III. ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH THỨC:
2. Qui tắc Cramer
Xét phương trình tuyến tính AX = B với A = (Aij) là một ma trận vuông cấp n và B là cột hệ số tự do
Với mỗi j = 1 , 2 , 3 , … , n taký hiệu Ajlà ma trận cóđược từ ma trận A bằng cách thay cột thứ j của A bởi cột B . Định lý sau đây cho ta thấy một cách tính nghiệm của hệ phương trình tuyến tính bằng định thức.
Định lý: (Qui tắc Cramer )
Xét hệ phương trình tuyến tính A X = B (*) với A là ma trận vuông cấp n, B là cột hệ số tự do và X là cột ẩn. Khi đó.
(i) Nếu thì hệ phương trình (*)có nghiệm duy nhất được cho bởi:
(ii) Nếu và tồn tại j sao cho thì hệ phương trình (*) vô nghiệm.
(iii) Nếu và thì hệ phương trình (*) có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm. Trong trường hợp này ta phải giải trực tiếp bằng phương pháp Gauss – Jordan để có kế luận chính xác.
Ví dụ : Giải hệ:
Hệ phương trình trên có dạng A X = B với
Tínhđịnh thức ta sẽ được:
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính sau đây theo tham số m:
Hệ phương trình có dạng A X = B với
và Ta có
Biện luận:
Nếu , nghĩa là m 1 và m 3 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất là :
Nếu m = 1 thì |A| = 0 và nên hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu m= 3 thì |A| = 0 và |A1| = |A2| = |A3| = 0 ta giải trực tiếp hệ phương trình bằng phương pháp Gauss – Jordan:
Biến đổi sơcấp
Suy ra hệ phương trình có vô số nghiệm cho bởi
BÀI TẬPCHƯƠNG 3
a) b)
Bài 2.Chứng tỏ định thức sau đây bằng 0
a) b)
Bài 3.Cho và c là một số . Chứng minh:
Bài 4.Tính cácđịnh thức sau
a) b)
Bài 5.Khi nào các ma trận sau đây là khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo
a) b)
Bài 6.Giải và biện luận hệ phương trình sau:
a) b)