PHƯƠNG PHÁP GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

Một số phương pháp giải hệ phương trình Trong các kỳ thi tuyển sinh vào đại học và cao đẳng gần đây chúng ta gặp khá nhiều bài toán giải hệ phương trình. Tài liệu này tập hợp ngoài các dạng toán hệ phương trình đối xứng loại 1, loại 2 cơ bản còn giới thiệu thêm một số dạng toán về giải hệ phương trình và cách giải chúng. Tài liệu bổ ích cho các bạn học sinh tham khảo và luyên thi.

PHƯƠNG PHÁP GI I H PHƯƠNG TRÌNH TRONG KỲ THI TUY N SINH IH C BIÊN SO N: GV NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088 Ph n m t: Các d ng h b n I H phương trình i x ng 1.Phương trình i x ng lo i a) nh nghĩa M t h phương trình n x, y c g i h phương trình i x ng lo i n u m i phương trình ta i vai trị c a x, y cho phương trình ó khơng i b) Tính ch t N u ( x0 , y0 ) m t nghi m h ( y0 , x0 ) nghi m S = x + y c) cách gi i  i u ki n S ≥ P  P = x y Ta bi n i ưa h ã cho (1) v h n S, P (2) (x;y) nghi m c a (1) ch (S,P) nghi mc c a (2) tho i mãn i u ki n: S − P ≥ v i m i (S;P) tìm c ta có (x;y) nghi m c a phương trình: X − SX + P = Gi s phương trình có nghi m X1, X2 + N u ∆ > X ≠ X nên h (1) có nghi m phân bi t ( X ; X ) ; ( X ; X ) + N u ∆ = X = X nên h có nghi m nh t ( X ; X ) + H có nh t m t nghi m tho mãn x ≥ ch h (2) có nh t nghi m (S;P) tho mãn ∆ = S − P ≥  S ≥ P ≥  VD 1: Gi i h phương trình  x + y + xy = H có nghi m (1;2), (2;1)  x + y + xy =  VD2: nh m h sau có nghi m  x + y + xy = m S: ≤ m ≤  x + y2 = m  2) H phương trình i x ng lo i -M t h phương trình n x, y c g i i x ng lo i n u h phương trình ta i vai trị x, y cho phương trình tr thành phương trình  x + x y = 10 y  VD:   y + y x = 10 x  b) Tính ch t - N u (x0 ; y0 ) nghi m c a h ( y0 ; x0 ) nghi m c) Cách gi i - Tr v v i v hai phương trình c a h ta c m t phương trình có d ng (x − y )[ f (x; y )] = x − y =  f ( x; y ) =  3x3 = x + y  Ví d : Gi i h phương trình sau:  2 3 y = y + x  HD: Tr hai phương trình c a h ta thu c 3( x3 − y ) = −( x − y ) ⇔ ( x − y )[3( x + y + xy ) + x + y ] = H ã cho tương ương v i  x − y = (I )  2  3 y = y + x Gi i (I) ta c x=y=0 ho c x=y=1  2 3( x + y + xy ) + x + y =  ( II )  3 y = y + x  Xét (II) T gi thi t ta suy x, y không âm N u x, y dương h vơ nghi m suy ta h có nghi m nh t x=y=0 K t lu n: H có nghi m x=y=0 x=y=1 3) H phương trình v trái ng c p b c II a) Các d ng b n  ax + bxy + cy = d  2 a1 x + b1 xy + c1 y = d1  b) Cách gi i + Xét trư ng h p y=0 xem có ph i nghi m hay không + t x=ty thay vào h r i chia phương trình c a h cho ta c phương trình b c theo t Gi i phương trình tìm t sau ó th vao m t hai phương trình c a h tìm x,y Phương pháp úng v trái phương trình ng c p b c n  x − 3xy + y = −1  Ví d : Gi i h  2  x + xy − y =  + D th y y=0 không ph i nghi m 2 2 t y − 3ty + y = −1 + t x=ty th vào h ta có  2 chia phương trình c a h cho ta 2 t y + 2ty − y =  có t = x = y t − 3t +  t ó th hai trư ng h p vào = −1 ⇔ 2t − t − = ⇒ ⇔ t = − x = − y t + 2t −   m t hai phương trình c