skkn một số PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH bất PHƯƠNG TRÌNH mũ và LÔGARIT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN Mã số: CHUYÊN ĐỀ Người thực hiện: BÙI THỊ THANH HÀ Lĩnh vực nghiên cứu: Quản lý giáo dục  Phương pháp dạy học môn Toán  Phương pháp giáo dục  Lĩnh vực khác  Có đính kèm:  Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác Năm học: 2011 - 2012 A SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN Họ tên: BÙI THỊ THANH HÀ Ngày tháng năm sinh: 11- 10 - 1969 Giới tính: Nữ Địa chỉ: C2/9, Kp6, P.Trung Dũng, Tp Biên Hoà Điện thoại: 0613 946 783 Chức vụ: Giáo viên - Chủ tịch công đoàn Đơn vị công tác: Trường THPT Ngô Quyền II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO Trình độ chuyên môn: Cử nhân khoa học Năm nhận bằng: 1991 Chuyên ngành đào tạo: Toán học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Giảng dạy toán Số năm kinh nghiệm: 20 năm B Đề tài MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Toán phổ thông trung học: Phương trình- Bất phương trìnhmũ lôgarit chủ đề nằm chương II lớp 12, tập phần đa dạng đòi hỏi học sinh cần phải có kiến thức, kỹ giải phương trìnhbất phương trình học lớp với kiến thức trang bị thêm chương Làm tốt tập chủ đề giúp học sinh tự tin việc giải loại phương trình - bất phương trình nói chung Đối với học sinh lớp ban A trường THPT Ngô Quyền việc trang bị thêm dạng tập chương tạo hứng thú cho em học tập Chuyên đề chia thành phần:  Phần thứ nhất: Giới thiệu kiến thức mũ loogarit, cách giải phương trình, bất phương trình mũ lôgarit thường gặp  Phần thứ hai: Trên sở lý thuyết đưa số tập tham khảo để học sinh luyện tập  Phần thứ ba: Đưa vào số toán có cách giải liên hệ với dạng toán khác để thấy đa dạng cách giải phương trình - bất phương trình mũ lôgarit, nhằm bồi dưỡng học sinh khá, giỏi yêu thích môn toán (phần tùy theo trình độ học sinh lớp mà đưa , đưa phần giáo viên cần hướng dẫn sơ để học sinh có hướng giải quyết) Chắc chắn chuyên đề tránh khỏi thiếu sót, xin quý thầy (cô) đóng góp ý kiến để nội dung chuyên đề hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn Người viết chuyên đề Bùi Thị Thanh Hà II NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ: A) LÝ THUYẾT VỀ MŨ VÀ LÔGARIT: I Lũy thừa: 1/ Với a, b ∈ R+ , m,n ∈ R ta có: * • am an = am+n n n  a a  ÷ = n • b b • (am)n= am.n • (a.b)n =an.bn am = a m− n n a • • ax > 0, ∀ x ∈ R 2/ Với a >0 , m, n ∈ Z , n > , ta có: n n •a = a n m n n m • a = a •  a n = 2k + an =   a n = 2k , k ∈ Z 3/ Với a ≠ 0, n ∈ N ta có: • a0 =1 • a-1 =a • a -n = an 4/ Với số a dương m, n ∈ R ta có: • Khi a >1 : am < an ⇔ m < n • Khi < a < : am < an ⇔ m > n II Lôgarit: 1/ • logab = c ⇔ ac = b 0 < a ≠  • logab có nghĩa ⇔  b >  a; b >  • logab>0 ⇔  < a, b < 2/ Với 00 ta có: • log a =0 • log a a =1 3/ Với 0 : logab > logac ⇔ b > c • Khi a > : logab > logac ⇔ b > c 7/ Lôgarit số 10 gọi lôgarit thập phân, kí hiệu: log10a = loga Lôgarit số e gọi lôgarit tự nhiên, kí hiệu: logea= lna III Đạo hàm hàm số mũ hàm số lôgarit: - Với x ta có: • (ex)' = ex • (ax)' = ax.lna - Với x > ta có: • (lnx)' = x • (logax)' = x ln a - Với u = u(x) ta có: • (au)' = u'.au.lna • (eu)' = u'.eu - Với u = u(x) u > ta có: u' • (lnu)' = u u' • (logau)' = u.ln a IV Phương trình mũ: có cách giải sau 1/ Đưa số: Với 0 ta có: a2f(x) = t2, a3f(x) = t3 3/ Lôgarit hóa vế: dùng trường hợp vế phương trình tích nhiều lũy thừa số dương Cơ số lôgarit chọn số lũy thừa có số mũ phức tạp 4/ Sử dụng tính đơn điệu: Dự đoán chứng minh phương trình có nghiệm * Chú ý: - Nếu hàm số y=f(x)luôn đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục khoảng K số nghiệm phương trình f(x)=m K không nhiều f(u)=f(v) ⇔ u=v - Các hàm số y = ax với x ∈ R y = logax với x >0 dồng biến a > nghịch biến < a < V Bất phương trình mũ: có cách giải sau 1/ Đưa số : áp dụng tính chất Với a > thì: af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x) Với < a 0 ta có: a2f(x) = t2, a3f(x) = t3 VI Phương trình lôgarit: có cách giải sau 1/ Đưa số: logaf(x) = logag(x) ⇔ f(x) = g(x) >0 với Đặt t = logaf(x) lognaf(x) = tn 3/ Sử dụng tính đơn điệu: Dự đoán chứng minh phương trình có nghiệm VII Bất Phương trình lôgarit: có cách giải sau 1/ Đưa số: áp dụng tính chất: Với a > logaf(x) > logag(x) ⇔ f(x) > g(x) >0 Với 01 Đáp số : x = 285 Đáp số : x= 1+ 1- x= (x =0 ; : loại) c) log x +1 (3 x + 5) =  x > −1  ĐK:  x ≠ Đáp số : x = (x = -2: loại) log 10 + x − = log − log( x − 1) d) ĐK: x > Đáp số : x= 26 (x = -35: loại) Hướng dẫn: pt ⇔ log 10 + x + log x − = log + log10 2 e) log ( x + x + 2) + log ( x + x + 12) = + log −3 < x < −2  x < −4   ĐK:  x > −1 Đáp số : x =0; x= -5 Bài 4/.Giải phương trình a) log 2 x + log x + = Hướng dẫn: Đặt t= pt ⇔ t4 - 2t2 +t = ĐK: log x + x≥ , t ≥ ta có: log2x = t2 - 1− x = ; x = 1; x = 2 ĐS: x x b) log (5 − 1).log (2.5 − 2) = x x x Hướng dẫn: Lưu ý log (2.5 − 2) = log 2.