 2 (x,y) (0,0) (x,y) (0,0) 6x 6 lim f (x, y) lim 5x 5 → → = = . Vậy (x,y) (0,0) lim f (x,y) → không tồn tại.  Chương 1. Hàm số nhiều biến Hàm số liên tục • Hàm số f(x, y) xác định trong D chứa M 0 , ta nói f(x, y) liên tục tại M 0 nếu tồn tại 0 0 (x,y ) ( x ,y ) lim f (x, y) → và 0 0 0 0 (x,y ) ( x ,y ) lim f (x,y) f (x ,y ) → = . • Hàm số f(x, y) liên tục trong D nếu liên tục tại mọi điểm M thuộc D. • Hàm số f(x, y) liên tục trong miền đóng giới nội D thì đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trong D.  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 8. Xét tính liên tục của hàm số: 2 2 xy , (x,y) (0,0) x y f (x,y) 0, (x, y) (0,0)  ≠  + =   =  . Giải Với (x, y) (0,0)≠ thì f(x, y) xác định nên liên tục. Tại (0,0) ta có (x,y ) (0,0 ) lim f (x,y) → không tồn tại (xem VD7). Vậy f(x, y) liên tục trên 2 \{(0,0)} ℝ .  Chương 1. Hàm số nhiều biến §2. ĐẠO HÀM RIÊG – VI PHÂ 2.1. Đạo hàm riêng a) Đạo hàm riêng cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác định trên D chứa M 0 (x 0 , y 0 ). Nếu hàm số 1 biến f(x, y 0 ) (y 0 là hằng số) có đạo hàm tại x = x 0 thì ta gọi đạo hàm đó là đạo hàm riêng theo biến x của hàm số f(x, y) tại (x 0 , y 0 ). Ký hiệu: x 0 0 f (x , y ) hay / x 0 0 f (x , y ) hay 0 0 f (x , y ). x ∂ ∂ Vậy / 0 0 0 0 x 0 0 x 0 f (x x, y ) f (x ,y ) f (x ,y ) lim . x ∆ → + ∆ − = ∆  Chương 1. Hàm số nhiều biến • Tương tự ta có đạo hàm riêng theo biến y tại (x 0 , y 0 ) là: / 0 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) lim . ∆ → + ∆ − = ∆ y y f x y y f x y f x y y • Tại (x, y) tùy ý ta dùng ký hiệu: x f hay / x f hay . ∂ ∂ f x VD 1. Tính các đạo hàm riêng của hàm f(x, y) = x 4 – 3x 3 y 2 + 2y 3 – 3xy tại (–1; 2). Giải. Ta có: / 3 2 2 / 4 9 3 ( 1;2) 46= − − ⇒ − = − x x f x x y y f . / 3 2 / 6 6 3 ( 1;2) 39= − + − ⇒ − = y y f x y y x f .  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 2. Tính các đạo hàm riêng của hàm z = x y (x > 0). Giải / 1 , − = y x z yx / ln .= y y z x x VD 3. Tính các đạo hàm riêng của cos= x z y tại ( ; 4) π . Giải / / / 1 2 sin sin ( ;4) 8 π   = − = − ⇒ = −     x x x x x x z z y y y y , / / / 2 2 sin sin ( ;4) 32 y y y x x x x z z y y y y π π   = − = ⇒ =     .  Chương 1. Hàm số nhiều biến Chú ý • Với hàm n biến ta có định nghĩa tương tự. VD 4. Tính các đạo hàm riêng của 2 ( , , ) sin x y f x y z e z= . Giải 2 2 / 2 / ( ) sin 2 sin x y x y x x f x y e z xye z = = 2 2 / 2 / 2 ( ) sin sin x y x y y y f x y e z x e z= = 2 / cos x y z f e z = .  Chương 1. Hàm số nhiều biến b) Đạo hàm riêng cấp cao • Các hàm số f x , f y có các đạo hàm riêng (f x ) x , (f y ) y , (f x ) y , (f y ) x được gọi là các đạo hàm riêng cấp hai của f. Ký hiệu: ( ) 2 2 // 2 x xx x x f f f f f x x x ∂ ∂ ∂   = = = =   ∂ ∂ ∂   , ( ) 2 2 // 2 y yy y y f f f f f y y y   ∂ ∂ ∂ = = = =   ∂ ∂ ∂   , ( ) 2 // x xy xy y f f f f f y x y x ∂ ∂ ∂   = = = =   ∂ ∂ ∂ ∂   , ( ) 2 // y yx yx x f f f f f x y x y  ∂ ∂ ∂ = = = =   ∂ ∂ ∂ ∂   .  