Trong phần này sẽ nêu lên khái niệm ma trận khả nghịch và một số
tính chất . Cách nhận diện ma trậnkhả nghịch và cách tính ma trận
nghịch đảo cũng được phát biểu. Ở đây ta bỏ qua các chứng minh
1.Định nghĩa, tính chất.
Định nghĩa: Cho A là một ma trận vuông trên tập hợp số K (K là Q,Rhoặc C)
a.Ta nói ma trận A khả nghịch khi có một ma trận A’ sao cho
A.A’=A’.A=I. Khi đó ma trận A’ là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo cuả A, ký hiệu là A-1.
b.Khi A khả nghịch thì với k là số nguyên âm , ta định nghĩa
Ví dụ: Cho
Ta có: . Nên A khả nghịch và A-1 = B Ngoài ra,
Mệnh đề: Cho A , B là các ma trận vuông cùng cấp. Khi đó :
(i). Nếu A khả nghịch thì A-1,cA với c 0 cũng khả nghịch
(ii). A và B khả nghịch <=> AB khả nghịch . Hơn nữa,
khả nghịch <=> đều khả nghịch và
Mệnh đề: Cho ma trận vuông A . Ta có A khả nghịch khi và chỉ
khi khả nghịch , và
2. Nhân diện ma trận khả nghịch và tính ma trận nghịch đảo:Mệnh đề : Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó các phát Mệnh đề : Cho A là một ma trận vuông cấp n. Khi đó các phát
biểu sau đây là tươngđương : (i) A khả nghịch
(ii) AI (iii) r (A) = n
(iv) A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơcấp.
Biến đổi sơcấp để tính hạng của ma trận A:
Ta có r ( A ) = 2 < 3 , nên A không khả nghịch.
Mệnh đề sau đây cho ta cách tính ma trận nghịch đảo (của một ma
trận khả nghịch) bằng cách biến đổi sơcấp trên dòng . Theo cách này ta nói rằng ma trận nghịch đảo được tính bằng phương pháp Gauss-Jordan.
Mệnh đề :Cho ma trận A khả nghịch (tức là A I ). Giả sử dãy các biến đổi sơcấp trên dòng biến A thành I nghĩa là
Khiđó, dãy biến đổi sơcấp sẽ biến I thành A-1.Tức là
Lưu ý : Trong thực hành tính toán A-1 bằng phương pháp Gauss – Jordan ta thực hiện biến đổi sơcấp trên dòngđôi cuả ma trận (A|I):
Tìm A-1(nếu có ).
Dùng phương pháp Gauss – Jordan: