1. Ðịnh nghĩa:
Cho V là một không gian vector trên trường K và W là một tập hợp con khác rỗng của V. Khi đó W đượcgọi là một không gian vector con của V nếu W là một không gian vector trên Kứng với các phép toán (+) và (.) của V khi ta hạn chế chúng trên W.
Ví dụ: Tập hợp {0} và V là các không gian vector con của không gian vector V.
Để kiểm tra một tập hợp có phải là một không gian vector con của V không ta chỉ cần kiểm tra 2 điều kiện được nêu trong
định lý sau đây:
Định lý: Tập con của một không gian vector V là một không gian con của V khi và chỉ khi các điều kiện sau đây được thỏa:
(i) (ii)
Ghi chú: các điều kiện (i) và (ii) trong định lý trên có thể được thay thế bằng điều kiện dưới đây:
Ví dụ:Cho K=R hoặc C, và A là một ma trận cấp mxn với các
phần tử thuộc K. Đặt:
tức là W là tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận hệ số là A. Ta sẽ chứng minh W là một không gian vector con của Kn
.
Cho , và tùy ý thuộc W.
Suy ra:
nghĩa là
Vậy W là một không gian vector con của Kn .
2. Không gian giao, không gian tổng:
Định lý: Giao của một họ bất kỳ các không gian con của V cũng là một không gian con của V.
Chứng minh:
Trong đó là một họ các không gian con của V. Vì
nên và do đó . Giả sử và
(tùy ý). Khi đó nên suy
ra .
Vậy W là một không gian con của V.
Định lý: Giả sử W1 và W2là các không gian con của một không gian vector V.Đặt:
.
Khi đó W1 + W2 là một không gian vector con của V, được gọi là không gian tổng của W1và W2.
Lưu ý: trong trường hợp , thì không gian tổng
được viết là và được gọi là tổng trực tiếp của các không gian W1và W2.