Phương pháp giải hệ phương trình trong kỳ thi tuyển sinh đh

Phương pháp giải hệ phương trình trong kỳ thi tuyển sinh ĐH Phương trình đối xứng loại 1: Một hệ phương trình ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại 1 nếu mỗi phương trình ta đổi vai trò của x, y cho nhau thì phương trình đó không đổi.

PHƯƠNG PHÁP GI I H PHƯƠNG TRÌNH TRONG KỲ THI TUY N SINH IH C BIÊN SO N: GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 Ph n m t: Các d ng h b n I H phương trình i x ng 1.Phương trình i x ng lo i a) nh nghĩa M t h phương trình n x, y c g i h phương trình i x ng lo i n u m i phương trình ta i vai trị c a x, y cho phương trình ó khơng i b) Tính ch t N u ( x0 , y0 ) m t nghi m h ( y0 , x0 ) nghi m S = x + y c) cách gi i  i u ki n S ≥ P  P = x y Ta bi n i ưa h ã cho (1) v h n S, P (2) (x;y) nghi m c a (1) ch (S,P) nghi mc c a (2) tho i mãn i u ki n: S − P ≥ v i m i (S;P) tìm c ta có (x;y) nghi m c a phương trình: X − SX + P = Gi s phương trình có nghi m X1, X2 + N u ∆ > X ≠ X nên h (1) có nghi m phân bi t ( X ; X ) ; ( X ; X ) + N u ∆ = X = X nên h có nghi m nh t ( X ; X ) + H có nh t m t nghi m tho mãn x ≥ ch h (2) có nh t nghi m (S;P) tho mãn ∆ = S − P ≥  S ≥ P ≥  VD 1: Gi i h phương trình  x + y + xy = H có nghi m (1;2), (2;1)  x + y + xy =  VD2: nh m h sau có nghi m  x + y + xy = m S: ≤ m ≤  x + y2 = m  2) H phương trình i x ng lo i -M t h phương trình n x, y c g i i x ng lo i n u h phương trình ta i vai trị x, y cho phương trình tr thành phương trình  x + x y = 10 y  VD:   y + y x = 10 x  b) Tính ch t - N u (x0 ; y0 ) nghi m c a h ( y0 ; x0 ) nghi m c) Cách gi i - Tr v v i v hai phương trình c a h ta c m t phương trình có d ng (x − y )[ f (x; y )] = x − y =  f ( x; y ) =  3x3 = x + y  Ví d : Gi i h phương trình sau:  2 3 y = y + x  HD: Tr hai phương trình c a h ta thu c 3( x3 − y ) = −( x − y ) ⇔ ( x − y )[3( x + y + xy ) + x + y ] = H ã cho tương ương v i  x − y = (I )  2  3 y = y + x Gi i (I) ta c x=y=0 ho c x=y=1  2 3( x + y + xy ) + x + y =  ( II )  3 y = y + x  Xét (II) T gi thi t ta suy x, y không âm N u x, y dương h vơ nghi m suy ta h có nghi m nh t x=y=0 K t lu n: H có nghi m x=y=0 x=y=1 3) H phương trình v trái ng c p b c II a) Các d ng b n  ax + bxy + cy = d  2 a1 x + b1 xy + c1 y = d1  b) Cách gi i + Xét trư ng h p y=0 xem có ph i nghi m hay không + t x=ty thay vào h r i chia phương trình c a h cho ta c phương trình b c theo t Gi i phương trình tìm t sau ó th vao m t hai phương trình c a h tìm x,y Phương pháp úng v trái phương trình ng c p b c n  x − 3xy + y = −1  Ví d : Gi i h  2  x + xy − y =  + D th y y=0 không ph i nghi m 2 2 t y − 3ty + y = −1 + t x=ty th vào h ta có  2 chia phương trình c a h cho ta 2 t y + 2ty − y =  có t = x = y t − 3t +  t ó th hai trư ng h p vào = −1 ⇔ 2t − t − = ⇒ ⇔ t = − x = − y t + 2t −   m t hai phương trình c a h gi i PH N HAI: M T S PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯ NG DÙNG TRONG GI I H I) PHƯƠNG PH P BI N I TƯƠNG ƯƠNG Phương pháp ch y u dùng k bi n i phương trình cu h dưa v phương trình ơn gi n có th rút x theo y ho c ngư c l i th vào phương trình khác c ah Ta xét ví d sau: Lo i 1) Trong h có m t phương trình b c nh t theo n x ho c n y Khi ó ta rút x theo y ho c y theo x th vào phương trình cịn l i  x ( y + 1)( x + y + 1) = x − x + 1(1)  Ví d 1) Gi i gh phương trình   xy + y + = x (2)  HD: Ta th y x=0 không ph i nghi m c a phương trình (2) t phương trình (2) ta có x2 − y +1 = thay vào phương trình (1) ta có x  x −  x −  x2  + x  = x − x + ⇔ ( x − 1) ( x3 + x − x − 1) = ( x − 1)( x − 1)   x  x  ( ) ⇔ ( x − 1) x3 + x − x =  x + y + xy ( x + y ) = xy  Ví d 2) Gi i h phương trình:   x + y + xy ( x − y ) = xy  Gi i: Ta có x=y=0 nghi m Các c p s (x,y) v i x=0, y ≠ ho c x ≠ 0, y=0 không nghi m 1  x + y + 2x + y =  Xét xy ≠ chia v phương trình cho xy ≠ ta c   + + 3x − y = x y  1 Suy − x − y = + = + y − 3x ⇔ x = y − x y Thay x=2y-1 vào phương trình th hai ta thu c: y − + y + y ( y − 1)( y − 3) = ( y − 1) y ⇔ y − + y 10 y − 11y + = y − y ( ) ⇔ 10 y − 19 y + 10 y − = ⇔ ( y − 1) 10 y − y + ⇔ y = 1; y = + 41 − 41 ;y = 20 20 ( ) ( y = 1; x = 1)  + 41 41 −  áp s :  y = ;x =    20 10    + 41 − 41 −  ;x = y=    20 10   Lo i 2) M t phương trình c a h có th ưa v d ng tích c a phương trình b c nh t hai n Khi ó ta ưa v gi i h phương trình tương ương  xy + x + y = x − y (1)  Ví d 1) Gi i h phương trình sau   x y − y x − = x − y (2)  i u ki n y ≥ 0; x ≥ x = − y Phương trình (1) ⇔ (x+y)(x-2y-1)=0 t ó ta có  thay l n lư t hai trư ng h p x = y +1 vào phương trình (2) gi i  x + y + x − y = + x − y (1)  Ví d 2)Gi i h phương trình:   x + y = 1(2)  Gi i: i u ki n x ≥ y ≥ (1) ⇔ ( x + y − 1) H ( ) x − y −1 =  x + y =    x + y =  ã cho tương ương v i:    x − y =  x + y =   x + y = x = x =  ⇔  gi i   x + y =1 y = y =1  x − y = x =  gi i  ⇔  x + y =1 y =  áp s : x=1,y=0 x=0, y=1 y −3  (1)  x+ y + x+3 = x Ví d 3) Gi i h phương trình:   x + y + x = x + 3(2)  Gi i: i u ki n x > 0, y ≥ y −3 y −3 Ta có: (1) ⇔ = x x+ y − x+3 V i y=3 ta có x + = ⇔ x = −3 (lo i)  x+ y − x+3 = x  V i y ≠ ta có   x+ y + x = x+3  Suy x + − x = x + y = x + x + Suy x + + x = ⇔ x = thay vào (2) ta c: y +1 = ⇔ y = x = áp s :  y = Chú ý: Trong m t s toán nhi u em c n c ng ho c tr phương trình c a h sau ó m i xu t hi n phương trình d ng tích  x + y + x y = 41  Ví d 4) Gi i h phương trình :  2  xy ( x + y ) = 10  ( ) ng th c: ( x + y ) = x + y + xy x + y + x y Gi i: S d ng h ng  x + y + x y = 41  HD: H ã cho tương ương v i  2 4 xy x + y = 40  c ng v v i v phương trình ta thu c: ( ( ) ) x + y + xy x + y + x y = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇔ x + y = ±3  x + y =   2   xy x + y = 10  h ã cho tương ương v i    x + y = −3   2   xy x + y = 10  x + y = x + y =    x + y = ⇔ ⇔ a) Xét  2    xy ( − xy ) = 10    xy ( x − y ) − xy  = 10  xy x + y = 10    x + y = −3    x + y = −3 b) Xét  ⇔ 2  xy ( − xy ) = 10  xy x + y = 10   ( ( ( ) ) ( ) ) Lo i 3) M t phương trình c a h phương