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 5. Tính các đạo hàm riêng cấp hai của 3 2 3 4 ( , ) y f x y x e x y y= + − tại ( 1; 1)− . Giải  Chương 1. Hàm số nhiều biến • Các đạo hàm riêng cấp hai của hàm n biến và đạo hàm riêng cấp cao hơn được định nghĩa tương tự. Định lý (Schwarz) • Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng fxy và fyx liên tục trong miền D thì fxy = fyx.  Chương 1. Hàm số nhiều biến 2.2. Vi phân a) Vi phân cấp 1 • Cho hàm số f(x, y) xác định trong 2 D ⊂ ℝ và 0 0 0 ( , )M x y D∈ , 0 0 ( , )M x x y y D+ ∆ + ∆ ∈ . Nếu số gia 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) f x y f x x y y f x y ∆ = + ∆ + ∆ − có thể biểu diễn dưới dạng: 0 0 ( , ) . .f x y A x B y x y α β ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ trong đó A, B là những số không phụ thuộc , x y∆ ∆ và , 0 α β → khi ( , ) (0,0) x y ∆ ∆ → , ta nói f khả vi tại M 0 .  Chương 1. Hàm số nhiều biến • Biểu thức . .A x B y∆ + ∆ được gọi là vi phân cấp 1 (toàn phần) của f ( x, y ) tại M 0 ( x 0 , y 0 ) ứng với , x y ∆ ∆ . Ký hiệu df(x 0 , y 0 ). • Hàm số f(x, y) khả vi trên miền D nếu f(x, y) khả vi tại mọi (x, y) thuộc D. hận xét • Nếu f ( x, y ) khả vi tại M 0 thì f ( x, y ) liên tục tại M 0 .  Chương 1. Hàm số nhiều biến • Từ 0 0 ( , ) . .f x y A x B y x y α β ∆ = ∆ + ∆ + ∆ + ∆ , ta suy ra: 0 0 0 0 ( , ) ( , ) . f x x y f x y A x x α + ∆ − = ∆ + ∆ 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim x f x x y f x y A x ∆ → + ∆ − ⇒ = ∆ . Tương tự 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) lim y f x y y f x y B y ∆ → + ∆ − = ∆ . Vậy / / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ). ( , ). x y df x y f x y x f x y y= ∆ + ∆ hay / / 0 0 0 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) x y df x y f x y dx f x y dy= + . Tổng quát: / / ( , ) ( , ) ( , ) , ( , ) . x y df x y f x y dx f x y dy x y D= + ∈  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 7. Tính vi phân cấp 1 của 2 3 5x y z x e xy y − = + − tại (–1; 1).  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 8. Tính vi phân cấp 1 của 2 2 ( , ) sin( ) x y f x y e xy − = . Giải  Chương 1. Hàm số nhiều biến Định lý • Nếu hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng liên tục tại M 0 trong miền D chứa M 0 thì f(x, y) khả vi tại M 0 . b) Vi phân cấp cao • Vi phân cấp 2: ( ) 2 2 2 // 2 // // 2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 ( , ) ( , ) . xy x y d f x y d df x y f x y dx f x y dxdy f x y dy = = + + • Vi phân cấp n: ( ) 1 ( ) 0 ( , ) ( , ) ( , ) − − − = = = ∑ k n k n n n k n k n k n x y k d f x y d df x y C f x y dx dy .  