TUYẾN TÍNH:
1. Ðịnh nghĩa tổ hợp tuyến tính:
Định nghĩa: Cho V là một không gian vector trên trường K và là các vector thuộc V. Một vector được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vector nếu tồn tại các vô
Đẳng thức trên được gọi là dạng biểu diễn tuyến tính của x theo
Ví dụ:
1). vector
là một tổ hợp tuyến tính của các vector vì:
vector không phải là một tổ hợp tuyến tính của v1 , v2vì nếu ngược lại thì tồn tại sao cho
mà hệ phương trình (*) với các ẩn và là vô nghiệm nên sẽ có mâu thuẫn.
2). Vector 0 luôn luôn là một tổ hợp tuyến tính của một họ bất kỳ các vector
3). Trong không gian vector V=Rncho m vector
Tìm điều kiện cần và đủ để v là một tổ hợp tuyến tính của các vector là tồn tại các số thực sao cho
(1)
là một đẳng thức vector, nếu so sánh từng thành phần tương ứng của các vector ở 2 vế của (1) ta được:
là một hệ phương trình tuyến tính theo các ẩn gồm n phương trình với:
Ma trận hệ số là :
= ma trận gồm các vector cột
Vậy là một tổ hợp tuyến tính của các vector khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính (2) có nghiệm
.
Áp dụng: Tìm mđể cho vector v = (1,m,3) là một tổ hợp tuyến tính của 2 vector , và viết v thành tổ hợp tuyến tính của
Điều kiện để v là tổ hợp tuyến tính của là hệ phương trình
tuyến tính theo 2 ẩn với ma trận mở rộng là có nghiệm. Dùng phương pháp Gauss – Jordan để giải hệ phương trình tuyến tính ta tìmđược m = 3, và trong trường hợp này nghiệm
2. Ðịnh nghĩa sự phụ thuộc tuyến tính, độc lập tuyến tính. Định nghĩa: cho V là một không gian vector trên trường K, và
là các vector thuộc V. Ta nói họ vector là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các vô hướng không
đồng thời bằng không (tức là có ít nhất một vô hướng là khác 0) sao cho:
Họ vector không phụ thuộc tuyến tính được gọi là họ vector độc lập tuyến tính. Ví dụ: 1) Trong V = R3 các vector , và là phụ thuộc tuyến tính vì
2) Trong một mặt phẳng bất kỳ 2 vector không cùng phương nào cũng độc lập tuyến tính, nhưng bất kỳ ba vector nào cũng phụ thuộc tuyến tính.
3) Trong không gian (R3) bất kỳ ba vector không đồng phẳng nào cũng độc lập tuyến tính nhưng bốn vector nào cũng phụ thuộc tuyến tính.
Mệnh đề: các vector độc lập tuyến tính khi và chỉ khi tồn tại một vector là tổ hợp tuyến tính của các vector còn lại.
Chứng minh:
Nếu các vector phụ thuộc tuyến tính thì tồn tại không đồng thời bằng 0 sao cho trong đó có ít nhất một hệ số khác 0, chẳng hạn . Khiđó:
với các . Do đó vn là một tổ hợp tuyến tính của .
Ngược lại, nếu tồn tại một vector trong các vector là tổ hợp tuyến tính củacác vector còn lại, chẳng hạn
thì
tức là là phụ thuộc tuyến tính.
Ngoài ra, từ định nghĩa về sự phụ thuộc tuyến tính và sự độc lập tuyến tính ta có thể kiểm chứng dễ dàng các tính chất sauđây:
(i) Các vector độc lập tuyến tính nếu và chỉ nếu
. (ii) Mọi họ vector, trong đó có vector 0 đều phụ thuộc tuyến tính.
(iii) Với mọi , {v} độc lập tuyến tính khi và chỉ khi .
(iv) Họ vector làđộc lập tuyến tính khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính thuần nhất với ma trận hệ số.
chỉ có nghiệm zero.
Định nghĩa:
(i) Một họ khác rỗng các vector của không gian vector V được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại một họ con hữu hạn khác rỗng phụ thuộc tuyến tính.
(ii) Ngược lại, một họ khác rỗng bất kỳ những vector của V gọi là
độc lập tuyến tính nếu mọi họ con hữu hạn khác rỗng của nó đều
độc lập tuyến tính.