HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH - TOÁN CAO CẤP

2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A-1B, tức là:

1 C2. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 1 1 Các khái niệm 2 2 HPTTT Crame 3 3 Phương pháp Gauss 4 4 HPTTT Thuần nhất 4 4 Một số ứng dụng 2 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I.1. Dạng tổng quát hệ phương trình tuyến tính: 1. Định nghĩa: là một hệ phương trình đại số bậc nhất gồm m phương trình n ẩn có dạng:        =++ =++ =++ mnmn2 2m 1 1m 2n n2 2 22 1 21 1n n1 2 12 1 11 bxa .xaxa . bxa .xaxa bxa .xaxa x j là biến a ij được gọi là hệ số (của ẩn) b i : được gọi là hệ số tự do 3 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 2. Ma trận các hệ số:             = mn a . 2m a 1m a n2 a . 22 a 21 a n1 a . 12 a 11 a A 3. Ma trận cột của ẩn và ma trận cột của hệ số tự do: [ ] T n x . 2 x 1 x n x . 2 x 1 x X ==             [ ] T m b . 2 b 1 b m b . 2 b 1 b B ==             Hệ phương trình (1) có thể viết: AX = B 4 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4. Ma trận bổ sung:             = m 2 1 mn2m1m n22221 n11211 b . b b a .aa a .aa a .aa A 5 I. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.2. Điều kiện tồn tại nghiệm: • Định lý (Định lý Kronecker – Capelli): Hệ phương trình tuyến tính (1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma trận bổ sung . Ví dụ: Xác định tham số a để phương trình có nghiệm:      =++ =++ =++ 1axxx 1xaxx 1xxax 321 321 321 6 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME 2.1. Định nghĩa: Hệ phương trình Crame là một hệ phương trình tuyến tính n phương trình, n ẩn và định thức của ma trận hệ số khác không. 2.2. Định lý Crame: Hệ phương trình Crame có nghiệm duy nhất tính bằng công thức X = A -1 B, tức là: )Adet( )Adet( x j j = Trong đó A j là ma trận thu được từ A bằng cách thay cột thứ j bằng cột các phần tử tự do. 7 II.HỆ PHƯƠNG TRÌNH CRAME Ví dụ: Giải hệ phương trình:      =+−− =++− =+ 8x3x2x 30x6x4x3 6x2x 321 321 31 8 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS 3.1. Định nghĩa: Hệ phương trình tuyến tính có số phương trình và số ẩn khác nhau hoặc định thức ma trận các hệ số bằng không. 3.2. Phương pháp: Sử dụng các phép toán sơ biến ma trận bổ sung về dạng ma trận bậc thang.             = m 2 1 mn2m1m n22221 n11211 b b b a .aa a .aa a .aa A 9 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS • m = n:             → m 2 1 nn n222 n11211 'b 'b 'b 'a .00 'a .'a0 'a .'a'a A        = =+ =++ nn ' nn 2n ' n22 ' 22 1n ' n12 ' 121 ' 11 'bxa . . 'bxa .xa 'bxa .xaxa 10 III.PHƯƠNG PHÁP GAUSS Ví dụ: Giải hệ phương trình:      =++ −=−+ =++ 7x7x11x4 2x2xx3 4x3x4x2 321 321 321 . )ba(P)ba(P)ba( 20 2 022 222 121 21 101 021 2 121 1111    −=+ −=+ 20 222 121 1 021 2111 cPcPc cPcPc Ví dụ: Thị trường có 2 sản phẩm như sau: • Sản phẩm 1: • Sản phẩm 2: 21 d. DỤNG 2. Thị trường 2 loại hàng hóa: • Sản phẩm 1: Mô hình cân bằng:      = = 22 11 ds ds QQ QQ 21 211110d 21 211110s PbPbbQ PaPaaQ 1 1 ++= ++= 22 2 121 20d