V. CHÉO HÓA MA TRẬN VÀ TOÁN TỬ TUYẾN
12. Thuật toán chéo hóa ma trận:
Dựa vào Định lý 10 ta có thuật toán sau để xác định A có chéo
được không và tìm dạng chéo hóa của nó (nếu có).
Bước 1:Tìmđa thức đặc trưng của Atừ đó suy ra các trị riêng của
A. nếu A không có trị riêng nào thì A không chéo được Thuật
toán kết thúc, ngược lại thì ta chuyển sang bước 2.
Bước 2: Giả sử A có r trị riêng phân biệt với số bội
tươngứng . Nếu thì A không chéođược
Thuật toán kết thúc, ngược lại thì ta chuyển sang bước 3.
Bước 3: Với mỗi trị riêng , tìm cơ sở của không gian riêng từ đó suy ra . Nếu tồn tại sao cho thì A không chéo được Thuật toán kết thúc,
ngượclại thì ta chuyển sang bước 4.
Bước 4:Lập ma trận Pvới các cột của Plần lượt là các vector cơ
sở của các không gian riêng . KhiđóPlàm chéoAvà là một dạng chéo của A với các phần tử trên đường chéo
chính lần lượt là các trị riêngứng với các vector riêng tạo nênP, trị
riêng xuất hiện trênđường chéo chính lần, .
Ví dụ: Xét xem ma trận A có chéo được trên R không ? Nếu
;Giải. Giải.
a) Ta có nên A chỉ có một trị riêng
(đơn), dođóAkhông chéođược.
b) Ta có và (đơn)
hayx = -2(kép). Vậy Acó 2 trị riêng(kép) và (đơn).
Với trị riêng, ta có
. Suy ra . Dođó bội
số của Vậy Akhông chéođược.
c) Ta có và
Vậy A có đúng 3 trị riêng phân biệt nên A chéođược.
Với ta có . Vậy E1 có
Với ta có . Vậy
E2có một cơsở là
Với ta có .
Vậy E3có một cơsở là
Đặt .Khi đó P làm chéo A và dạng chéo tương ứng
là
d) Ta có . Do đó A có các trị riêng (đơn) và (bội 2).
Không gian riêng có một cơ sở là , không gian riêng có một cơsở là . Dođó
là cơsở của IR3và ta có ma trận Psauđây chéo hóa A:
Ví dụ:
Cho T là toán tử tuyến tính trên R3có ma trận biểu diễn đối với cơ
sở chính tắc là:
Đa thức đặc trưng của Alà:
DođóTcó các trị riêng là và Ta có
nên có cơ sở gồm hai vector (1,0,2),
nên có cơsở (1,-3,-3).
Vì nênT chéo hóađược. Ma trận biểu diễn
Tđối với cơsở
là
với