trình b c theo m t n ch ng h n x n Khi ó ta coi y tham s gi i x theo y  (1)  y = (5 x + 4)(4 − x) Ví d 1) Gi i h phương trình sau  2 −5 x + y − xy + 16 x − y + 16 = ( )  HD: Coi phương trình (2) phương trình theo n y ta có (2) ⇔ y2 –4(x+2)y5x2+16x+16=0  y = 5x + Gi i y theo x ta có  thay l n lư t hai trư ng h p vào phương trình ta s gi i y = 4− x c nghi m c a h 2 x + xy + y =  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:   y + xy + x =  Tr hai phương trình c a cho ta có x − y + xy + y − x + = ⇔ y +1  x= 2 2 2 x + ( y − 5) x − y + y + = 0; ∆ = ( y − 5) − 8(− y + y + 2) = (3 y − 3) ⇒   x = 2− y  Thay l n lư t trư ng h p vào h ta gi i c x, y II) PHƯƠNG PHÁP T N PH i m m u ch t c a phương pháp ph i phát hi n n ph u=f(x,y) v=g(x,y) t ng phương trình c a h ho c sau phép bi n i Thông thư ng phép bi n i thư ng xoay quanh vi c c ng, tr phương trình c a h ho c chia v phương trình cho m t s h ng khác khơng có s n phương trình c a h tìm nh ng ph n chung mà sau ó ta t thành n ph  x + + y ( y + x) = y (1)  Ví d 1) Gi i h phương trình sau  (2)  x + ( y + x − 2) = y  HD: Ta th y y=0 không ph i nghi m c a h Chia hai v phương trình (1) (2) cho y ta có h tương ương sau  x2 + +x+ y =4  u + v = x2 +  y t u= ; v=x+y-2 ta có h sau  Gi i h tìm u,v  y x +1 uv = ( )( x + y − 2) =  y  ( ) sau ó tìm x, y  2 =7 4 xy + 4( x + y ) + ( x + y)  Ví d 2) Gi i h phương trình sau  i u ki n x+y ≠ 2 x + =3  x+ y  2  =7 3 ( x + y ) + ( x − y ) + (x + y)  ;v = x − y Khi ó ta có h sau  t u = x+ y+ x+ y x + y + + x − y =  x+ y  V i u ≥2 3u + v = 13 Thay vào ta có  Gi i h tìm u;v sau ó thay vào tìm x; y u + v =  x3 + y x + x + y + 3x − y + =  Ví d 3) Gi i h phương trình:  2 2 y + xy + y − 3x − =  ( x + 1)3 + ( x + 1) y = y  Gi i: H phương trình tương ương v i  ( x + 1) y + y = ( x + 1)  t u=x+1 u + uy = y  Ta có h m i  uy + y = 3u  D th y u=y=0 m t nghi m Xét y ≠ t u=ty th vào h sau ó chia hai v phương trình cho ta c phương trình m t n t ( ây m t bi n th c a h phương trình ng b c) ( x + y )(1 + xy ) = 18 xy  Ví d 4) Gi i h phương trình:  2 2 2  x + y + x y = 208 x y  Gi i: Ta có x=y=0 lànghi m Xét xy ≠ H phương trình tương ương v i (    ( x + y ) 1 +  = 18   xy    x + y 1 +  = 208  2    x y   ( ) ) u + v = 18 1 t u = x + , v = y + ta c  2 x y u + v = 208    ( x + y ) 1 +  =   xy  Ví d 5)Gi i h phương trình   xy + =  xy  Gi i: 1 u + v = i u ki n xy ≠ t u = x + , v = y + ta c h  y x uv =  x y   +  ( x + y ) = 15  y x  Ví d 6) Gi i h phương trình :  2  x + y  x + y = 85  y x    x y Gi i: t u = + , v = x + y Ta có: y x 2 x y + = u2 − 2 y x ( x + y = ( x + y ) − xy = v − xy ) u= x2 + y ⇔ u.xy = x + y xy v2 u+2 2v uv 15v Suy x + y = v − = = ( uv=15) u+2 u+2 u+2 uv = 15  Ta c h   15v  ( u − )  u +  = 85    Suy u.xy = v − xy ⇒ xy =  x y + y + x = xy  Ví d 7) Gi i h :  1 x  x + xy + y =  Gi i: i u ki n xy ≠ 1  x + x + x + y =  h phương trình tương ương v i   1    x+  +  =  x  x y   u + v = u = 1 t u = x + , v = + ta c:  ⇔ x x y uv = v =  x + x =  