Giải bài toán bằng cách lập phương trình , hệ phương trình

Giải bài toán bằng cách lập phương trình , hệ phương trình

Phần mở đầu

Lý do chọn đề tài:

Dạng toán “Giải bải toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình” ở chơng

trình đại số lớp 8, lớp 9 trong trờng THCS là một dạng toán tơng đối khó đối với họcsinh Do đặc trng cuả loại toán này thờng là loại toán có đề bài bằng lời văn và thờng

đợc kết hợp giữa toán học, lý học và hoá học

Hầu hết các bài toán có dữ liệu giằng buộc lẫn nhau buộc học sinh phải có suyluận tốt mới tìm đợc mối liên quan giữa các đại lợng để lập đợc phơng trình hoặc hệphơng trình

Trong phân phối chơng trình toán ở trờng THCS thì ở lớp 8 học sinh mới đợchọc khái niệm về phơng trình, nhng việc giải phơng trình đã có trong chơng trình toán

từ các lớp dới với mức độ và yêu cầu đơn giản hơn

Đặc thù riêng của loại toán này là hầu hết các bài toán đều đợc gắn liền với nộidung thực tế Vì vậy mà việc chọn ẩn thờng là những đại lợng có liên quan đến thực

tế Do đó khi giải bài toán học sinh thờng mắc sai lầm là thoát ly khỏi thực tế dẫn đếnquên điều kiện của ẩn số Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giằng buộc trongthực tế từ những lý do dẫn đến hầu hết học sinh rất ngại giải dạng toán này Mặtkhác trong quá trình giảng dạy cho học sinh do điều kiện khách quan giáo viên chỉdạy cho học sinh truyền thụ theo sách giáo khoa mà cha biết phân loại dạng toán, chakhai thác đợc phơng pháp giải cho mỗi dạng toán, do kỹ năng phân tích, tổng hợp củahọc sinh còn yếu vì thế trong quá trình đặt ẩn , mỗi liên hệ giữa các số liệu trong bàitoán dẫn đến lúng túng trong việc giải dạng toán này

Vì thế muốn giải đợc bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ phơng trình điềuquan trọng là phải biết diễn đạt những mối liên hệ trong bài toán thành những quan hệtoán học Do vậy nhiệm vụ của những ngời thầy là phải dạy cho học sinh cách dẫngiải bài tập Vì vậy khi hớng dẫn cho học sinh học về giải dạng toán bằng cách lập

PT, hệ PT phải dựa trên các nguyên tắc sau:

+ Yêu cầu về giải bài toán

+ Quy tắc giải bài toán về cách lập phơng trình

+ Phân loại dạng toán dựa vào quá trình biến thiên của các đại lợng ( tănggiảm, thêm bớt )

+ Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa các đại lợng dẫn đến lập đợc PT, hệ PT dễdàng

1

Với mong muốn trao đổi với bạn bè đồng nghiệp những kinh nghiệm trong quá

trình giảng dạy về dạng toán “ Giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT” vì thế tôi đã

chọn đề tài “ Dạy giải bài toán bằng cách lập PT, hệ PT”

Trong quá trình giảng dạy tại trờng THCS tôi không ngừng học hỏi từ bạn bè

đồng nghiệp, từ tài liệu tham khảo, đặc biệt là đợc sự hớng dẫn tận tình của Giáo s LêMậu Hải – Giảng viên khoa Toán - Tin trờng ĐHSP Hà Nội đã giúp tôi hoàn thành

đề tài này

Nội dung

Ch ơng I Phơng pháp nghiên cứu và yêu cầu giải một bài toán

+ Chọn ẩn ( Chỉ rõ đơn vị và điều kiện của ẩn)

+ Biểu thị các số liệu cha biết và đã biết qua ẩn

+ Dựa vào mối quan hệ giữa các số liệu để lập PT, hệ PT

3

giữa ẩn và các dữ kiện đã cho phải làm nổi bật đợc ý phải tìm Nhờ mối tơng quangiữa các đại lợng trong bài toán thiết lập đợc phơng trình, từ đó tìm đợc các giá trị của

ẩn Muốn vậy giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ đâu là ẩn, đâu là dữ kiện,

đâu là điều kiện Điều kiện có đủ để xác định đợc ẩn hay không Từ đó mà xác định

đợc hớng đi, xây dựng đợc lời giải

Ví dụ 2:

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng là 5m Tính chu vi củamảnh đất đó Biết diện tích của mảnh đất là 500m2