(5 − 1) = + log (5 − 1) Đáp số : x = log53 ; x= log5(5/4) c) log4 (x − 1) + log2x +1 = + log2 x + 2 Đáp số : x= 5/2 (x = -1 : loại) Hướng dẫn: ĐK: x > 1, đưa số pt ⇔ log2(x -1) + log2(2x +1) = + log2(x+2) log( x + 8) − log( x + x + 4) = log(58 + x) d) ĐK: x > -2 Đáp số: x= (x= -2, x= -6: loại) x Đáp số : x=2; x= − log − x x+1 e) = 36 2− x Hướng dẫn: Lấy lôgarit số hai vế ta phương trình: (x -2)log23 = x + Bài 5/ Giải bất phương trình x x −1 x a) 25 > 0, 625 x2 − x −2 b) 0,1 Đáp số : x > x −3 < 0,1 Đáp số : x 2x x 2x c) 3.7 + 37.140 ≤ 26.20 d) 10 e) x −1 1− x + 6.10 x −6 x +3 +6 ≥3 x ≥ log 20 log + log +   x ≠ 1; x ≠  Đưa log2x đặt t= log2x Hướng dẫn: ĐK:  C) CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN VÀ NÂNG CAO: (Học sinh tự làm theo tổ nhà hướng dẫn GV) Bài 1/ Giải phương trình sau: a) b) c) d) e) + 45 - =0 f) Bài 2/ Giải phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Bài 3/ Giải phương trình sau: a) b) c) d) e) f) Bài 4/ Giải phương trình x x x+1 a) = 100 2x x b) + + = c) d) ( x + 3) log32 ( x + ) + ( x + ) log ( x + 2) − 16 = log ( x − x −1).log ( x + x −1) = log x − x −1 e) log x + log x = log12 x Bài 5/ Giải phương trình log a) b) x + log x = log log ( x + 1) + = log x − x + log ( x + 4)3 2 c) log x + ( x − 4).log x − x + = x d) +x 2 + 21− x = 2( x +1) + e) log x − log x + log x − log x.log x = Bài 6/.Giải bất phương trình a) ( 10 − ) x −3 x −1 2x x+ b) − 8.3 < x+4 ( 10 + − 9.9 ) x+ x +1 x −3 >0 32 − x + − x ≥0 4x − c) 10 d) 3 x  log ( x − 2) < log  −1 ÷   e) log x + log x < + log x.log x Bài 7/ Giải phương trình sau: a) b) c) d) Bài 8/ Giải phương trình sau: a) b) c) d) Bài 9/ Giải phương trình sau: a) 3− x = − x + 8x-14 log x b) log ( x + ) = log x c) log x2 + x + = 7x + 21x+14 2x + 4x+5 Bài 10/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm: a) b) c) 91+ 1− x − (m + 2).31+ 1− x + 2m + = ( Bài 11/ Tìm m để phương trình : 3− 2 ) − m( x 3+ 2 ) − = (1) có nghiệm x ≥ x Bài 12/ Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: a) 42x +2 + 4x - - 5m = b) Bài 13/ a) Tìm m để p.trình : 22x+1 -2x+3 -2m =0 (1) có nghiệm phân biệt b) Chứng minh phương trình 33x + a.32x+b + b.3x+a - = (1) có nghiệm với a, b 11 Bài 14/ Tìm m để phương trình a) b) log 32 x + log32 x + − 2m − = ( log x ) − log x + m =   1;3  có nghiệm thuộc đoạn  có nghiệm thuộc khoảng (0; 1) HƯỚNG DẪN GIẢI PHẦN C) Bài 1/ a) Đáp án: x = b) Đáp án: x = c) Đáp án: x = -5, x = d) Đáp án: x = e) Chia hai vế cho , đặt t = (với t > 0) dẫn đến phương trình =0 = > x = -2 f) Đặt với Khi đó: , dẫn đến phương trình Giải phương trình ẩn t này, ta tìm t = Với t = Với t = Bài 2/ a) Điều kiện x > Đặt , dẫn đến phương trình - Đáp án: 12 b) Điều kiện Ta có : Đặt ta có phương trình Quy đồng mẫu số rút gọn dẫn đến Phương trình có hai nghiệm Đối chiếu với điều kiện giá trị tìm thỏa mãn Dẫn đến c) Đặt dẫn đến phương trình - Đáp án x = x = 81 d) Đặt ta có: Với t = Với t = -5 e) Nhận xét ( với , đặt t = ) dẫn đến phương trình f) Đặt ( với ) dẫn đến phương