Trong phần này, các không gian vectorđược xét là hữu hạn chiều,
ta quy ước ký hiệu để chỉ V là một không gian vector n
chiều; những cơsở nói đến trong mục này là những cơsở được sắp
thứ tự.
Do Mệnh đề I.2, nếu và thì ánh xạ tuyến tính
được xác định duy nhất bởi khi là một cơsở được sắp của V.
1.Định nghĩa:
Ma trận có cột thứ jlà được gọi
là ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sở B, B’, ký hiệu .
Nếu V = Wvà B = B’thì ta dùng ký hiệu thay cho . Nếu
B và B’ được hiểu rõ từ văn cảnh thì ta có thể dùng ký hiệu đơn giản [f] thay cho .
Ví dụ. Các cơsở được xét trong ví dụ nàyđều là cơsở chính tắc
của các không gian vector tươngứng.
a) Ánh xạ tuyến tính
có ma trận biểu diễn là b) Ánh xạ
có ma trận biểu diễn là
có ma trận biểu diễn là
d) Ánh xạ
có ma trận biểu diễn là (ma trận đơn vị)
2.Định lý 1:
Cho và là hai không gian vector có các cơsở được
sắp lần lượt là và . Khiđó, nếu
là một ánh xạ tuyến tính thì với mọi ,
Chứng minh:
Đặt , khiđó
Nên theo định nghĩa của ma trận tọa độ, ta được điều cần chứng
minh.
Ví dụ:
Xét không gian R3cùng với cơsở chính tắc. Giả sử
và . Khiđó nên
Vậy . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho và là hai không gian vector có các cơsở được
sắp lần lượt là và . Khiđó ánh xạ
là một đẳng cấu không gian vector.
Chứng minh:
Ta kiểm chứng
nên là một ánh xạ tuyến tính.
Hơn nữa, nếu sao cho thì tồn tại j sao cho do đó nghĩa là . Vậy là một đơn ánh.
Với mỗi , xét phần tử được xác
định bởi
Khiđó , nghĩa là là một toàn ánh. Vậy là một đẳng cấu giữa hai không gian vector.
Ta biết là một không gian vector có một cơsở là
với Eijlà ma trận chứa 1 ở vị trí (i,j) và chứa 0 ở tất cả các vị trí còn lại.
Do là một đẳng cấu nên là một cơ
sở của L(V,W). Dễ thấy là một ánh xạ tuyến tính từ V
vàoWthỏa
Vậy là một cơ sở của không gian vector
L(V,W).
4. Mệnh đề 2:
Cho và là các không gian vector hữu hạn chiều. Khi đó,
nếu , và là các cơ sở được
sắp tươngứng của thì
Chứng minh. Dễ dàng chứng minh trực tiếp từ định nghĩa và tính toán
Cho V và W là hai không gian vector hữu hạn chiều có các cơsở
được sắp lần lượt làB, B’và . Khiđófkhả nghịch nếu
và chỉ nếu khả nghịch.
Chứng minh:
() Gọi là ánh xạ ngược của f.Khiđó.
và
nên và
Dođó khả nghịch có nghịch đảo là (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
( ) Nếu thì ta có thể xây dựng ánh xạ tuyến tính
sao cho . Khiđó
suy ra . Tương tự .
Nhưvậy fkhả nghịch và nghịch đảo của nó là
Cho gọi là ma trận chuyển cơsở từ B
sangB’trongV, là ma trận chuyển cơsở từ CsangC’
trongW. Khiđó với mọi ta có
Chứng minh: Áp dụng Định lý III.2 ta được DoP,Qlà các ma trận chuyển cơsở nên Nhân cả 2 vế với Q-1, nhận được Mặt khác Dođó Từ đó suy ra
Ví dụ.
Gọi B0và lần lượt là cơsở chính tắc của R2
và R3.Đặt
và
thì B và lần lượt là cơ sở của IR2 và R3. Gọi P,Q lần lượt ma
trận chuyển cơsở từ B0sangBvà từ sang . Khiđó
và Xét ánh xạ
Khiđó