a h gi i PH N HAI: M T S PHƯƠNG PHÁP KHÁC THƯ NG DÙNG TRONG GI I H I) PHƯƠNG PH P BI N I TƯƠNG ƯƠNG Phương pháp ch y u dùng k bi n i phương trình cu h dưa v phương trình ơn gi n có th rút x theo y ho c ngư c l i th vào phương trình khác c ah Ta xét ví d sau: Lo i 1) Trong h có m t phương trình b c nh t theo n x ho c n y Khi ó ta rút x theo y ho c y theo x th vào phương trình cịn l i  x ( y + 1)( x + y + 1) = x − x + 1(1)  Ví d 1) Gi i gh phương trình   xy + y + = x (2)  HD: Ta th y x=0 không ph i nghi m c a phương trình (2) t phương trình (2) ta có x2 − y +1 = thay vào phương trình (1) ta có x  x −  x −  x2  + x  = x − x + ⇔ ( x − 1) ( x3 + x − x − 1) = ( x − 1)( x − 1)   x  x  ( ) ⇔ ( x − 1) x3 + x − x =  x + y + xy ( x + y ) = xy  Ví d 2) Gi i h phương trình:   x + y + xy ( x − y ) = xy  Gi i: Ta có x=y=0 nghi m Các c p s (x,y) v i x=0, y ≠ ho c x ≠ 0, y=0 không nghi m 1  x + y + 2x + y =  Xét xy ≠ chia v phương trình cho xy ≠ ta c   + + 3x − y = x y  1 Suy − x − y = + = + y − 3x ⇔ x = y − x y Thay x=2y-1 vào phương trình th hai ta thu c: y − + y + y ( y − 1)( y − 3) = ( y − 1) y ⇔ y − + y 10 y − 11y + = y − y ( ) ⇔ 10 y − 19 y + 10 y − = ⇔ ( y − 1) 10 y − y + ⇔ y = 1; y = + 41 − 41 ;y = 20 20 ( ) ( y = 1; x = 1)  + 41 41 −  áp s :  y = ;x =    20 10    + 41 − 41 −  ;x = y=    20 10   Lo i 2) M t phương trình c a h có th ưa v d ng tích c a phương trình b c nh t hai n Khi ó ta ưa v gi i h phương trình tương ương  xy + x + y = x − y (1)  Ví d 1) Gi i h phương trình sau   x y − y x − = x − y (2)  i u ki n y ≥ 0; x ≥ x = − y Phương trình (1) ⇔ (x+y)(x-2y-1)=0 t ó ta có  thay l n lư t hai trư ng h p x = y +1 vào phương trình (2) gi i  x + y + x − y = + x − y (1)  Ví d 2)Gi i h phương trình:   x + y = 1(2)  Gi i: i u ki n x ≥ y ≥ (1) ⇔ ( x + y − 1) H ( ) x − y −1 =  x + y =    x + y =  ã cho tương ương v i:    x − y =  x + y =   x + y = x = x =  ⇔  gi i   x + y =1 y = y =1  x − y = x =  gi i  ⇔  x + y =1 y =  áp s : x=1,y=0 x=0, y=1 y −3  (1)  x+ y + x+3 = x Ví d 3) Gi i h phương trình:   x + y + x = x + 3(2)  Gi i: i u ki n x > 0, y ≥ y −3 y −3 Ta có: (1) ⇔ = x x+ y − x+3 V i y=3 ta có x + = ⇔ x = −3 (lo i)  x+ y − x+3 = x  V i y ≠ ta có   x+ y + x = x+3  Suy x + − x = x + y = x + x + Suy x + + x = ⇔ x = thay vào (2) ta c: y +1 = ⇔ y = x = áp s :  y = Chú ý: Trong m t s toán nhi u em c n c ng ho c tr phương trình c a h sau ó m i xu t hi n phương trình d ng tích  x + y + x y = 41  Ví d 4) Gi i h phương trình :  2  xy ( x + y ) = 10  ( ) ng th c: ( x + y ) = x + y + xy x + y + x y Gi i: S d ng h ng  x + y + x y = 41  HD: H ã cho tương ương v i  2 4 xy x + y = 40  c ng v v i v phương trình ta thu c: ( ( ) ) x + y + xy x + y + x y = 81 ⇔ ( x + y ) = 81 ⇔ x + y = ±3  x + y =   2   xy x + y = 10  h ã cho tương ương v i    x + y = −3   2   xy x + y = 10  x + y = x + y =    x + y = ⇔ ⇔ a) Xét  2    xy ( − xy ) = 10    xy ( x − y ) − xy  = 10  xy x + y = 10    x + y = −3    x + y = −3 b) Xét  ⇔ 2  xy ( − xy ) = 10  xy x + y = 10   ( ( ( ) ) ( ) ) Lo i 3) M t phương trình c a h phương trình b c theo m t n ch ng h n x n Khi ó ta coi y tham s gi i x theo y  (1)  y = (5 x + 4)(4 − x) Ví d 1) Gi i h phương trình sau  2 −5 x + y − xy + 16 x − y + 16 = ( )  HD: Coi phương trình (2) phương trình theo n y ta có (2) ⇔ y2 –4(x+2)y5x2+16x+16=0  y = 5x + Gi i y theo x ta có  thay l n lư t hai trư ng h p vào phương trình ta s gi i y = 4− x c nghi m c a h 2 x + xy + y =  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:   y + xy + x =  Tr hai phương trình c a cho ta có x − y + xy + y − x + = ⇔ y +1  x= 2 2 2 x + ( y − 5) x − y + y + = 0; ∆ = ( y − 5) − 8(− y + y + 2) = (3 y − 3) ⇒   x = 2− y  Thay l n lư t trư ng h p vào h ta gi i c x, y II) PHƯƠNG PHÁP T N PH i m m u ch t c a phương pháp ph i phát hi n n ph u=f(x,y) v=g(x,y) t ng phương trình c a h ho c sau phép bi n i Thông thư ng phép bi n i thư ng xoay quanh vi c c ng, tr phương trình c a h ho c chia v phương trình cho m t s h ng khác khơng có s n phương trình c a h tìm nh ng ph n chung mà sau ó ta t thành n ph  x + + y ( y + x) = y (1)  Ví d 1) Gi i h phương trình sau  (2)  x + ( y + x − 2) = y  HD: Ta th y y=0 không ph i nghi m c a h Chia hai v phương trình (1) (2) cho y ta có h tương ương sau  x2 + +x+ y =4  u + v = x2 +  y t u= ; v=x+y-2 ta có h sau  Gi i h tìm u,v  y x +1 uv = ( )( x + y − 2) =  y  ( ) sau ó tìm x, y  2 =7 4 xy + 4( x + y ) + ( x + y)  Ví d 2) Gi i h phương trình sau  i u ki n x+y ≠ 2 x + =3  x+ y  2  =7 3 ( x + y ) + ( x − y ) + (x + y)  ;v = x − y Khi ó ta có h sau  t u = x+ y+ x+ y x + y + + x − y =  x+ y  V i u ≥2 3u + v = 13 Thay vào ta có  Gi i h tìm u;v sau ó thay vào tìm x; y u + v =  x3 + y x + x + y + 3x − y + =  Ví d 3) Gi i h phương trình:  2 2 y + xy + y − 3x − =  ( x + 1)3 + ( x + 1) y = y  Gi i: H phương trình tương ương v i  ( x + 1) y + y = ( x + 1)  t u=x+1 u + uy = y  Ta có h m i  uy + y = 3u  D th y u=y=0 m t nghi m Xét y ≠ t u=ty th vào h sau ó chia hai v phương trình cho ta c phương trình m t n t ( ây m t bi n th c a h phương trình ng b c) ( x + y )(1 + xy ) = 18 xy  Ví d 4) Gi i h phương trình:  2 2 2  x + y + x y = 208 x y  Gi i: Ta có x=y=0 lànghi m Xét xy ≠ H phương trình tương ương v i (    ( x + y ) 1 +  = 18   xy    x + y 1 +  = 208  2    x y   ( ) ) u + v = 18 1 t u = x + , v = y + ta c  2 x y u + v = 208    ( x + y ) 1 +  =   xy  Ví d 5)Gi i h phương trình   xy + =  xy  Gi i: 1 u + v = i u ki n xy ≠ t u = x + , v = y + ta c h  y x uv =  x y   +  ( x + y ) = 15  y x  Ví d 6) Gi i h phương trình :  2  x + y  x + y = 85  y x    x y Gi i: t u = + , v = x + y Ta có: y x 2 x y + = u2 − 2 y x ( x + y = ( x + y ) − xy = v − xy ) u= x2 + y ⇔ u.xy = x + y xy v2 u+2 2v uv 15v Suy x + y = v − = = ( uv=15) u+2 u+2 u+2 uv = 15  Ta c h   15v  ( u − )  u +  = 85    Suy u.xy = v − xy ⇒ xy =  x y + y + x = xy  Ví d 7) Gi i h :  1 x  x + xy + y =  Gi i: i u ki n xy ≠ 1  x + x + x + y =  h phương trình tương ương v i   1    x+  +  =  x  x y   u + v = u = 1 t u = x + , v = + ta c:  ⇔ x x y uv = v =  x + x =  H phương trình tương ương v i  ⇔ ( x = 1, y = 1) 1 + = x y  III) PHƯƠNG PHÁP HÀM S Lo i 1) M t phương trình c a h có d ng f(x)=f(y) M t phương trình cho ta bi t t p giá tr c a x ho c y T ó suy hàm f(x) ơn i u suy x=y  x3 − 5x = y3 − y (1)  Ví d 1) Gi i h phương trình sau  ( 2) x + y =  T phương trình (2) ta suy x , y ≤ Xét phương trình f ( x) = x3 − x v i x ∈ [ −1;1] ; f '( x) = x − < 0∀x ∈ [ −1;1] nên f(x) hàm ngh ch bi n suy x=y thay vào phương trình (2) ta d dàng gi i c nghi m Lo i 2) H i x ng mà sau bi n i th ơng ưa v d ng f(x)=f(y) ho c f(x)=0 ó f hàm ơn i u  x + x − x + = y −1 +  Ví d 1) Gi i h phương trình sau   y + y − y + = 3x −1 +  v  u + u + = HD: t x-1=u; y-1=v ta có h  v + v + = 3u  Tr theo v hai phương trình ta c u + u + + 3u = v + v + + 3v Xét hàm s x f ( x) = x + x + + 3x ; f '( x) = + + 3x ln > 0∀x ⇒ u = v Thay vào (1) ta có x +1 ( ) u + u + = 3u ⇔ ln u + u + = u ln ; f (u ) = ln(u + u + 1) − u ln ta có 1+ u u + − ln = − ln < 0∀u ⇒ f (u ) hàm s ngh ch bi n Ta có u + u2 +1 u2 +1 u=0 f(0)=0 nên u=v=0 nghi m nh t ⇒ x=y=1 nghi m nh t c a h ban u  x3 − 3x2 + = y3 − y −  Ví d 2) Gi i h phương trình sau:   x−2  y −1  log y  y −  + log x  x −  = ( x − 2011)      f '(u ) = Gi i: t y=u-1 thay vào phương trình (1) c a h ta có x − x = u − 3u Ta th y toán xác nh  0 < y <   0 < x < Trong c hai trư ng h p ta th y hàm s f ( x) = x3 − x ⇒ f '( x) = x( x − 2)  x >   y >  ơn i u nên Ta có x = u ⇔ x = y + thay vào phương trình (2) c a h ta có x=2011 nghi m Chú ý: Trong t p ta có th bi n i tr c ti p phương trình u c a h v d ng x3 − 3x = ( y + 1) − 3( y + 1)  ( x + 1) x + ( y − 3) − y = Ví d 3) Gi i h phương trình sau:  4 x + y + − x =  5−t HD: t − y = t ⇒ y = thay vào phương trình (1) c a h ta có − t2 x3 + x = t (3 − ) ⇔ x3 + x = t + t Xét f ( x) = x3 + x ⇒ f '( x) = x + suy hàm − x2 s f ( x) ng bi n t ó suy t = x ⇔ − y = x ⇔ y = th vào phương trình (2) c a h ta có  − x2   3 g ( x) = x +   + − x − = v i x ∈ 0;   4   D th y x=0 ho c x=3/4 u không ph i nghi m 4 5   3 g '( x) = x − x  − x  − = x(4 x − 3) − < v i x ∈  0;  Ta có − 4x − 4x 2   4 1 g ( ) = ⇒ x = ; y = nghi m nh t c a h 2 IV) PHƯƠNG PHÁP ÁNH GIÁ V i phương pháp h c sinh c n quan sát n m ch c bi u th c khơng âm h , qua ó v n d ng b t ng th c ánh giá xy  = x2 + y x + x − 2x +  Ví d 1) Gi i h phương trình  xy y + = y2 + x  y − 2y +  HD:C ng v c a hai phương trình v i ta có xy xy + = x + y Ta có x=y=0 m t nghi m c a h 2 x − 2x + y − 2y + Có x − x + = ( x − 1) + ≥ ⇒ VT ≤ xy; x + y ≥ xy ⇒ VP ≥ xy D u b ng x y ch x=y=1 K t lu n: H có ngi m x=y=0 x=y=1   y = − x + 3x + Ví d 2) Gi i h phương trình sau  x = y − y −  ( y − ) = −( x + 1)2 ( x − 2) (1)  H ã cho tương ương v i  (2) ( x − ) = ( y + 1) ( y − 2)  N u y > t (1) suy x + x ⇒y>x ⇒ + y + y + y + y + y + y + y > + x + x + x + x + x5 + x + y > + y ⇒ x > y V y h vô nghi m Tương t y>0 h vô nghi m Xét x + x ⇒ y > x Tương t yy V y h vô nghi m Xét trư ng h p -1