trình  Bài 3/ a) Chia hai vế cho , ta chứng tỏ nghiệm b) Chia hai vế cho , ta được: 13 Đặt vế trái ta thấy Với , ta có Với , tương tự ta có Vậy phương trình có nghiệm c) Chia hai vế cho  d) Đặt ; biến R ; Dễ thấy đồng nghịch biến R Với ta có ; Với ta có Vậy phương trình có nghiệm e) Biến đổi đưa lôgarit số  f) Biến đổi phương trình dạng tích  Bài 4/ a) Đáp số: x =2 ; x= - 1- log52 x b) Đặt u= + , u >0 v= 3x Ta có hệ pt: u = − v ⇔ u + v = (l ) ⇒ v −u +u+v= 2 c) Đặt t= log3(x+2) pt trở thành : Đáp số: v + u =  u − v = x = log 17 − ( x + 3) t + ( x + ) t − 16 = Ta xem phương trình ẩn t với x tham số ta có: t = -4 t= x+3 14 t = -4 ⇔ t= ⇔x=− 161 81 4 = x + ⇔ log3(x+2) x + (đb , nb) ⇒ x = nghiệm phương trình d) Đặt t= log ( x − x − 1) ⇒ x − x − = 2t x + x − = 2− t Pttt: t - tlog32 = tlog62 ⇔ t=0 , t= - log62 e) log x + log x = log12 x (1) 22log3 + log Đáp số: x= 1, x= + ĐK: x > * x = 1: thỏa phương trình (1) *x ≠ 1: (1) ⇔ 1 + = log x log x log x + log x (Cm phương trình vô nghiệm) Bài 5/ a) Đáp số: x =  −4 < x <  ⇔ log x + = log (4 − x)( x + 4) b) ĐK:  x ≠ , pt Đáp số: x = ; x = - c) ĐK: x >0, đặt t= log2x phương trình trở thành: t + ( x − 4).t − x + = ⇔ t=1, t= 3-x (đb, nb) Đáp số: x = 2 2 2( x + x ) + 21− x = 2( x +1) + d) pt ⇔ 2 2( x + x ) 1− x Đặt u= , v= , ta có: u +v = uv +1 ⇔ u= 1, v= Đáp số: x= 0, x= -1, x= e) Đặt u= log2x, v= log3x , ta có: u2 -u +v -uv =0 ⇔ ⇔ u= v, u=1 Đáp số: x =1; x =2 Bài 6/ a) Đáp số: x < x > 2x x+ x+4 − 9.3x + x + − 9.9 x + > Đặt u= 3x , v = b) Cách 1: bpt ⇔ + Bpt trở thành: u2 + uv - 9uv - 9v2 > ⇔ (u+v).(u - 9v )> x+ ⇒ u +v >0 x+4 − x − 9.32( x + − x ) > Cách 2: Chia vế phương trình cho 32x ta được: − 8.3 Đáp số: x > c) Tìm nghiệm tử ( x =2), nghiệm mẫu (x = 1/2) , lập bảng xét dấu x −  ⇔  bpt x − > Đáp số: 2< x ∀x 2x2 + 4x + > ∀x nên phương trình xác định ∀x 2 2 Ta có pt ⇔ log ( x + x + 3) − log3 (2x + 4x+5)=7(2x + 4x+5)-7(x + x + 3) 2 2 ⇔ log ( x + x + 3) + 7(x + x + 3) = log (2x + 4x+5)+7(2x + 4x+5) (*) Xét hàm số f(t) = log3t + 7t với t >0 , ta chứng minh f(t) đồng biến với t >  x = −1 ⇔  x = −2 2  Nên (*) ⇔ (2x + 4x+5)=(x + x + 3) ⇔ x2 +3x +2 =0 Bài 10/ a) Đặt ( với t > ) Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình Điều kiện để (1) có nghiệm Gọi nghiệm (1) t1 t2 (t1 Vậy với có nghiệm dương t2 ), theo hệ thức Vi-ét suy t2 > phương trình (1) có nghiệm t2 > suy phương trình cho có nghiệm 17 b) Đặt (với t > 0) Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình có nghiệm dương Điều kiện để (2) có nghiệm Hay Gọi nghiệm (2) • Với • Với • Với , theo hệ thức Vi-ét: Vậy với phương trình (2) có nghiệm , suy phương trình