III. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ KHÔNG GIAN EUCLIDE
8. Định nghĩa ma trận trực giao.
Cho . Ta nói A là trực giao nếu ,
nghĩa là A khả nghịch và A-1= AT. Ví dụ. Cho . Ta có A trực giao vì . Suy ra A khả nghịch và 9.Định lý 4. Nếu là ma trận đối xứng thì có ma trận trực
giao sao cho P-1AP là ma trận chéo. Khi đó ta nói A
được chéo bởi ma trận trực giao P.
Thuật toán chéo hóa một ma trận đối xứng bằng một ma trận
trực giao.
Để chéo hóa một ma trận đối xứng bằng một ma trực
giao ta thực hiện các bước sau.
Bước 1: Tìm một cơ sở B1 của Rn
gồm toàn những vector riêng của A.
Bước 2:
Xây dựng cơ sở trực giao B2 từ cơsở B1 bằng quá trình trực giao
hóa Gram-Schmidt. Suy ra cơsở trực chuẩn B của Rn
gồm những
vector riêng của A.
Gọi B0 là cơ sở chính tắc của Rn
và . Khi đó P là
ma trận trực giao cần tìm và .
Ví dụ. Cho ma trận đối xứng
Ta chéo hóa A bởi một ma trận trực giao P.
Bước 1. Tìm một cơsở của R3
gồm toàn những vector riêng của A:
Ta có đa thức đặc trưng của A là nên A có 2 trị riêng là c1= 0 và c2= 3.
Cơsở của không gian riêng E1=E(0) là Cơsở của không gian riêng E2=E(3) là
Vậy một cơsở của R3
Bước 2. Từ cơsở B3, ta xây dựng được cơsở trực chuẩn B của R3 với Gọi là cơ sở chính tắc của R3 . Ma trận chuyển cơsở từ B0sang B là Khiđó ta có P là ma trận trực giao cần tìm và
Đưa một dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến
đổi trực giao.
Xét dạng toàn phương
với ma trận A của dạng toàn phương trong cơ sở chính tắc
của Rn
là ma trận đối xứng. Khi đó tồn tại một
cơ sở trực chuẩn gồm những vector riêng của
.
là ma trận chuyển cơsở trực chuẩn, cho nên P là ma trận trực giao,
nghĩa là: .
Giả sử A’ là ma trận của Q trong B. Thế thì A’ là ma trận chéo với
đường chéo là các trị riêng tương ứng với các vector riêng uj và theo (2) ta có:
.
Nếu có tọa độ đối với cơsở B là:
thì do A’ có dạng chéo nên
Do nên A’
và A có cùngđa thức đặc trưng và chính là các trị riêng của A.
Ví dụ.
Giả sử Q là dạng toàn phương trên không gian vector Euclide R3 xácđịnh bởi với và
Vậy c1= 2 và c2= -1 là các trị riêng của A.
Cơsở của không gian riêng là
Cơ sở của không gian riêng là . Vậy một cơsở của R3
gồm toàn những vector riêng của A là .
Thực hiện quá trình trực giao hóa, ta thu được một cơ sở trực
chuẩn.
Và ma trận P của phép chuyển cơ sở chính tắc sang cơ sở trực
Nếu có tọa độ đối với cơ sở là
thì hay
thay bằng biểu thức trên trong dạng toàn phương cho Q(u), tađược dạng chính tắc toàn phương
gồm các tổng bình phương.
BÀI TẬPCHƯƠNG 6
Bài 1.Viết ma trận của dạng song tuyến tính trên R3,ở đây
a)
Bài 2. Tìm ma trận của dạng toàn phương trên R3 có biểu thức tọa độ sau: a) b) c)
Bài 3.Cho các dạng toàn phương sau đây được viết dưới dạng
ma trận. Hãy viết chúng dưới dạng thông thường:
a)
b)
Bài 4.Tìm biểu thức tọa độ của mỗi dạng toàn phương dưới đây
sau khi thực hiện phép biến đổi tọa độ tươngứng:
Bài 5. Trong không gian R3, hãy đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng thuật toàn Lagrange:
a)
b)
c)
Bài 6. Trong không gian R4, hãy đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng thuật toán Lagrange:
a)
b)
a)
b)
c)
Bài 8. Trong không gian R4, hãy đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc. Biện luận theo và về các chỉ số quán tính
của các dạng toàn phương này:
a)
b)
Bài 9. Chứng minh các cấu trúc E dưới đây là các không gian Euclide:
trongđó là các số thực dương cho trước;
b)
trongđó là hàm thực cho trước, liên tục và dương trên [a,b];
Bài 10. Cho V là một không gian Euclide và . Chứng
a)
b)
c)
d) Nếu thì u = v.
e) Nếu là một tập hợp trực giao trong V thì
f) Nếu là một cơsở trực chuẩn của V thì
Bài 11.Hãy xácđịnh m để : a)
b)
Bài 12. Xây dựng cơsở trực giao và cơsở trực chuẩn từ các cơ sở sau của R3
:
a)
Bài 13.Tìm ma trận trực giao P sao cho P-1
AP là ma trận chéo.
Bài 14. Đưa các dạng toàn phương sau về dạng chính tắc bằng
các phép biến đổi trực giao: a) b) c) d) e) f)