*Phân tích đề bài:

Nếu chiều dài cuả mảnh đất HCN là x (m)  chiều rộng là x – 5 (m)

Khi đó diện tích của mảnh đất HCN là x (x - 5)(m2)

* Giải:

Gọi chiều dài mảnh đất HCN là x ( 0<x<500; m)

Chiều rộng của mảnh đất HCN là 500m2 nên ta có

Chiều rộng của mảnh đất HCN là 25 – 5 = 20(m)

Lời giải phải giải thích đầy đủ mang tính toán diện Hớng dẫn học sinh không

đợc bỏ sót khả năng, chi tiết nào, không thừa, không thiếu Rèn cho học sinh cáchkiểm tra lại lời giải xem đã đầy đủ cha Kết quả cảu bài toán đã là đại diện phù hợpvới mọi cách cha Nếu thay đổi điều kiện của bài toán rơi vào trờng hợp đó thì kết quảvẫn luôn đúng

Ví dụ 3:

Một cạnh của tam giác có chiều cao bằng

4

3 cạnh đáy nếu chiều cao tăng thêm3cm và cạnh đáy giảm đi 5cm thì diện tích tam, giác đó bằng 9/10 diện tích tam giácban đầu Tính chiều cao và diện tích của tam giác ban đầu

Gọi cạnh đáy của tam giác ban đầu là x ( x>5 ; cm)

 Chiều cao của tam giác ban đầu là

 Diện tích cuả tam giác mới là 3  5 : 2

Chiều cao của tam giác ban đầu là

4

3.20 = 15 (cm)5

4 Yêu cầu 4:

Lời giải bài toán phải đơn giản, phù hợp với kiến thức trình độ của học sinh, đại

đa số học sinh có thể hiểu và áp dụng đợc

Ví dụ 4:

Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác

đ-ợc 50 tấn than Khi thực hiện mỗi ngày đội khai thác đđ-ợc 57 tấn than do đó đội đãhoàn thành kế hoạch trớc một ngày và còn vợt mức 13 tấn than Hỏi theo kế hoạch độiphải khai thác bao nhiêu tấn than

Giải:

Gọi x là số tấn than mà đội phải khai thác theo kế hoạch ( x nguyên, dơng)

Số ngày mà đội khai thác theo kế hoạch là

50

x

Thực tế đội khai thác đợc x + 13 ( tấn)

Số ngày mà đội khai thác theo thực tế là

1 



= -3,2 ( lo¹i)VËy BH = 1,8m

Ch ơng II Phân loại dạng toán: “ Giải bài toán bằng cách lập phơng trình , hệ phơng trình” và các giai đoạn giải một bài toán.

I Phân loại dạng toán: “ Giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ PT”

Trong chơng trình lớp 8, 9 giải bài toán bằng cách lập phơng trình, hệ PT có thểphân loại nh sau:

1 Loại toán về chuyển động

2 Loại toán có liên quan đến số học

3 Loại toán về năng suất lao động

4 Loại toán liên quan đến công việc làm chung, làm riêng

5 Loại toán về tỷ lệ chia phần ( thêm bớt, tăng, giảm ….) )

6 Loại toán có liên quan đến hình học

7 Loại toán liên quan đến vật lý hóa học

8 Loại toán về xác định các hệ số cuả một đa thức

9 Dạng toán có cha tham số

- Với bài toán bằng cách lập phơng trình bậc 2 là bài toán sau khi xây dựng

ph-ơng trình biến đổi tph-ơng đph-ơng về dạng ax2 + bx + c = 0 ( a 0)

- Với bài toán giải toán bằng hệ PT bậc nhất hai ẩn là dạng toán sau khi biến

đổi tơng đơng về dạng nguyên ( nh mẫu số ) có dạng :

ax + by = c (Trong đó a; a’; b; b’ không đồng thời bằng 0)

Giai đoạn 4: Giải PT phải vận dụng các kỹ thuật giải PT đã biết để tìm nghiệmcuả PT

Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm của PT, để xác định lời giải của bài toán, tức

là xét nghiệm cuả PT với điều kiện đặt ra của bài toán, với hiện thực xem có phù hợpkhông

Giai đoạn 6: Trả lời bài toán kết luận xem có mấy nghiệm ( sau khi đã thử lại)Giai đoạn 7: Phân tích biện luận cách giải, phần này thờng mở rộng cho họcsinh khá, giỏi Sau khi giải xong có thể gợi ý cho học sinh biến đổi bài toán thành bàitoán khác, ta có thể

