Cho V là một không gian vector trên trường K, và S là một tập vector trong . Ta có thể thấy rằng họ các không gian vector con của V chứa S là khác rỗng vì V là một không gian con của V chứa S. Theo định lý về “không gian giao” trong II.2, thì phần giao của họ các không gian con của V chứa S cũng là một không gian con của V.Không gian con này sẽ được ký hiệu là ( hay vắn tắt là thì ta nói S là một tập hợp sinh của V, hay không gian Vđược sinh ra bởi tập S. Nếu V được sinh bởi một tập hợp hữu hạn phần tử thì Vđược gọi là hữu hạn sinh. Nhận xét rằng . Với S là một tập hợp khác rỗng các vector của V. Khi đó
Nói cách khác, không gian vector sinh bởi tập S chính là tập hợp tất cả các vector là tổ hợp tuyến tính của các vector thuộc S.
Theo định nghĩa thì là không gian vector con nhỏ nhất của V chứa tập S. Ký hiệu tập hợp tất cả các vector là tổ hợp tuyến tính của S là W, ta cần chứng minh .
Giả sử và . Khiđó v và v’ có dạng:
với Suy ra:
cũng là một vector thuộc W.
Vậy W là một không gian vector con của V. Hiển nhiên W là không gian con của V chứa S, và W nằm trong mọi không gian con của V chứa S. Từ đó ta có: .
Hệ quả: Cho S và S’ là các tập hợp con khác rỗng của V. Nếu
mỗi vector của S đều viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của S’ và ngược lại, thì .
Ví dụ:
1) TrongR3
2) Cho W là một không gian vector con của R4 gồm các vector thỏa hệ phương trình tuyến tính:
Tìm một tập hợp sinh của W.
Biến đổi sơ cấp theo dòng trên ma trận hệ số của hệ phương trình tuyến tính ta có:
Suy ra hệ phương trình tươngđương với hệ phương trình mới sau
đây:
Hệ số có vô số nghiệm với 2 ẩn tự do.
Mệnh đề: Giả sử W1và W2là các không gian vector con của Kn có các tập hợp sinh tươngứng là S1 và S2. Khiấy không gian tổng W1+ W2có một tập hợp sinh là . Nói cách khác.
Ví dụ: Trong không gian vector R4
cho các vector và . Gọi W1 là không gian vector con sinh bởi và W2 là không gian vector con sinh
bởi . Tìm điều kiện để vector
, nghĩa là tìm W.
Theo mệnh đề trên thì W sinh bởi , nên vector khi và chỉ khi.
Điều kiện này có nghĩa là hệ phương trình (với ẩn là ) sauđây có nghiệm.
Suy ra
V. CƠSỞ VÀ SỐ CHIỀU:1. Ðịnh nghĩa cơsở.