CÁC TÍNH CHẤT CỦA ĐỊNH THỨC:

Trong phần này ta sẽ phát biểu mà không chứng minh một số tính chất của định thức.

1.Định lý về khai triển định thức theo dòng và theo cột.

Định lý: Cho ma trận A = (aij) vuông và có cấp n. Với i, j tùy ý ta có :

trongđó

Công thức (1) được gọi là công thức khai triển định thức theo dòng thứ i, và công thức (2) là công thức khai triển định thức theo cột thứ j.

Ví dụ :

2)

Nhận xét

(i) Nếu ma trận A có dòng zero hay có một cột zero thì |A|= 0

(ii) Nếu A = (aij) là ma trận tam giác cấp n thì

nghĩa làAbằng tích các phần tử trênđường chéo của A. Suy ra:I= 1 ,vàO= 0

2.Định thức và phép tính ma trận.

Định lý: Cho A và B là các ma trận vuông cấp n.Khiđó (i) | At| = | A |

(ii) | A .B | = | A |. | B |

(m nguyên dương)

3.Định thức và các phép biến đổi sơcấp.

Định lý :Cho A là một ma trận vuông và e là một phép biến đổi sơcấp trên dòng. Giả sử :

Khiđó

Nếu e là phép hoán vị 2 dòng thìA’= -A

Nếu e là phép nhân 1 dòng cho một số c thìA’= c.A 

Nếu e là phép biến đổi sơcấp trên dòng loại 3,nghĩa là lấy dòng thứ r cộng c x (dòng thứ s) với r s thìA’=A

Nhận xét:

DoAt=Anên các tính chất được phát biểu trong định lý trên đối với cá phép biến đổi sơ cấp trên dòng cũng đúng đối với các phép biến đổi sơcấp trên cột.

Hệ quả : Nếu ma trận vuông A có 2 dòng (hay 2 cột ) bằng nhau hay tỉ lệ thì | A | = 0

Ví dụ : 1)

(vì có dòng 1 và dòng 3 tỉ lệ) 2)

3)

(khai triển theo dòng 2)