- Giữ nguyên ẩn số, thay đổi các yếu tố khác

- Giữ nguyên giữ kiện, thay đổi các yếu tố khác nhằm phát triển t duy học sinh

- Giải bài toán bằng cách khác, Tìm cách giải hay nhất

9

Ch ơng III Những loại bài toán và hớng dẫn học sinh giải bài toán

I Dạng toán chuyển động:

1 Bài toán 1:

Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 8h sáng dự kiến đến Hải Phòng lúc 10h30’ Nhngmỗi giờ ô tô lại đi chậm hơn so với dự kiến là 10km nên mãi đến 11h20’ xe mới đếnHải Phòng Tính quãng đờng từ Hà Nội đến Hải Phòng

* Phân tích đề bài:

Đây là loại toán chuyển động mà vận tốc đợc chia làm hai giai đoạn:

Giai đoạn 1: Ô tô đi với vận tốc dự định

Giai đoạn 2: Ô tô đi với vận tốc thực tế

* Phân tích bài toán:

- Thời gian ô tô đi đợc chia làm 3 giai đoạn

+ Giai đoạn 1: Ô tô đi với vận tốc dự định

+ Giai đoạn 2: Ô tô dừng lại để sửa chữa

+ Giai đoạn 3: Ô tô đi với vận tốc mới

- Thời gian dự định bằng thời gian thực tế

Quãng đờng còn lại là: 120 –x (km)

Theo đầu bài ta có PT:

x

120 = 1 +

6

1 +

 Vận tốc của xuồng máy là x+ 12 (km/h)

Thời gian bè gỗ trôi cho đến khi gặp xuồng máy là:

20



x =

3 16

 x2 + 12x – 45 = 0

Giải PT ta đợc x1 = 3 (T/mđk)

11

x2 = - 15 ( loại)Vậy vận tốc của bè gỗ là 3km/h

Tóm lại:

Với các bài toán minh họa ở trên giáo viên phần nào đã hình thành cho học sinhlàm quen với việc giải các bài toán chuyển động bằng cách lập PT ở đây mới chỉ nêucách giải đại điện cho các dạng PT bậc nhất, bậc 2

Trong các bài toán về chuyển động học sinh cần nhớ và nắm chắc mối liên hệgiữa các đại lơng vận tốc, quãng đờng và thời gian Thông thờng một trong 3 đại lợng

đó đợc chọn là ẩn số Một đại lợng đã đợc xác định là phải biểu thị đại lợng còn lạitheo ẩn dựa vào mỗi liên hệ trong bài toán để lập PT hoặc hệ PT

Trong bài toán chuyển động có thể chia thành nhiều dạng nhỏ

+ Nếu 2 chuyển động ngợc chiều thì sau một thời gian 2 chuyển động gặp nhau

ta có s1 + s2 = khoảng cách ban đầu

+ Nếu 2 chuyển động cùng chiều nhau thì sau một thời gian 2 chuyển độngcùng nhau ta có: s1 – s2 = khoảng cách ban đầu (s1 >s2)

+ Nếu chuyển động cùng một quãng đờng thì vận tốc và thời gian là hai đại ợng tỷ lệ nghịch với nhau

l-+ Nếu chuyển động trên đoạn đờng không đổi từ A đến B rồi từ B về A Biếttổng thời gian thực tế của chuyển động thì

Tổng thời gian – Thời gian đi + Thời gian về

+ Nếu là chuyển động trên dòng nớc thì:

Vận tốc xuối dòng = Vận tốc thực + Vận tốc dòng nớc

Vận tốc ngợc dòng = Vận tốc thức – Vận tốc dòng nớc

Vận tốc xuôi dòng – Vận tốc ngợc dòng = 2 lần vận tốc dòng nớc

II Dạng toán liên quan đến số học.

