1.Định nghĩa.
Cho V là một không gian vector n chiều trên R. Ánh xạ
được gọi là một dạng song tuyến tínhtrên V nếu
tuyến tính theo từng biến u, v, nghĩa là
và
Dạng song tuyến được gọi làđối xứng nếu.
Dạng song tuyến được gọi là phản đối xứng nếu
Giả sử là một dạng song tuyến tính trên V và
là một cơ sở được sắp của V. Khi đó với hai vector u, v bấy kỳ
thuộc V, tồn tại các số thực sao cho
và Khiđó
Đặt tađược
Ma trận xác định như trên được gọi là ma trận của dạng
song tuyến tính trong cơsở B, ký hiệu là . Khiđó ta có thể viết dạng song tuyến tính dưới dạng ma trận nhưsau.
Lưu ý. Nếu V= Rn và cơ sở B của V không được chỉ rõ thì ta ngầm hiểu B là cơsở chính tắc của V.
Ví dụ: Dạng song tuyến tính
có ma trận là
.
Nhận xét. Ma trận của dạng song tuyến đối xứng trong một cơ sở B bất kỳ là một ma trận đối xứng. Cũng như vậy, ma trận của
dạng song tuyến tính phản đối xứng là một ma trận phản đối xứng.
Giả sử là một cơ sở được sắp khác của V, và P = (pij) là ma trận chuyển cơsở từ B sang B’. Khi đó, nếu A, A’ là các ma trận của dạng song tuyến tính trên V theo thứ tự trong cơsở
B và B’ thì
Chứng minh:
Ta có
Nghĩa là
Nhận xét. Với A và A’ xácđịnh nhưtrên thì
3.Định nghĩa hạng của dạng song tuyến tính.
Cho là một dạng song tuyến tính trên V và A là ma trận của
theo cơsở B bất kỳ của V. Khi đó hạng của ma trận A cũng được
gọi là hạng của dạng song tuyến tính.