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 9. Tính vi phân cấp 2 của 2 3 2 3 5 ( , ) 3= + −f x y x y xy x y tại (2; –1). Giải  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 10. Tính vi phân cấp 2 của 2 ( , ) ln( )=f x y xy . Giải  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 11. Tính vi phân cấp 3 của 3 2 z x y= . Giải  Chương 1. Hàm số nhiều biến 2.3. ðạo hàm của hàm số hợp • Cho hàm số f(u, v), trong đó u = u(x) và v = v(x) là những hàm số của biến x. Nếu f(u, v) là hàm khả vi của biến u, v và u(x), v(x) các hàm khả vi của x thì: / / . . u v df du dv f f dx dx dx = + Trong đó , , df du dv dx dx dx là các đạo hàm toàn phần theo x .  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 12. Cho 2 2 ( , ) 2 , , sin x f u v u uv v u e v x − = − + = = . Tính df dx .  Chương 1. Hàm số nhiều biến • Nếu hàm số f(x, y) khả vi của biến x, y và y = y(x) là hàm khả vi của biến x thì: / / . x y df dy f f dx dx = + VD 13. Cho 2 2 2 ( , ) ln( ), sin= + =f x y x y y x . Tính df dx .  Chương 1. Hàm số nhiều biến 2.4. ðạo hàm của hàm số ẩn • Cho hai biến x, y thỏa phương trình F(x, y) = 0 (*). Nếu y = y(x) là hàm số xác định trong 1 khoảng nào đó sao cho khi thế y(x) vào (*) ta được đồng nhất thức thì y = y(x) là hàm số n xác định bởi (*). • Đạo hàm hai vế (*) theo x, ta được: / / ( , ) ( , ). 0 x y F x y F x y y ′ + = / / / ( , ) ( , ) , ( , ) 0 x y y F x y y F x F y x y ′ ⇒ = ≠− .  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 14. Xác nh hàm s Nn y ( x ) trong phương trình x 2 + y 2 – 4 = 0 .  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 15. Cho 0− + = x y xy e e . Tính ( ) y x ′ .  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 16. Cho 3 2 4 ( 1) 0+ + + =y x y x . Tính ′ y .  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 17. Cho 2 2 ln + = y x y arctg x . Tính ′ y .  Chương 1. Hàm số nhiều biến Tương tự: đối với hàm ẩn hai biến • Cho hàm s Nn hai bin z = f(x, y) xác nh bi phương trình F(x, y, z) = 0, vi / ( , , ) 0≠ z F x y z ta có:  / / / ( , , ) ( , , ). ( , ) 0 x z x F x y z F x y z z x y+ = / / / ( , , ) ( , ) ( , , ) x x z F x y z z x y F x y z = −⇒ .  / / / ( , , ) ( , , ). ( , ) 0 y z y F x y z F x y z z x y+ = / / / ( , , ) ( , , ) ., ) ( y y z F x y z z x y F x y z = −⇒  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 18. Cho hàm Nn z(x, y) tha phương trình: cos( )= + +xyz x y z . Tính / / , x y z z .  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 19. Cho hàm Nn z(x, y) tha phương trình mt cu: 2 2 2 2 4 6 2 0x y z x y z+ + − + − − = . Tính / y z .  Chương 1. Hàm số nhiều biến §3. CỰC TRỊ CỦA HÀM HAI BIẾN SỐ 3.1. Định nghĩa • Hàm s z = f(x, y) t cc tr (địa phương) ti im M 0 (x 0 ; y 0 ) nu vi mi im M(x, y) khá gn nhưng khác M 0 thì hiu f(M) – f(M 0 ) có du không i. • N u hiu f(M) – f(M 0 ) > 0 thì f(M 0 ) là cực tiểu và M 0 là điểm cực tiểu ca z. • N u hiu f(M) – f(M 0 ) < 0 thì f(M 0 ) là cực đại và M 0 là điểm cực đại ca z. Cực đại và cực tiểu gọi chung là cực trị. VD 1. Hàm s f ( x, y ) = x 2 + y 2 – xy t cc tiu ti O(0; 0).  