1 Bài toán 1: Tìm số có 2 chữ số biết rằng tổng hai chữ số là 7 và nếu viết

thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta đợc số mới lớn hơn số đã cho là 360 đơn vị

* Phân tích bài toán:

Với số có 2 chữ số ab = 10a + b

Với số có 3 chữ số abc = 100a + 10b + c

Khi viết thêm một chữ số vào giữa hai chữ số của số đã cho thì số đó trở thành

số có 3 chữ số Trong đó chữ số hàng chục của số ban đầu trở thành chữ số hàng trămcủa số mới còn chữ số hàng đơn vị của số ban đầu trở thành chữ số hàng đơn vị củachữ số mới

Giải

Gọi chữ số hàng dơn vị của số ban đầu là x ( xN; x 7)

Cho một số có hai chữ số Nếu đổi chỗ x chữ số của nó thì đợc một số lớn hơn

số đã cho là 63 Tổng của số đã cho và số mới tạo thành là 99 Tìm số đã cho

Theo đầu bài ta có PT, hệ PT 10y + x – 10x –y = 63

10x = y +10y +x = 99

 - 9x +9y = 63

11x + 11y = 99Giải hệ ta đợc x = 1; y = 8 ( TMĐK)

2 Cha bình phơng x Y x + y = 17

x2 + y2 = 157Bình phơng x2 y2

Giải Cách 1:

Vậy hai số phải tìm là 6 và 11

* Tóm lại:

+ Với dạng toán liên quan đến số học ở trên cần cho học sinh hiểu đợc mốiquan hệ giữa các số Đặc biệt giữa các số giữa hàng đơn vị và hàng chục, hàng trămbiểu diễn dới dạng chính tắc của nó

Ví dụ:

ab = 10a + b

abc = 100a + 10b + c

+ Khi đổi chỗ vị trí các chữ số cho nhau thì giá trị của mỗi chữ số có sự thay

đổi tơng ứng với vị trí mới

III Dạng toán về năng suất lao động ( tỷ số %)

1 Bài toán 1: Trong tháng đầu hai tổ công nhân sản xuất đợc 800 chi tiết máy.Sang tháng thứ 2 tổ 1 sản xuất vợt mức 15%, tổ 2 sản xuất vợt mức 20% Do đó cuốitháng cả hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ công nhânsản xuất đợc bao nhiêu chi tiết máy

* Phân tích bài toán:

- Đã biết năng suất của hai đội trong tháng đầu là 800 chi tiết máy Nên nếubiết 1 trong 2 tổ ta sẽ tính đợc tổ kia

- Nếu ta chọn ẩn số là năng suất tháng đầu  tính đợc tổng chi tiết sản xuấttrong tháng sau Từ đó tính đợc năng suất của từng tổ tháng sau để xây dựng PT:

Giải:

Gọi x là số chi tiết máy của tổ 1 sản xuất trong tháng đầu ( 0<x< 800; x z)Gọi y là số chi tiết máy của tổ 2 sản xuất đợc trong tháng đầu

 Số chi tiết của tổ 2 là 800 – x ( chi tiết máy)

Tháng sau tổ 1 vợt mức định số chi tiết là x

100 15

Tháng sau tổ 2 vợt định mức số chi tiết là ( 800 - x)

100 20

Số chi tiết mà 2 tổ vợt mức trong tháng sau là 945 – 800 – 145

Theo đầu bài ta có PT:

Vậy trong tháng đầu tổ 1 sản xuất đợc 300 chi tiết máy

Trong tháng đầu tổ 2 snar xuất đợc 500 chi tiết máy

1,8%x + 2%y – 0,001 = 0,0384(2)

Giải hệ ta đợc x = 0,3

y = 1,7 ( TMĐK)Vậy số dân đầu năm 2002 cuả tỉnh đó ở vùng thành thị là 300.000 ngời

Giải

Gọi x là số ngày đội 1 làm một mình xong công việc ( x>12; ngày)

Gọi y là số ngày đọi 2 làm một mình xong công việc ( y>12, ngày)

Trong một ngày đội 1 làm đợc

x

1công việc

Trong 1 ngày đội 2 làm đợc

y

1công việc

Trong 1 ngày cả hai đội làm đợc

12

1 công việc

Ta có PT:

x

1+ 1y +

12 1

Khi cả hai đội làm chung đợc 8 ngày cả hai đội làm đợc

3

2 12

2

 công việc

Đội 2 làm với năng suất gấp đôi trong 1 ngày là 1y 2 2y

Theo đầu bài ta có PT: 3,5 2 13

y

Từ (1) và (2) ta có hệ PT: 1 1 121

y x

3,5 2 31

y

Giải hệ ta đợc x = 28 ( TMĐK)

y = 21Vậy đội 1 làm trong 28 ngày thì xong công việc

Đội 2 làm trong 21 ngày thì xong công việc

2 Bài toán 2:

Nếu 2 vòi nớc cùng chảy vào 1 bể thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ

nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ 2 chảy trong 12 phút thì đợc

Gọi x là thời gian vòi 1 chảy 1 mình đầy bể ( x>80; phút)

Gọi y là thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể ( y>80; phút)

Trong 1 phút vòi 1 chảy đợc

x

1( bể)

Trong 1 phút vòi 2 chảy đợc 1y ( bể)

Trong 1 giờ cả hai vòi chảy đợc

80

1bể

Khi mở vòi 1 trong 12 phút đợc 12y bể

Theo đầu bài ta có 1012 152

y

x ( 2)

Từ (1) và (2) ta có hệ PT: 1 1 801

y x

15

2 12 10





y x

17

Giải hệ PT ta đợc x = 120

y = 240Vậy vòi thứ nhất chảy một mình thì sau 120 phút đầy bể

Vòi thứ hai chảy một mình sau 24 phút đầy bể

3 Bài toán 3

Hai đội công nhân cùng làn công việc trong 16 ngày thì xong, nếu đội thứ nhấtlàm trong ba ngày và đội thứ hai làm trong 6 ngày thì đợc 25 % công việc Hỏi nếumỗi đội làm một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc

Giải:

Gọi x là thời gian đội 1 làm một mình xong công việc (x>16; ngày)

Gọi y là thời gian đội 2 làm một mình xong công việc ( y >16; ngày)

Một ngày đội 1 làm đợc

x

1công việc

Một ngày đội 2 làm đợc 1y công việc

Trong một ngày cả hai đội làm đợc

16

1 công việc

Đội 2 làm một mình trong 6 ngày làm đợc 6y công việc

Theo đầu bài ta có PT: 36 10025 41

y

Từ (1) và (2) ta có hệ PT: 1 1 161

y x

4

1 6 3





y x

Giải hệ PT ta đợc x = 24 ; y = 48 ( TMĐk)

Vậy đội 1 làm một mình trong 24 ngày sẽ hoàn thành công việc

Đội 2 làm một mình trong 48 ngày sẽ hoàn thành công việc

* Tóm lại

Với loại toán này cần làm cho học sinh thấy rõ đợc quan hệ giữa thời gian vànăng suất làm việc: Nếu công việc làm mất x ngày ( giờ) thì trong 1 ngày ( giờ) làm

Giải

Gọi số công nhân của đội là x ( xN*)

Sau khi tăng 5 ngời thì đội có x+5 ( ngời)

Số ngày hoàn thành công việc với x ngời là 420 (ngày)

Số ngày hoàn thành công việc với x+ 5 ngời là

5

420



x ( ngày)Theo đầu bài ta có PT: 7

5

420 420







x x

Giải PT ta đợc x1 = 15 ( TMĐK); x2 = - 20 ( Không TMĐK)

Vậy số công nhân của đội là 15 ngời

2 Bài toán 2:

Một đội xe cần trở 12 tấn hàng Khi làm việc do 2 xe cần điều đi nơi khác mỗi

xe pahir chở thêm 16 tấn hàng Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe

Gọi số xe của đội lúc đầu là x ( xe) ( xN; x 2)

Theo dự định mỗi xe phải chở

x

120 ( tấn hàng)

Theo đầu bài ta có PT: 120 16

VI Dạng toán có liên quan đến hình học

1 Bài toán 1:

Cho tam giác vuông tại A có AB = 8cm, AC = 6cm M là 1 điểm trên AB Qua

M kẻ các đờng thẳng // AC và BC chúng lần lợt cắt BC; AC tại P và Q Hãy xác định

điểm M để diện tích hình bình hành MNCD =

8

3diện tích tam giác ABC

* Phân tích đề bài:

SABC = AB  AC

2 1

AM

6 8

AN x

2

1 6 8 = 24 (cm2)

Theo đầu bài ta có PT: x ( 6 -

4

3x

) = 24 8 3

 x2 – 8x + 12 = 0  x1 = 2 ; x2 = 6 ( TMĐK)

Vậy điểm M cách A là 2cm hoặc 6cm

2 Bài toán 2:

Một khu vờn hình chữ nhật có chu vi là 280m Ngời ta làm một lối đi xung

quanh vờn ( thuộc đât trong vờn) rộng 2m tính kích thớc của vờn, biết rằng đất còn

lại trong vờn để trồng trọt là 4256m2

* Phân tích đề bài

N

MB