cho có nghiệm 1+ c) Đặt t= 1− x ⇒ ≤ t ≤ , phương trình trở thành: t2 - (a -2).t + 2a +1 =0 (1) t − 2t + ⇔ =m t −2 t ≥ nên (1) t − 2t + =m Bài toán trở thành tìm m để phương trình t − có nghiệm ≤ t ≤ (2) t − 4t + t − 2t + Xét f(t) = t − , ta có: f'(t) = (t − 2) , lập bảng biến thiên hàm số f(t) với ≤ t ≤ ta có: f (t ) = f (3) = t∈[ 3;9] Suy (2) thỏa Bài 11/ Nhận xét ( )( 3− 2 , m ax f (t ) = f (9) = t∈[ 3;9 ] 64 f (t ) ≤ m ≤ m ax f (t ) ⇔ ≤ m ≤ t∈[ 3;9] t∈[ 3;9] ) 3+ 2 =1 , đặt t= ( 3− 2 ) 64 x ta có: x = log 3−2 t , 0< − 2 0 pt ⇔ 2t2 - 8t - 2m =0 (2) Phương trình (1) có nghiệm phân biệt ⇔ (2) có nghiệm dương phân biệt b) 33x + a.32x+b + b.3x+a - = (1) có nghiệm với a, b Đặt t=3x, t>0 pttt: t2 +a.3b.t2 + b.3a.t - = Xét f(t) = t2 +a.3b.t2 + b.3a.t - với t>0 0; +∞) Ta có f(t) liên tục ( 19 mà lim f (t ) = −1 lim f (t ) = +∞ t →0 ; t →∞ ⇒ phương trình f(t)=0 có nghiệm dương Vậy p.trình (1) có nghiệm vói a, b Bài 14/ a) Đặt t = log 32 x + Khi ≤ x ≤ ⇔ ≤ log x ≤ ⇔ ≤ t ≤ Bài toán trở thành: tìm m để f(t) = t2 + t -2 = 2m có nghiệm t ∈ [1; 2] (1) Lập bảng biến thiên hàm số f(t) [1; 2] ta có: Suy (1) thỏa b) Nhận xét: log x = f (t ) = f (1) = m ax f (t ) = f (2) = t∈[ 1;2] , t∈[ 1;2] f (t ) ≤ 2m ≤ max f (t ) ⇔ ≤ 2m ≤ ⇔ ≤ m ≤ t∈[ 1;2] t∈[ 1;2] log x ; log x = − log x 2 Đặt t = log2x Ta có: < x < ⇔ t < 0, Bài toán trở thành tìm m để phương trình : t2 + t = -m có nghiệm t < Xét hàm số f(t) = t2 +t với t < 0, lập bảng biến thiên ta có: Phương trình có nghiệm t < : −m ≥ − 1 ⇔ m≤ 4 Hết 20 SỞ GD& ĐT TỈNH ĐỒNG NAI CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT NGÔ QUYỀN Độc lập - Tự - Hạnh phúc Biên Hoà, ngày 08 tháng 12 năm 2011 PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ CHUYÊN ĐỀ Năm học: 2011 - 2012 Tên chuyên đề: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT Họ tên tác giả: Bùi Thị Thanh Hà Tổ: Toán - Tin Lĩnh vực: Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn Toán Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác     Tính mới: - Có giải pháp hoàn toàn - Có giải pháp cải tiến, đổi phương pháp có   Hiệu - Hoàn toàn triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng toàn ngành có hiệu  - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu  Khả áp dụng: - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách: Tốt  Khá  Đạt  - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống: Tốt  Khá  Đạt  - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt  XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN (Ký tên ghi rõ họ tên) THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ (Ký tên, ghi rõ họ tên đóng dấu) 21