H phương trình tương ương v i  ⇔ ( x = 1, y = 1) 1 + = x y  III) PHƯƠNG PHÁP HÀM S Lo i 1) M t phương trình c a h có d ng f(x)=f(y) M t phương trình cho ta bi t t p giá tr c a x ho c y T ó suy hàm f(x) ơn i u suy x=y  x3 − 5x = y3 − y (1)  Ví d 1) Gi i h phương trình sau  ( 2) x + y =  T phương trình (2) ta suy x , y ≤ Xét phương trình f ( x) = x3 − x v i x ∈ [ −1;1] ; f '( x) = x − < 0∀x ∈ [ −1;1] nên f(x) hàm ngh ch bi n suy x=y thay vào phương trình (2) ta d dàng gi i c nghi m Lo i 2) H i x ng mà sau bi n i th ơng ưa v d ng f(x)=f(y) ho c f(x)=0 ó f hàm ơn i u  x + x − x + = y −1 +  Ví d 1) Gi i h phương trình sau   y + y − y + = 3x −1 +  v  u + u + = HD: t x-1=u; y-1=v ta có h  v + v + = 3u  Tr theo v hai phương trình ta c u + u + + 3u = v + v + + 3v Xét hàm s x f ( x) = x + x + + 3x ; f '( x) = + + 3x ln > 0∀x ⇒ u = v Thay vào (1) ta có x +1 ( ) u + u + = 3u ⇔ ln u + u + = u ln ; f (u ) = ln(u + u + 1) − u ln ta có 1+ u u + − ln = − ln < 0∀u ⇒ f (u ) hàm s ngh ch bi n Ta có u + u2 +1 u2 +1 u=0 f(0)=0 nên u=v=0 nghi m nh t ⇒ x=y=1 nghi m nh t c a h ban u  x3 − 3x2 + = y3 − y −  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:   x−2  y −1  log y  y −  + log x  x −  = ( x − 2011)      f '(u ) = Gi i: t y=u-1 thay vào phương trình (1) c a h ta có x − x = u − 3u Ta th y toán xác nh  0 < y <   0 < x < Trong c hai trư ng h p ta th y hàm s f ( x) = x3 − x ⇒ f '( x) = x( x − 2)  x >   y >  ơn i u nên Ta có x = u ⇔ x = y + thay vào phương trình (2) c a h ta có x=2011 nghi m Chú ý: Trong t p ta có th bi n i tr c ti p phương trình u c a h v d ng x3 − 3x = ( y + 1) − 3( y + 1)  ( x + 1) x + ( y − 3) − y = Ví d 3) Gi i h phương trình sau:  4 x + y + − x =  5−t HD: t − y = t ⇒ y = thay vào phương trình (1) c a h ta có − t2 x3 + x = t (3 − ) ⇔ x3 + x = t + t Xét f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = x + suy hàm − x2 s f ( x) ng bi n t ó suy t = x ⇔ − y = x ⇔ y = th vào phương trình (2) c a h ta có  − x2   3 g ( x) = x +   + − x − = v i x ∈ 0;   4   D th y x=0 ho c x=3/4 u không ph i nghi m 4 5   3 g '( x) = x − x  − x  − = x(4 x − 3) − < v i x ∈  0;  Ta có − 4x − 4x 2   4 1 g ( ) = ⇒ x = ; y = nghi m nh t c a h 2 IV) PHƯƠNG PHÁP ÁNH GIÁ V i phương pháp h c sinh c n quan sát n m ch c bi u th c khơng âm h , qua ó v n d ng b t ng th c ánh giá xy  = x2 + y x + x − 2x +  Ví d 1) Gi i h phương trình  xy y + = y2 + x  y − 2y +  HD:C ng v c a hai phương trình v i ta có xy xy + = x + y Ta có x=y=0 m t nghi m c a h 2 x − 2x + y − 2y + Có x − x + = ( x − 1) + ≥ ⇒ VT ≤ xy; x + y ≥ xy ⇒ VP ≥ xy D u b ng x y ch x=y=1 K t lu n: H có ngi m x=y=0 x=y=1   y = − x + 3x + Ví d 2) Gi i h phương trình sau  x = y − y −  ( y − ) = −( x + 1)2 ( x − 2) (1)  H ã cho tương ương v i  (2) ( x − ) = ( y + 1) ( y − 2)  N u y > t (1) suy x + x ⇒y>x ⇒ + y + y + y + y + y + y + y > + x + x + x + x + x5 + x + y > + y ⇒ x > y V y h vô nghi m Tương t y>0 h vô nghi m Xét x + x ⇒ y > x Tương t yy V y h vô nghi m Xét trư ng h p -1