• Giải được phương trình mũ và logarit dạng cơ bản nhất, tương ứng với mức độ thi THPT
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN GV: LÊ MINH HƯỞNG *****===***** CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT NĂM HỌC: 2009-2010 PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A. MỤC TIÊU : • Giải được phương trình mũ và logarit dạng cơ bản nhất, tương ứng với mức độ thi THPT • Không đầu tư nhiều thời gian vào chuyên đề này vì học sinh còn chuẩn bị cho các bộ môn khác • Từ bài tập cơ bản nâng lên các bt mức độ cao hơn B. KIẾN THỨC CƠ BẢN: Lũy thừa: nnn n n n nmnm nm n m nmnm xyyx y x y x xx x x x xxx )(. )( )( . . = = = = = − + Logarit: 01log 1log log 1 log loglog logloglog )(logloglog = = = = =− =+ a a a a aa aa aaa a xx xx y x yx xyyx α α α α C. NỘI DUNG CHÍNH: PHƯƠNG TRÌNH MŨ & LOGARIT Dùng đễ ôn tập trong chương trình bồi dưởng sọc sinh yếu , ôn thi tốt nghiệp THPT I)Phương trình mũ Dạng cơ bản αα a xf xgxf Logxfa xgxfaa =⇔= =⇔= )( )()( )( )()( Tập trung vào bốn dạng thường gặp sau đây: 1)Tích qui về cùng cơ số Khi giài ta dựa theo dạng cơ bản đễ lấy nghiệm TD Giải các phương trình sau đây a) 2 x+1 .4 x-1 . x x 16 8 1 1 = − 2 446 22 433221 =⇔ =−⇔ =⇔ +−−++ x xx xxxx 3 2 9 4 2 1 9 4 942 242 422 43 43.3.3 27 4 9.3) 3 333 3 3 22 322 1 LogLogx LogLogLogx Logx Logx b x xxx x xx ==⇔ =−=⇔ −=⇔ =+⇔ =⇔ =⇔ = + − − 2) Tổng qui về cùng cơ số Thông thường ta đưa về cơ số nguyên dương bé nhất và thu gọn thành phương trình bậc hai TD Giải các phương trình sau đây ; −= = ⇔ =−+ >= =+ 3 2 06: )0(2 642) 2 t t ttptr ttĐăt a x xx Do t > 0 nên ta chỉ nhận nghiệm t = 2 Suy ra 2 x = 2 . KQ x = 1 xxx b 8.21227) =+ Chia hai vế cho 8 x ta được phương trình 2 2 3 2 3 2 8 12 8 27 3 = + ⇔ = + xx xx Đặt x t = 2 3 ( t > 0 ) Ptr : t 3 + t - 2 = 0 Ta được nghiệm duy nhất t = 1 1 2 3 = ⇔ x KQ x = 0 3) Tích chứa cơ số khác nhau Dùng phương pháp logarit hóa ( Lấy log hai vế theo cơ số thích hợp ) TD Giải các phương trình a) 12.3 2 = xx Lấy log hai vế của phương trình theo cơ số 2 Ta được phương trình 023 2 22 =+ xx LogLog ⇔ 03 2 2 =+ xxLog −= = ⇔ =+⇔ 3 0 0)3( 2 2 Logx x xLogx Đặt t = a x ( t > 0 ) Suy ra a nx = t n Nếu a.b = 1 Đặt t = a x thì b x = 1 / t 11 −− = = ⇔ =−−+⇔ +=+⇔ +=+⇔ =⇔ = 5 51 1 05log1)5(log 5log15log 5252 )5.2()5.2( 105.2) 2 2 2 2 2 22 2 2222 22 2 2 2 Log Log x x xx xx LogLogLogLog LogLog b xx xx xx 4) Tổng không đưa về được cùng cơ số Tính nhẩm tìm nghiệm x 0 của phương trình Chứng tỏ nghiệm đó là duy nhất TD Giải các phương trình: a) 2 x + 3 x = 5 Phương trình nhận nghiệm x = 1 2 x + 3 x = 5 ⇔ 2 x + 3 x - 5 = 0 Xét hàm số f(x) = 2 x + 3 x – 5 ( xác định với mọi x ) Ta có f / (x) = 2 x ln2 + 3 x ln3 > 0 )( x ∀ Suy ra đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 b) 2 x + 3 x = 5 x Phương trình nhận