Chương 1. Hàm số nhiều biến 3.2. Định lý a) Điều kiện cần • N u hàm s z = f(x, y) t cc tr ti M 0 (x 0 , y 0 ) và ti ó hàm s có o hàm riêng thì: / / 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0. x y f x y f x y= = Chú ý • im M 0 tha / / 0 0 0 0 ( , ) ( , ) 0= = x y f x y f x y ưc gi là điểm dừng, M 0 có th không là im cc tr ca z.  Chương 1. Hàm số nhiều biến b) Điều kiện đủ • Gi s f(x, y) có im dng là M 0 và có o hàm riêng cp hai ti lân cn im M 0 . t 2 2 // // // 0 0 0 0 0 0 ( , ), ( , ), ( , ) = = = xy x y A f x y B f x y C f x y . Khi đó:  N u AC – B 2 > 0 và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu ti im M 0 ; AC – B 2 > 0 và A < 0 thì hàm số đạt cực đại ti im M 0 .  N u AC – B 2 < 0 thì hàm s không có cực trị (im M 0 ưc gi là điểm yên ngựa).  N u AC – B 2 = 0 thì chưa th kt lun hàm s có cc tr hay không (ta dùng nh nghĩa  xét).  Chương 1. Hàm số nhiều biến 3.3. Cực trị tự do • Cho hàm s z = f(x, y).  tìm cc tr ca hàm f(x, y) trên MXĐ D, ta thc hin các bưc sau: Bước 1. Tìm im dng M 0 (x 0 ; y 0 ) bng cách gii h: / 0 0 / 0 0 ( , ) 0 ( , ) 0  =   =   x y f x y f x y . Bước 2. Tính 2 // // 0 0 0 0 ( , ), ( , )= = xy x A f x y B f x y , 2 // 2 0 0 ( , )= ⇒ ∆ = − y C f x y AC B . Bước 3. Da vào iu kin   kt lun.  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 2. Tìm im dng ca hàm s z = xy(1 – x – y).  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 3. Tìm cc tr ca hàm s z = x 2 + y 2 + 4x – 2y + 8.  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 4. Tìm cc tr ca hàm s z = x 3 + y 3 – 3xy – 2.  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 5. Tìm cc tr ca hàm s z = 3x 2 y + y 3 – 3x 2 – 3y 2 + 2.  Chương 1. Hàm số nhiều biến 3.4. Cực trị có điều kiện • Cho hàm s z = f(x, y) xác nh trên lân cn ca im M 0 (x 0 ; y 0 ) thuc ưng cong ( , ) 0 ϕ = x y . N u ti im M 0 hàm s f(x, y) t cc tr thì ta nói im M 0 là im cc tr ca f(x, y) vi iu kin ( , ) 0 ϕ = x y . •  tìm cc tr có iu kin ca hàm s f(x, y) ta dùng phương pháp khử hoc nhân tử Lagrange .  Phương pháp khử • T phương trình ( , ) 0 ϕ =x y , ta rút x hoc y th vào f(x, y) và tìm cc tr ca hàm 1 bin.  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 6. Tìm cc tr ca hàm s: f(x, y) = x 2 + y 2 – xy + x + y vi iu kin x + y + 3 = 0. VD 7. Tìm cc tr ca hàm s: f(x, y) = xy vi iu kin 2x + 3y – 5 = 0.  Chương 1. Hàm số nhiều biến  Phương pháp nhân tử Lagrange • Bước 1. Lp hàm Lagrange: ( , , ) ( , ) ( , ) λ λϕ = + L x y f x y x y , λ là nhân tử Lagrange. • Bước 2. Gii h: / / / 0, 0, 0 x y L L L λ = = = ⇒ im dng M 0 (x 0 ; y 0 ) ng vi λ 0 . • Bước 3. Tính vi phân cp hai ti M 0 (x 0 ; y 0 ) ng vi λ 0 : 2 2 2 '' 2 '' '' 2 0 0 0 0 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) xy x y d L M L M dx L M dxdy L M dy = + + .  Chương 1. Hàm số nhiều biến Điều kiện ràng buộc: / / 0 0 0 0 0 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0 x y d x y x y dx x y dy ϕ ϕ ϕ = ⇒ + = (1) và (dx) 2 + (dy) 2 > 0 (2). • Bước 4. T iu kin (1) và (2), ta có:  N u 2 0 0 ( , ) 0>d L x y thì hàm s đạt cực tiểu ti M 0 .  N u 2 0 0 ( , ) 0 < d L x y thì hàm s đạt cực đại ti M 0 .  N u 2 0 0 ( , ) 0 = d L x y thì im M 0 không là im cc tr.  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 8. Tìm cc tr ca hàm s f(x, y) = 2x + y vi iu kin x 2 + y 2 = 5.  Chương 1. Hàm số nhiều biến VD 9. Tìm cc tr ca hàm s z = xy vi iu kin 2 2 1 8 2 + = x y .  Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI §1. TÍCH PHÂ BỘI HAI (KÉP) 1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) 1.2. Định nghĩa 1.3. Tính chất của tích phân kép 1.4. Phương pháp tính tích phân kép §2. TÍCH PHÂ BỘI BA 2.1. Bài toán mở đầu (khối lượng vật thể) 2.2. Định nghĩa 2.3. Phương pháp tính tích phân bội ba §3. ỨG DỤG CỦA TÍCH PHÂ BỘI 3.1. Diện tích, thể tích 3.2. Giá trị trung bình của hàm số trên miền đóng 3.3. Khối lượng 3.4. Momen tĩnh 3.5. Trọng tâm 3.6. Momen quán tính  Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI §1. Tích phân bội hai (kép) 1.1. Bài toán mở đầu (thể tích khối trụ cong) • Xét hàm số z = f(x,y) liên tục, không âm và một mặt trụ có các đường sinh song song với Oz, đáy là miền phẳng đóng D trong mặt phẳng Oxy.  Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI  tính th tích khi tr, ta chia min D thành n phn không dm nhau, din tích mi phn là ∆S i ( ) 1,i n= . N hư vy khi tr cong ưc chia thành n khi tr nh. Trong mi ∆S i ta ly im M i (x i ; y i ) tùy ý. Ta có th tích ∆V i ca khi tr nh là: 1 ( ; ) ( , ) n i i i i i i i i V f x y S V f x y S = ∆ ≈ ∆ ⇒ ≈ ∆ ∑ . Gi { } max ( , ) , i i d d A B A B S= ∈ ∆ là đường kính ca i S∆ .  Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI Ta có: max 0 1 lim ( , ) i n i i i d i V f x y S → = = ∆ ∑ . Khi ó 1 ( , ) n n i i i i I f x y S = = ∆ ∑ ưc gi là tổng tích phân ca hàm f(x, y) trên D (ng vi phân hoch ∆S i và các im M i ).  Chương 2. TÍCH PHÂN BỘI 1.2. Định nghĩa • N u max 0 1 lim ( , ) i n i i i d i I f x y S → = = ∆ ∑ tn ti hu hn, không ph thuc vào phân hoch ∆S i và cách chn im M i thì s thc I ưc gi là tích phân bội hai ca f(x, y) trên D. Ký hiệu ( , ) D I f x y dS= ∫∫ . biến TOÁN CAO CẤP A3 ĐẠI HỌC 1. Đại cương về hàm số nhiều biến 2. Đạo hàm – Vi phân 3. Cực trị của hàm số nhiều biến PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH Số tiết học: . (chủ biên) – XBĐHQG TP. HCM. 1. Giáo trình Toán cao cấp A3 – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP. HCM. 2. Ngân hàng câu hỏi Toán cao cấp – guyễn Phú Vinh – ĐHC TP.HCM.