nghiệm x = 1 Chia hai vế của phương trình cho 3 x xx xx xgxf ptr =+ = =+ 3 5 )(&1 3 2 )( 3 5 1 3 2 : Cả hai hàm số đều có tập xác định là R 0 3 5 ln 3 5 )(&0 3 2 ln 3 2 )( // > =< = xx xgxf Suy ra hàm số f(x) nghịch biến và hàm số g(x) đồng biến Do đó đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại mọt điểm duy nhất KL phương trình có duy nhất một nghiệm x = 1 II) PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT DẠNG CƠ BẢN : α α axfxfLog xgxf xg xf xgLogxfLog aaCho a aa =⇔= = > > ⇔= ≠> )()( )()( 0)( 0)( )()( 1&0 Ta tập trung vào ba dạng sau đây : 1) Tổng qui vế cùng cơ số Thu gọn về dạng cơ bản TD Giải các phương trình a) 6 11 842 =++ xLogxLogxLog ĐK x > 0. Đưa về cơ số 2 , ta được phương trình 2 1 6 11 6 11 6 11 ) 3 1 2 1 1( 6 11 3 1 2 1 2 2 2 222 =⇔ =⇔ =⇔ =++⇔ =++ x xLog xLog xLog xLogxLogxLog −= = ⇔ =−+⇔ =+⇔ =+ > =++ )(9 3 0276 27)6( 3)6(log: 0: 3)6(log2log) 2 3 93 loaix x xx xx xxptr xđk xb x 2) Đặt ẩn phụ : Khi trong ptr chứa nhiều logarit cùng một cơ số trong biểu thức chứa tích hoặc thương TD: giải ptr: 1 log5 1 log1 2 ) = − + + xx a Đk: ≠ ≠ > − 1 5 10 10 0 x x x Đặt t = logx Ptr : 1 5 1 1 2 = − + + tt Thu gọn: 065 2 =+− tt ==⇔= ==⇔= ⇔ = = ⇔ 1000103log 100102log 3 2 3 2 xx xx t t 3)log2)(log1() 42 =−+ xxb Đk: 0 > x Đặt xt 2 log = Ptr : 3) 2 1 2)(1( =−+ tt Thu gọn: 023 2 =+− tt = = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ 4 2 2log 1log 2 1 2 2 x x x x t t 3) Tổng cơ số khác nhau : Tìm nghiệm x 0 Chứng tỏ ptr có một nghiệm duy nhất x 0 TD: giải ptr: 3)1(loglog 32 =−+ xx ĐK : 1 > x Ptr có nghiệm x = 4 Ptr : 03)1(loglog 32 =−−+ xx Xét hs 3)1(loglog)( 32 −−+= xxxf TXĐ: );1( ∞= D 03ln 1 1 2ln 1 )( / > − += xx xf Suy ra hs f(x) đồng biến Do đó ptr có duy nhất một nghiệm x = 4 Bài tập tương tự: Bài 1: giải các ptr mũ: a. 4 2 525.5 + − = x xx b. 279.3 2 = xx c. 31 128.25,032 −+ = xx d. 2655 31 =+ −− xx e. xxx 96.24.3 =− f. 14842 =++ xxx g. 0273.43 582 =+− ++ xx h. 6)12()12( =−++ xx i. xxx 543 =+ j. 2543 =+ xx k. 07.365.3575 22 =+−− xxxx l. xxxx )5,0(241252.3)5,0(88 331 −=++ ++ Bài 2: giải các ptr logarit: a. 2 5 logloglog 4 3 82 =++ xxx b. [ ] 1)1(log 3 =− xx c. 1)1(loglog 55 =−+ xx d. log( )3log()76 2 −=+− xxx e. 15log).5(log 22 5 = x x f. 364log16log 2 2 =+ x x g. 07log7log 914 =+ + xx h. 2)652(log 2 5 =−− − xx x i. )12log()2021log(1)10log(5log −−−=−++ xxx j. 4loglog3log 22 −=− xxx k. 0 6 7 log2log 4 =+− x x e. x x x x 8log 4log 2log log 16 8 4 2 = III) BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Khi giải chủ yếu xét theo tính đơn điệu của hàm số mũ Các dạng cũng tương tự như phương trình mũ TD1 Giải các bất phương trình sau đây (Dạng ba xf > )( ) > < ⇔ >−⇔ >+−⇔ >⇔ > +− +− 2 0 02 222 33 93) 2 2 222 22 2 2 x x xx xx a xx xx 9 50 log 9 50 2 502.9 252.4 2 2 2522) 2 21 ≥⇔ ≥⇔ ≥⇔ ≥+⇔ ≥+ +− x b x x x x xx 3log 3 3 2 3.32 32) 3 2 1 <⇔ > ⇔ >⇔ > + x c x xx xx TD2 Giải các bất phương trình (Dạng đặt ẩn phụ ) a) 4 x – 3.2 x + 2 > 0 Đặt t = 2 x ( t > 0) Phương trình: t 2 – 3t + 2 > 0 > < ⇔ > < ⇔ > < ⇔ 1 0 22 12 2 1 x x t t x x b) 2 x+1 + 2 -x – 3 < 0 0322.2 <−+⇔ − xx Đặt t = 2 x ( t > 0 ) Bất phương trình : 03 1 2 <−+ t t 01 12 2 1 1 2 1 0132 2 <<−⇔ <<⇔ <<⇔ <+−⇔ x t tt x IV) BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Khi giải ta cũng dựa theo tính chất đơn điệu của hàm số Logarit1 Chú ý các dạng thường gặp sau đây <<<< >>> ⇔> <<< >> ⇔> )10()()(0 )1(0)()( )()(* )10()( )1()( )(* akhixgxf akhixgxf xgLogxfLog akhiaxf akhiaxf xfLog aa a α α α TD Giải các phương trình : [ ] 3 41 045 2)2()3( 1)2()3( 3 2 3 02 03 : 1)2()3() 2 2 22 > ≤≤⇔ ≤+−⇔ ≤−−⇔ ≤−−⇔ >⇔ > > ⇔ >− >− ≤−+− xĐKDo x xx xx xxLogBptr x x x x x ĐK xLogxLoga Nên bất phương trình có nghiệm : 43 ≤< x )86()114() 2 2 1 2 1 ++<+ xxLogxLogb Do cơ số a < 1 .Nên bất phương tương đương với −==<−+ −=−=>++ −=>+ ⇔ ++>+ >++ >+ )3,1(032 )2,4(086 ) 4 11 (0114 86114 086 0114 2 2 2 2 xxxx xxxx xx xxx xx x x ∞− -4 -3 4 11 − -2 1 ∞ 114 + x - - - 0 + + + 86 2 ++ xx + 0 - - - 0 + + 32 2 −+ xx + + 0 - - - 0 + Chọn nghiệm thuộc miền mang dấu − + + Kết quả: nghiệm của ptr: là )1;2( −= S BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Bài 1: Giải các bất ptr mũ: a. 2833 12 ≤+ −+ xx b. 43.2 12 > −+ xx c. 448222 322212 ≥++ −−− xxx d. 0439 1 >−+ + xx e. 05252 1121 >++− +−++ xxxx f. 455 12 +> + xx g. 0322 1 <−+ − xx h. 1)1( 2 2 >− − xx x Bài 2: Giải các bất ptr logarit : a) )1(log)53(log 33 +>− xx b) 3log)2(loglog 2,052,0 <−− xx c) 06log5log 3 2 3 ≤+− xx d) [ ] 11(loglog 2 2,02 <− x e) 0)2(log2)56(log 3 2 3 1 ≥−++− xxx f) 2 1 log1 log1 2 4 ≤ + − x x g) 2)366(log 1 5 1 −≥− + xx h) )2log()2log( 22 −>−+ xxx V) Một số pt & bptr mũ, log trong đề thi TNPTvà ĐH 1) Tốt nghiệp phổ thông Giải các phương trình sau đây : a) 2 x+2 – 9.2 x + 2 = 0 (2006) b) )2007(5)4( 24 =+ xLogxLog c) 3 2x+1 - 9.3 x + 6 = 0 (2008) d) 25 x - 6.5 x + 5 = 0 (2009) 2) Đại học e) Giải phương trình )2006(0422.42 2 22 D xxxxx =+−− −+ f) Giải bất phương trình )2006()12(124)1444( 2 555 BLogLogLog xx ++<−+ = g) Giải bất phương trình )2007(2)32()34(2 3 13 AxLogxLog ≤++− h) Giải phương trình )2007(0 32.4 1 2)272.154( 22 DLogLog x xx = − +++ i) Giải bất phương trình )2008(0 4 2 67,0 B x xx LogLog < + + j) Giải bất phương trình )2008(0 23 log 2 2 1 D x xx ≥ +− HẾT . 200 9-2 010 PHƯƠNG TRÌNH-BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT PHẦN 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A. MỤC TIÊU : • Giải được phương trình. DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP HỘI ĐỒNG BỘ MÔN TOÁN GV: LÊ MINH HƯỞNG *****===***** CHUYÊN ĐỀ: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT